改進的小波包能量分段閾值降噪方法

鐘孟春，張春林，李 華，王寶琦

裝甲兵工程學院，北京 100072

1 引言

在對機械設備進行狀態監測與故障診斷時，通常會對設備的振動信號進行處理。但是，振動信號中往往夾雜著很多噪聲，這對振動信號的特征提取造成了很大的麻煩。所以，在進行振動信號處理前，首先要對信號進行降噪處理。小波和小波包降噪方法由于其具有低熵性、多分辨率等優點，在信號降噪中得到了廣泛的應用[1]。

小波和小波包降噪的核心是如何選取閾值和閾值函數。常用的小波包降噪閾值主要有Sqtwolog規則閾值、Rigrsure規則閾值和Minimaxi規則閾值。以上三種閾值降噪的效果各不相同，其中Minimaxi與Stein閾值規則降噪較為保守，是將部分系數置零，不容易丟失真實信號成分，Sqtwolog固定形式的閾值降噪能更有效地去除噪聲。對于低頻信號，由小波包分解后，有用信號主要分布在低頻段，且頻率段能量值一般較高，而噪聲均勻分布在整個頻率段上，且頻段能量值一般較低。所以不同頻段的小波包分解系數對關心的有用信號和不關心的噪聲信號有著不同的反映。因此，用同一閾值對整個頻率段的小波包系數進行閾值處理顯然是不合適的，不能得到理想的效果。

據此，需要對不同的頻段采取不同的閾值進行處理。文獻[2]中的SMS法采用分段閾值處理時，對頻率段的分段較為粗糙，只是固定地對小波包分解后第一個節點采用Rigrsure規則閾值，最后一個節點采用Sqtwolog規則閾值。這種分段閾值處理形式雖然較全局閾值處理有了一定的改善，但是對實際振動信號中有用信號的保護與噪聲的去除效果不是非常理想。本文研究提出了一種更實際有效的小波包分段閾值降噪方法，重點在于頻段的劃分。由于頻段劃分基于能量，因此命名為最優小波包能量分段閾值降噪方法（Best Wavelet Packet Energine Subsection threshold De-noising），簡稱BWPES。

2 小波包去噪理論概述

由于

由小波包兩尺度關系：

可得到由(t)與重構的重構算法。小波包的重構算法為：

以小波包三層分解為例，其小波包分解樹如圖1所示。

圖1 三層小波包分解樹

圖1中，A表示低頻，D表示高頻，末尾的序號數表示小波包分解的尺度數，分解具體如下關系：

小波包閾值去噪過程一般按如下步驟[3]進行：

（1）選擇合適的小波與分解層次，進行小波包分解。（2）確定最優小波包基，計算最優樹。

（3）選擇一個適當的閾值，對小波包分解系數的閾值進行量化。

（4）小波包重構。

其中最關鍵的還是閾值的選擇和閾值量化，它們直接關系到對信號進行降噪處理的質量。

3 改進的小波包能量分段閾值降噪方法

3.1 小波基的選擇原則

小波包閾值去噪的第一步是選擇合適的小波函數對信號進行小波包分解，可見小波基的選擇對去噪性能是有重要影響的。首先，信號經小波包分解后得到的小波系數越稀疏（即越多的小波系數接近零），越有利于去噪；其次，不通過的小波基重構得到的信號，也直接影響到降噪效果[4]。

選擇分解小波時，一般選擇消失矩高，支撐尺寸小的小波基。消失矩越高，小波包分解的平滑項系數越接近零；支撐尺寸越短，越有利于信號奇異點的定位，可使較大的小波系數落在小波支撐尺寸內。

選擇重構小波時，一般選擇正則性高，對稱性好的小波基。這樣的小波基光滑性強，頻域局部性好，有利于消除由閾值處理后得到的小波系數所引入的誤差。

3.2 小波包分解并按頻率順序排列

小波包分解的過程實質上是通過一組高/低通共軛濾波器的濾波以及“隔點重采樣”過程，而高通濾波所得到的信號采樣時，會導致頻率折疊。因此，小波包算法就出現了頻帶錯位問題，所以，首先需要對錯位的頻帶進行排序。文獻[5]給出了小波包頻率的排序，即：每次通過低通濾波，直接頻段2分頻，經過高通濾波器，頻段2分頻并取反。下面以3層小波包分解舉例，其頻率排序如圖2所示。

圖2 3層小波包分解實際頻率排序

圖2所計算的小波包頻率排序與仿真軟件MATLAB中的小波包分解頻率排序是一致的。

3.3 最優小波包節點能量與分段閾值去噪

為了能更好地去除噪聲，本文采取最優小波包節點能量與分段閾值相結合的去噪方法。根據最優小波包基各節點能量的大小，判斷是否含有有用信號，并將其分為有用信號段、過渡段和噪聲段。

對于高頻噪聲段，采用去噪力度相對較大的Sqtwolog規則進行閾值去噪，最大程度地去除噪聲。對于剩下的小波包，計算各個小波包節點的能量Ei，為了使不同的分解層數的小波包具有可比性，采用Ei/25-j（以5層小波包分解為例）表示各節點的能量，其中i代表節點編號，j代表節點所在層數，并把節點能量按大小排序。

小波包的能量越高，表示對應的頻段中有用信號的成分越大；反之，說明噪聲成分更大。據此，可以按照能量值的大小確定信號段與過渡段的分界。這里需要指出的是，這里所謂的分界其實并不是嚴格意義上的分界，根據實際情況的不同，需要根據經驗給出相對較合理的分界條件。下面以Matlab自帶的Doppler信號為例，根據小波函數的選擇原則，經過對比分析之后，選擇db4小波作為分析小波，對信號進行5層小波包分解，并且計算它的最優小波包基，對其能量排序，取能量最低的4個小波包，求其能量的平均值Ea，當某個小波包的節點能量大于n（n≥2，由經驗給出）倍Ea時，認為該頻段為有用信號段，采用Rigrsure閾值規則進行閾值去噪。剩下的小波包節點即為過渡段，使用Minimaxi閾值規則進行閾值去噪。這里需要指出的是，此方法并不是適用于所有的振動信號，n≥2的條件也等同于信號的SNR≥3，當信號的SNR＜3或者信號是純噪聲時，此方法的降噪效果并不理想。所以在信號降噪之前，首先要對信號給出判斷，以及信噪比的估計，根據估計給出經驗值n。

總的來說，對信號首先用小波包分解，并且結算它的最優小波包基。將分解后的小波包節點按頻率大小進行重排序，對于高頻段的小波包節點，直接對其用Sqtwolog規則進行閾值去噪。對于低頻段的小波包節點，通過進行能量排序，劃定有用信號段和過渡段的分界。對于有用信號段，采取Rigrsure閾值規則進行閾值去噪，對于過渡段，采取Minimaxi閾值規則進行閾值去噪。通過這種方式，經行閾值降噪，有效地提高了降噪的可靠性，極大程度地保留了有用信號。

4 基于matlab軟件的去噪仿真

為了驗證BWPES算法的有效性和優越性，以MATLAB（R2010a）作為平臺，對Matlab自帶的噪聲測試信號Doppler信號進行測試仿真，Doppler信號屬于非線性非平穩信號，和需要處理的信號較接近，有利于反應實際信號的處理效果。

為了能定量對比不同降噪方法的降噪效果，需要引入小波去噪效果的評價方法。常用的評價指標有信噪比（SNR）、均方根誤差（RMSE）和平滑度指標。

信噪比是測量信號中噪聲量度的傳統方法，它的計算公式[6]為：

均方根誤差是指原始信號與去噪后的估計信號之間的方差的平方根，它的計算公式[7]為：

由于信噪比在評價去噪指標時，有時不能完全反應去噪的效果，還引入了平滑度函數，它在評價去噪效果時，表現更好，它的計算公式[8]為：

式中，x(n)為原始信號；(n)為經小波包降噪后的估計信號；n為信號長度。

下面分別用Rigrsure準則、Sqtwolog準則、Minimaxi準則、小波Wden自動去噪以及文獻[5]中的SMS閾值降噪方法與本文提出的BWPES降噪方法進行對比分析。為了使結果對比更具可靠性，在使用不同方法進行閾值降噪的過程中，使用統一的小波基函數、閾值函數和小波分解層數，如圖3～9。

圖3 Matlab中的noisdopp信號

圖4 Rigrsure準則降噪后信號

圖5 Sqtwolog準則降噪后信號

圖6 Minimaxi準則降噪后信號圖

圖7 小波Wden自動降噪后信號

圖9 BWPES降噪后信號

表1 降噪效果對比

通過不同降噪方法的效果對比，不難發現，雖然各種不同的方法都起到了一定作用的降噪效果，但是由于Rigrsure和minnimax閾值選取規則比較保守，僅將部分系數置零[9]，因此在信號去噪的過程中，噪聲去除不夠徹底。Sqtwolog閾值選取規則是選用固定的閾值，相對去噪力度較大[10]，在去除高頻噪聲的同時，把高頻段的信號也同時去除了。小波Wden自動降噪的實質也是根據信號的特點選擇一種單一的閾值選取規則[11]，因此也無法避免單一閾值選取所帶來的負面影響，而文獻[2]中提出的方法雖然避免了單一閾值選取帶來的不利影響，但是降噪效果仍然不是很理想。在此基礎上，本文提出了最優小波包能量分段閾值降噪方法，通過計算最優小波包的能量，并依據能量進行分段去噪，不僅能最大程度地去除噪聲，而且還能分辨出高頻信號和高頻噪聲，大大提高了小波包降噪的可靠性。

5 結束語

本文通過比較不同的閾值選取規則進行小波包降噪的效果，指出了各自存在的缺點，提出了最優小波包能量分段閾值降噪方法，并跟其他小波包降噪方法進行對比分析，得出最優小波包能量分段閾值降噪方法明顯優于其他小波包降噪方法，在機械設備的狀態監測和故障診斷中可以運用此方法，這將大大提高特征提取的準確性。

本文的降噪方法在高SNR信號降噪中取得了較好的效果，但是并不是適用于所有的振動信號，信號降噪的另一個關鍵問題是噪聲估計，過多的噪聲估計和過少的噪聲估計都將不利于有用信號從被噪聲污染的信號中提取出來。所以，如何更加精確地進行噪聲估計是下一步需要努力研究的方向。

[1]譚文才，張秋菊.小波包多閾值去噪的一種改進[J].江南大學學報：自然科學版，2012，11（2）：178-181.

[2]郭曉霞，楊慧中.基于多閾值的小波包去噪[C]//第27屆中國控制會議.北京：北京航空航天大學出版社，2008.

[3]Daubechies I.Ten lectures on wavelets（CBMS-NSF regional conf series in appl math）[M].Philadelphia：Society for Industrial and Applied Mathematics，1992.

[4]魏寶琴，李白萍.最有小波基的選擇原則[J].甘肅科技，2007，23（10）.

[5] 紀躍波.小波包的頻率順序[J].振動與沖擊，2005，24（3）：97-99.

[6]吳富梅，楊元喜.基于小波閾值消噪自適應濾波的GPS/INS組合導航[J].測繪學報，2007（2）.

[7]林淵，肖峰，鄭賓，等.小波變換閾值降噪方法及其在武器自動機數據處理中的應用[J].電子測量技術，2009，32（1）：128-130.

[8]王翔，葛曉霞.基于小波變換的汽輪機振動信號軟閾值消噪技術研究[J].汽輪機技術，2009，51（3）：204-206.

[9]田玉靜，左紅偉.小波消噪閾值算法優化[J].聲學技術，2009，28（4）：503-506.

[10]李雙，葉威.小波消噪在測試信號處理中的應用[J].理論與實踐，2011，31（2）：4-8.

[11]劉文藝，湯寶平，蔣永華.一種自適應小波消噪方法[J].振動、測試與診斷，2011，31（1）：74-78.