一種改進的灰色關聯度算法及其推廣應用

陳友軍，何洪英

西華師范大學 數學與信息學院，四川 南充 637009

1 引言

灰色系統關聯分析不僅是灰色系統理論的重要組成部分之一，而且是灰色系統分析、建模、預測、決策的基石。通過近年來的研究表明，灰色關聯理論無疑是灰色系統理論應用最廣泛、最具活力的部分。正是由于所有的灰色關聯分析均是在灰色關聯度的基礎上進行的，灰色關聯度模型直接影響著關聯分析和應用結果，因此研究關聯度模型及其算法具有十分重要的意義[1-9]。

現有的灰色關聯分析是基于思想：根據序列曲線幾何形狀的相似程度來判斷其聯系是否緊密，曲線越接近，相應序列之間的關聯度就越大，反之就越小[1]；由于其以序列曲線的相似性為研究基礎，因此，這里所謂的曲線越接近是指曲線的相似性，并非是曲線本身的接近（貼近），所以這種關聯分析是一種相似性分析，不是接近性分析；而灰色聚類、灰色決策等實際應用中也經常使用各已知模式與理想模式的接近程度的關聯分析，已知模式與理想模式越接近，接近程度就越高，接近度的值就越大，也就是說這種關聯分析是一種接近性分析，不是相似性分析。接近性應當根據序列曲線的幾何形狀特征以及空間位置關系差異判定其關聯是否緊密，接近程度與相似程度是完全不同的兩個概念，對數據處理的要求也不相同，因而應有不同的定義和表達式以及不同的規范性和接近性[1-5]。

對于劉思峰教授提出的廣義灰色關聯度模型，由于其計算方便，不會出現量化結果與定性分析結果不符等一些優勢，因而在現實中已經得到了廣泛的應用[10-16]。但是深入研究發現其存在嚴重的不足之處，從某些實際例子來看，廣義灰色關聯度以及劉思峰教授在此基礎上提出的灰色接近性關聯度和灰色相似性關聯度都無法反映序列間的真實接近性或相似性，也就是實際上是存在量化結果與定性分析結果不一致的問題。

2 問題提出

劉思峰教授在文獻[1]中以及前幾版的書中都給出了灰色廣義關聯度，其中包括灰色絕對關聯度和灰色相對關聯度，并在最新版的文獻[1]中根據灰色廣義關聯度的相關命題和定義給出了灰色接近性關聯度和灰色相似性關聯度。然而，正是因為這些文獻中所給命題與灰色序列關系的實際意義（接近或相似）存在不一致而導致了一系列的問題。

2.1 相關命題及定義

命題2.1.1設系統行為序列Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))，記拆線 (xi(1)-xi(1),xi(2)-xi(1),…,xi(n)-xi(1))為Xi-xi(1)，令

則

（1）當Xi為增長序列時，si≥0；

（2）當Xi為衰減序列時，si≤0；

（3）當Xi為振蕩序列時，si符號不定。

類似地可以給出Si的符號變化情況。

定義2.1.1設系統行為序列Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))，D為序列算子，且

其中xi(k)d=xi(k)-xi(1)，k=1,2,…,n，則稱D為始點零化算子，XiD為Xi的始點零化像，記為

則

（1）當恒在上方，si-sj≥0；

如圖 1所示，圖（a）中，恒在上方，所以si-sj≥0，圖（b）中，與相交，si-sj的符號不定。

對于Si-Sj不難得到類似的結論。

圖1 拆線關系示意圖

2.2 存在的問題

由上面的命題和定義知si為經始點零化后序列拆線與時間軸所圍圖形的面積，而Si為原始序列拆線與時間軸所圍圖形的面積；當然si-sj即為兩原始序列經始點零化后的拆線與時間軸所圍圖形的面積之差，Si-Sj即為兩原始序列的拆線與時間軸所圍圖形的面積之差。那這些面積差是不是圖1中所示的面積差（圖中陰影部分所示）呢？

很遺憾的是，這些面積差并不表示圖中所示的陰影部分的面積，這種計算方法得到的是兩個總面積之差，并不是交叉的陰影面積。然而，現實中人們更關心的是圖中陰影部分的情況，也就是兩種拆線圖形的真實差異情況。

2.3 實例分析

例2.1設系統行為序列X1=(1,3,5,7)，X2=(1,5,3,7)，它們經始點零化后的序列分別為=(0,2,4,6)和=(0,4,2,6)，拆線如圖2所示，試計算它們的灰色絕對關聯度、灰色相對關聯度、灰色接近性關聯度和灰色相似性關聯度。

圖2 拆線樣式

解：很明顯，兩個序列既不接近，也不相似。

利用2.1節的相關命題及定義計算數據：

依據文獻[1]中所給灰色絕對關聯度、灰色相對關聯度、灰色接近性關聯度、灰色相似性關聯的計算公式計算得到的這些關聯度均為1。然而，從某種意義上說，只有當兩序列完全重合時這些關聯度才可能為1，因此，劉思峰教授所提出灰色廣義關聯度的計算方式是不符合實際意義的，其根本原因在于對前述“面積之差”的理解有誤。

本例所給兩序列一是單調增長的，另一個是振蕩序列，根據例子的形式，還可以列舉出無窮多類似的例子。對于常見的兩個或多個序列同為單調增或單調減的，也可以找到無窮多的實例。

實際上，劉思峰教授提出的廣義灰色關聯度計算方法問題的根本原因就是忽略了圖形的本質特征而僅考慮面積之差，這就好比如果一個三角形的面積等于一個圓的面積時，是不能說三角形和圓是相似的或接近的。雖然劉思峰教授在文獻[1-3]中給出了接近性關聯度、相似性關聯度等的新性質，但這些卻給實際應用帶來了麻煩，特別是在進行灰色聚類分析和灰色決策分析時，到底應該對這樣的序列怎樣歸類，他們到底是不是屬于同類行為導致的呢?很明顯，現實中是不允許這樣做的。比如某同學的成績排名從第一學期到第四學期分別是1、3、5、7，而另一個同學的成績排名是1、5、3、7，這兩個序列的幾種灰色關聯度均為1，那我們能說這兩同學的學習情況是完全相似、他們的成績是完全接近的嗎？很明顯不是的，當然我們也無法得出結論說這兩個同學的學習能力、學習方法等是差不多的。

3 改進算法

綜上，廣義灰色關聯度的不足之處在于對序列間存在的面積理解和計算方法有誤，因此，改進算法就從面積入手進行。

陳友軍在文獻[6]中提出了灰色面積關聯度，后來又有很多學者提出了以圖形的面積差異來計算關聯度的方法[7-9]，然而這些文獻中的計算多是針對特殊例子而言的，且計算過程大多過于麻煩（使用很多的絕對值計算方式），因此本文以陳友軍提出的灰色面積關聯度來對劉思峰教授提出的灰色廣義關聯度等進行改進。

3.1 灰序列圖形間的面積

設系統行為序列Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))，Xj=(xj(1),xj(2),…,xj(n))，且都為1-時距序列，則這兩個序列的折線圖分布的可能情況如圖1所示。對于兩序列的折線圖所圍面積的情況，總的來說有三種，但是第一種情況可看作是第三種情況的特例，即當第三種情況的某一對端點重合時的情況，最特殊的是兩對端點都重合時的情況，這也是第三種的特例；而第二種面積，即是兩曲線段有交叉的情況。

（1）對面積①和③，此時有xi(k)≤xj(k)且xi(k-1)≤xj(k-1)或者xi(k)≥xj(k)且xi(k-1)≥xj(k-1)，它們的計算可由下式得到：

（2）對面積②，它由兩條線段交叉形成，而線段的端點已知，因此可以先計算出交點坐標，再分別計算兩個三角形的面積，于是得到：

由此，可以得到兩任意灰序列Xi與Xj的拆線圖所圍成的面積Sij，其計算方式為：

其中，當序列對應項滿足xi(k)≤xj(k)且xi(k-1)≤xj(k-1)或者xi(k)≥xj(k)且xi(k-1)≥xj(k-1)時按式①計算，其他情況按式②計算。

3.2 灰色絕對關聯度與灰色相對關聯度

實際上灰色絕對關聯度與灰色相對關聯度的差異在于是否先對序列作初值化處理，故在此只給出計算灰色絕對關聯度的算法。

步驟1計算序列的始點零化像和；

步驟2 計算|si|和|sj|；

步驟3計算sij；

若要計算灰色相對關聯度，只需在算法最前面加上一步計算原始序列的初值像即可。

3.3 灰色接近性關聯度和灰色相似性關聯度

根據劉思峰教授在文獻[1]中所給灰色接近性關聯度與灰色相似關聯度的計算公式，不難得出這兩種關聯度的計算新方法。

對于灰色相似性關聯度，計算方法和公式與灰色接近性關聯度類似，只不過應當先計算系統行為序列的始點零化像。后面的計算都是針對始點零化像來做的，在此不再贅述。

有了上面對各類灰色關聯度的新算法，在實際應用中，依據序列的幾何形狀進行聚類或進行決策分析等時則選用灰色相似性關聯度；若要依據序列的空間位置關系進行聚類、決策等時則可選用灰色接近性關聯度。

4 計算實例

例4.1序列數據如例2.1所示，計算它們的灰色絕對關聯度、灰色相對關聯度、灰色接近性關聯度和灰色相似性關聯度。

解：系統原始行為序列為X1=(1,3,5,7)，X2=(1,5,3,7)，很明顯，它們的初值化像與原始序列相同，它們經始點零化后的序列分別為=(0,2,4,6)和=(0,4,2,6)。

因此這兩個序列間的各種關聯度分別為：

灰色絕對關聯度：

灰色相對關聯度：由于兩序列的初值化像與原始序列相同，故它們的灰色相對關聯度等于灰色絕對關聯度。

灰色接近性關聯度：

灰色相似性關聯度：

從這些結果來看，它們與例2.1的計算結果是完全不相同的。從灰色絕對關聯度大小來看，說明兩序列間存在一定的關聯性；而從灰色接近性關聯度和灰色相似性關聯度來看，則說明兩序列既不接近也不相似。因此，在實際做聚類分析、決策分析時應當根據實際要分析的目標選取統一的關聯度來分析，不能有的選用灰色絕對關聯度，有的選擇灰色接近性關聯等。

5 結束語

灰色系統關聯分析是近幾年來灰色系統理論研究中最活躍的分支之一，其關聯度的計算結果直接影響到系統聚類、決策分析、灰色預測模型的建立等各個方面。本文對劉思峰教授提出的經典廣義灰色關聯度及新提出的灰色接近性關聯度和灰色相似性關聯度提出了部分改進算法，通過實例分析發現，改進算法比原算法更貼近實際應用目的。但是這些關聯度的計算仍然還有很多工作要做。

（1）對于采用本文提出的方法計算灰色接近性關聯度和灰色相似性關聯度，由于以序列拆線所圍面積直接參與計算，可能會出現得到的關聯度相對偏小的情況，因此，是否可以通過對Sij和sij進行開方運算、取算術平均等方式讓計算結果更直觀，實際應用中到底取哪種更合適。

（2）對于灰色接近性關聯度的研究，很多學者比較統一的觀點是接近性反映的是序列的接近程度，因此可以通過拆線所圍面積或者直接通過序列對應點的差值（點距）來計算；然而對于相似性關聯度來說，到底什么才算相似，有學者提出：對系統行為序列Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))和Xj=(xj(1),xj(2),…,xj(n))，若存在常數α(≠0)和β，使得xj(k)=αxi(k)+β，則認為兩序列完全相似（以絕對值方式計算，相似性關聯度為1），那如果是這樣，序列X1=(1,3,5,7)與X2=(7,5,3,1)就完全相似，因為有x2(k)=-x1(k)+8成立，同理，X1也與序列X3=(2,4,6,8)完全相似，因為有x3(k)=x1(k)+1成立；但是從實際圖形來看，這些拆線卻并不滿足有學者提出相似性關聯度的性質。事實上，X1和X2就好比上山和下山所做的功，上山和下山雖然道路相同，但是運動效果明顯不相似。那是否有必要對關聯度引入負相關的概念值得進一步研究。

[1]劉思峰，謝乃明.灰色系統理論及其應用[M].6版.北京：科學出版社，2013.

[2]劉思峰，蔡華，楊英杰，等.灰色關聯分析模型研究進展[J].系統工程理論與實踐，2013，33（8）：2041-2046.

[3]劉思峰，謝乃明，Jeffery F.基于相似性和接近性視角的新型灰色關聯分析模型[J].系統工程理論與實踐，2010，30（5）：881-887.

[4]謝乃明，劉思峰.幾類關聯度模型的平行性和一致性[J].系統工程，2007，25（8）：98-103.

[5]崔杰，黨耀國，劉思峰.幾類關聯分析模型的新性質[J].系統工程，2009，27（4）：65-70.

[6]Chen Youjun，He Hongying，Wei Yong.By using grey area relational grade combined with NLP method to optimize GM（1，1）model[C]//Proceeding of 2008 IEEE World Congress on Computational Intelligence，Hong Kong，June1-6，2008.

[7]王靖程，諸文智，張彥斌.基于面積的改進灰關聯度算法[J].系統工程與電子技術，2010，32（4）：777-779.

[8]Zhang Ke，Zhang Yintao，Qu Pinpin.Comprehensive multivariate grey incidence degree basedon principal component analysis[J].Journal of Systems Engineering and Electronics，2014，25（5）：840-847.

[9]蔣詩泉，劉思峰，劉中俠，等.基于面積的灰色關聯決策模型[J/OL].控制與決策，2014.http：//www.cnki.net/kcms/doi/10.13195/j.kzyjc.2013.1649.html.

[10]孫鵬霄.灰色關聯方法的分析與應用[J].數學的實踐與認識，2014，44（1）：97-101.

[11]余步雷，周宗放，謝茂森.新灰色綜合關聯度模型及其應用[J].技術經濟，2013，32（1）：85-89.

[12]賀翔，唐果.基于層次分析和灰色關聯分析的寧波企業自主創新環境評價[J].科技與管理，2014，16（3）：14-19.

[13]楊芳芳，朱東升，王志巍等.利用灰色絕對關聯分析的中值濾波方法研究[J].計算機工程與應用，2013，49（13）：160-164.

[14]張健，王晉東，余定坤.基于灰關聯分析的連續值屬性約減算法[J].計算機應用，2014，34（2）：401-405.

[15]劉曉玲，謝仙斌，張家錄，等.基于灰色綜合關聯分析的網絡安全評估[J].集成技術，2014，3（4）：44-49.

[16]郭三黨，王玲玲，劉思峰，等.基于最大灰色關聯度的聚類方法分析[J].數學的實踐與認識，2013，43（6）：195-201.