維修－更換串聯系統貯存可用度建模及費用分析

楊力，馬小兵

(北京航空航天大學可靠性與系統工程學院，北京100191)

0 引言

貯存可用性是指產品在貯存狀態下，當任務需要時，產品處于可使用狀態的程度。貯存可用度作為貯存可用性的概率度量，是一種特殊的工作狀態可用度。對于大部分貯存類產品而言，其大修期或報廢期一般較長。在該期間內，由于貯存環境和維修管理等因素的影響，產品的貯存可用度會逐漸降低，直至一個不可接受的程度。目前，工程上對長期貯存產品一般采用定期檢測維修和定期更換這兩種策略，來保持和恢復其貯存可用度。

需要注意的是，檢測和更換間隔時間過長，會使產品長時間處于故障狀態，不可用導致的損失較多，而間隔過短則會導致過度維修，造成不必要的資金浪費。因此，有必要對基于可用度的貯存系統費用問題進行研究，尋求最佳維修保障策略。

在貯存可靠性研究方面，文獻［1 -2］基于Bootstrap 對貯存系統的可靠度進行了置信限評估。文獻［3 -4］構建了由3 類部件組成的系統的貯存可靠度模型，旨在尋找實現使平均可靠度最大的檢修策略。

在工作系統維護費用優化方面，文獻［5 -7］建立了包含不同壽命分布組件的系統混合檢測模型，并用仿真方法確定了長期運行的可用度和費用率。文獻［8 -9］提出了基于連續檢測的兩部件退化系統視情維修策略，并對其整體費用率進行了優化。文獻［10 -11］分別針對單組件和多組件系統建立了基于風險比例模型的視情維修策略，通過費用率確定最優預防性維修閾值。文獻［12 -15］對于定期檢測與機會檢測、隨機檢測結合的維修更換模型的費用進行了對比分析。

然而，目前對于多部件貯存系統的可用度和維修費用缺少研究。該系統的維修保障特點與工作系統差異在于:第一，貯存系統的故障只有通過定期檢測發現并予以維修，或通過定期預防性更換消除;第二，貯存系統一般是由幾類維護策略和維護周期均不同的部件構成。為此，本文開展了對由檢修類和更換類部件構成的貯存系統的可用度建模和費用評估優化工作。該系統中，第一類部件需進行定期更換，更換耗時固定;第二類部件需進行定期檢測，檢測有一定的概率無法發現故障，發現故障則立即維修如新，維修耗時固定。根據貯存期間的可靠性變化規律和具體維護情況，分別構建了兩類部件的瞬時貯存可用度模型，并推導了系統的平均貯存可用度。在此基礎上，建立了該系統在固定貯存期限內的維護費用模型，并基于更新理論對檢測周期以及更換周期進行了綜合的優化。最后，通過具體的數值和仿真算例對優化結果進行分析和驗證。

1 貯存可用度模型

1.1 模型假設

1)貯存系統由定期檢測維修和定期更換兩類相互獨立的部件串聯構成。出于簡化模型的考慮，假設每一類均為單個部件。

2)兩類部件從同一時刻開始貯存，設為零時刻。

3)更換類部件的更換周期為檢修類部件檢測周期的整數倍。

4)對檢修類部件的檢測是不完善的，有一定的概率發生漏檢，而對該類部件的故障維修是完善的，能將部件恢復到全新的狀態。

5)檢修類部件的檢測時間忽略不計，而維修時間不可忽略，更換類部件的更換時間不可忽略。

6)更換和故障維修期間系統均為不可用狀態。

1.2 更換類部件可用度模型

第一類部件通過定期更換策略來保證其高可用度。無論是否發生故障，該類部件每隔規定時間均需被全新的部件替換。實際貯存中，更換新部件消耗資源較多，且費用較高，不宜頻繁進行，故更換周期一般應大于檢修類部件的檢測周期。從方便系統整體維護的角度出發，可將該類部件的更換周期定為檢修類部件檢測周期的整數倍，以避免由于系統處于不可用狀態而造成的損失。更換-檢測周期比不為整數以及兩周期相同的情況將在后續研究中討論，本文暫不考慮。更換策略如圖1所示。

圖1 定期更換類貯存部件的更換策略示意圖Fig.1 Schematic diagram of replacement strategy of replaceable components

設T'為更換周期，T 為檢測周期，則有T' =NT(N≥2). 并設更換耗時為Tr，t 時刻的故障累積分布函數和可靠度函數分別為Fr(t)和Rr(t)。該類部件在任意時刻t 的瞬時貯存可用度可表示為

式中:m 為正整數。

具體推導過程如下:

1)當0≤t ＜NT 時，該類部件還未進行過任何更換，故瞬時貯存可用度為Ar(t)=P(Xr(t)=1)=Rr(t)，其中Xr(t)為該類部件的貯存狀態隨機變量

2)當mNT≤t ＜mNT +Tr時，該類部件正在更換過程中，即處在不可用狀態，故瞬時貯存可用度為Ar(t)=P(Xr(t)=1)=0.

3)當mNT+Tr≤t ＜(m+1)NT 時，部件處于貯存狀態。注意到部件每一次更換都相當于完成一次更新過程，并考慮到t 之前最近的更新時刻為mNT+Tr，故t 時刻的瞬時貯存可用度為Ar(t)=P(Xr(t)=1)=P(Xr(t -mNT -Tr)=1)=Rr(t -mNT-Tr).

1.3 檢修類部件可用度模型

該類部件每隔T 時刻進行定期檢測，檢測有p的概率無法檢測到故障。若檢測結果為正常，則不對部件進行任何操作，繼續貯存;若檢測結果為故障，則進行故障維修，耗時Tc(0 ＜Tc＜T)且修復如新，并繼續貯存。該類部件的檢測和維修策略如圖2所示。

圖2 檢修類貯存部件的檢測維修策略示意圖Fig.2 Schematic diagram of inspection and repair strategy of repairable components

設t 時刻的故障累積分布函數和可靠度函數分別為Fc(t)和Rc(t). 則該類部件在任意時刻t 的瞬時貯存可用度Ac(t)可表示為

式中:k 為正整數;Si=Rc(iT)-Rc((i+1)T).

設T*f為檢修類部件的首次故障發生時間，Tf為其首次維修開始時間。根據貯存時刻的不同，其瞬時貯存可用度可分為以下兩種情況:

1)當0 ＜t≤T +Tc時，檢修類部件的瞬時貯存可用度可以表示為

式中:Xc(t)為該類部件的貯存狀態隨機變量，Xc(t)=)表示該類部件貯存到t 時刻未發生過故障的概率，故有P(Xc(t)= 1，t ＜T*

f)= Rc(t);P(Xc(t)=1，T*f≤t≤Tf+Tc)表示該類部件從故障發生到故障維修完成這段時間內處于可用狀態的概率，顯然有P(Xc(t)=1，T*f≤t≤Tf+Tc)=0. 因此，當0 ＜t≤T+Tc時，該類部件的瞬時貯存可用度為Ac(t)=Rc(t)+0 =Rc(t).

2)當t ＞T+Tc時，該類部件的瞬時貯存可用度可表示為

結合情況1 中的推導結果，可化簡為Ac(t)=Rc(t)+P(Xc(t)=1，t ＞Tf+Tc)，式中:P(Xc(t)=1，t ＞Tf+Tc)表示部件在t 時刻之前已完成過故障的維修，且在t 時刻部件處于正常貯存狀態的概率。

設kT+Tc＜t≤(k+1)T+Tc，k =1，2，…. 若部件在t 時刻可用，則部件在t 之前的首次故障可能發生在［iT，(i+1)T］(i=0，1，…，k-1)內。由于每一次定檢均有p 的概率無法發現故障，因此該故障可能在jT(j=i +1，i +2，…，k)時刻被檢測到，繼而在jT+Tc時刻完成首次故障維修。從零時刻開始至首次故障維修結束即為一次更新過程。因此:

故當kT+Tc＜t≤(k+1)T+Tc時，部件的瞬時貯存可用度為

1.4 貯存系統可用度模型

貯存系統由1.2 節和1.3 節中的定期更換和定期檢修兩類部件串聯構成，且兩類部件相互獨立，故障間無影響。因此，某一時刻任意一類部件處于不可用狀態時，貯存系統也將處于不可用狀態。綜上，該系統在t 時刻的瞬時貯存可用度為

假定更換耗時Tr大于維修耗時Tc，且N≥2，即不考慮更換周期等于檢測周期的情況。此時系統的瞬時貯存可用度可表示為

式中:m 為正整數;nt=?t/T」;Si=Rc(iT)-Rc((i +1)T).

該貯存系統在時間區間［0，L］內的平均貯存可用度可表示為

式中:L 為固定貯存期限。

2 貯存系統費用模型

實際工程中，大部分貯存產品具有固定的貯存期限，超過該期限一般對產品予以報廢處理。本節將研究在固定期限內系統的貯存費用情況。關于無貯存期限的系統費用建模將在后續研究中進行，本文暫不考慮。

系統貯存期內產生的費用主要由以下四部分組成:更換類部件的更換費用、檢修類部件的檢測費用、檢修類部件的維修費用、貯存系統不可用導致的損失。費用參數設置如下:更換類部件單次更換費用為Cr;檢修類部件單次檢測費用為CI;單次維修費用為Cc，系統單位時間不可用導致的損失為Cd.

更換類部件的更換次數mr為

檢修類部件的檢測次數mI為

檢修類部件的期望維修次數E(Nc)為(檢修類部件在iT 時刻不可用)=

貯存系統在［0，L］上期望不可用時間E(Td)為

本模型的優化目標唯一，即為系統固定貯存期限內的平均貯存費用該優化目標與2 個決策變量相關:1)檢測周期T;2)更換周期與檢測周期長度比N. 由于更換周期NT 不能超過固定貯存期L，且N≥2，故檢測周期T 不能超過L/2. 此外，維修和更換時間一般遠小于檢測周期，故T ＞max (Tr，Tc).

將(6)式～(9)式代入(10)式并化簡，可得到該費用優化問題的數學描述:

式中:Ac(iT)為關于T 的可用度函數，可通過(2)式求得(0，L)為關于(N，T)的可用度函數，可通過(4)式、(5)式求得。可以發現，該貯存系統費用率與貯存部件及貯存系統的可用度均密切相關。

由于2 個優化變量取值均為整數且數據量相對較小，因此擬采用枚舉法，從滿足約束條件(11)式的若干組決策變量(T，N)中搜索使(T，N)達到最小的最優解(T*，N*)。

3 算例

3.1 貯存可用度分析

設系統的固定貯存期限L 為180 個月。更換類部件故障時間服從威布爾分布，其尺度參數ηr為550 個月，形狀參數mr= 1.1，部件更換耗時為0.2 個月;檢修類部件的故障時間服從威布爾分布，其尺度參數ηc為120 個月，形狀參數mI=1.7，每次檢測未能檢出故障的概率為0.05，故障維修耗時為0.1 個月。

更換類部件的更換周期T'為24 個月時其瞬時貯存可用度變化規律如圖3所示。

圖3 更換類部件瞬時貯存可用度變化曲線(更換周期為24 個月)Fig.3 The curres of transient storage availability of replaceable components (replacement cycle:24 moaths)

由圖3可見，首個更換周期內貯存可用度不存在零點。從第2 個周期開始，在初始的更換階段可用度為0. 而更換完成時變為1，且各周期內變化規律相同。該部件的貯存可用度一直維持在某一較高的水平，表明定期更換對部件可用度的保持和恢復作用較顯著。

當檢測周期T 為12 個月時，檢修類部件的瞬時貯存可用度變化規律如圖4所示。

圖4 檢修類部件瞬時貯存可用度變化曲線(檢測周期為12 個月)Fig.4 The curves of transient storage availability of repairable components (inspestion cycle:24 months)

由圖4可見，瞬時貯存可用度周期性上下振蕩。隨時間增大，振蕩區間內的最低可用度將收斂于某一固定值。此外，由于受維修期間不可用時間的影響，零時刻之后的可用度峰值無法達到1.

當定檢周期為12 個月，更換周期為24 個月時，該系統平均貯存可用度變化規律如圖5所示。

圖5 系統平均貯存可用度變化規律(檢測和更換周期分別為12 個月、24 個月)Fig.5 The change rule of average availability of system (inspetion cycle:12 months;raplacement cycle:24 months)

從圖5可看到，系統平均貯存可用度整體上逐漸下降并趨近于某一定值。通過計算表明，該維修-更換串聯系統存在穩態平均貯存可用度。此外，平均貯存可用度在局部范圍內呈周期性的先增后減的變化規律，但這種變化逐漸趨于不明顯。

3.2 系統貯存費用研究

貯存期間的各項費用如下:更換類部件單次更換費用Cr=100 000 元，檢修類部件單次檢測費用CI=5 000 元，檢修類部件單次維修費用Cc=40 000 元，系統單位時間不可用導致損失Cd=180 000 元/月。

計算結果表明，當T 為4 個月且N =6 時，即更換類部件更換周期為24 個月，檢修類部件檢測周期為4 個月時，系統在固定貯存期限180 個月內的平均費用率最小，為19 026 元/月。平均費用率與兩決策變量的關系如圖6所示。

圖6 平均費用率與檢測周期及周期比的關系Fig.6 Average cost rate vs. inspection cycle and cycle radio

當更換-檢測周期比N 分別為4、6、8 時，平均費用率與檢測周期的關系如圖7所示。

圖7 平均費用率與檢測周期的關系(N 分別為4、6、8)Fig.7 Average cost rate vs. inspection cycle (N=4，6，8)

當檢測周期分別為2 個月、4 個月、6 個月時，期望費用率與更換-檢測周期比N 的關系如圖8所示。

由圖7可見，當N 確定時，系統平均費用率隨檢測周期增大先單調減后單調增，存在唯一最小值。類似的，由圖8可見，當T 確定時，隨著倍數N 的增大，系統期望費用率先減后增，存在唯一最小值。圖6～圖8綜合分析表明:若檢測和更換周期過短，部件維護過于頻繁，相應費用較多，導致費用率偏高;而若周期過長，則系統不可用時間較多，不可用損失較大，同樣不利于降低費用率。因此，對檢測周期和更換周期進行合理的規劃配比是節省系統貯存費用的重要途徑。

圖8 平均費用率與周期比N 的關系(T 為2、4、6 個月)Fig.8 Averge cost rate vs. replacement-inspestion cycle radio N(T=2，4，6 monts)

3.3 費用仿真驗證

費用蒙特卡洛仿真的各項故障分布、費用及維修相關參數值見3.1 節。需要生成的隨機變量包括:1)服從威布爾分布的更換類部件故障時間f1、f2;2)服從二項分布的檢修類部件故障檢測結果P(P 取1 或0，1 表示檢測結果為正常，0 表示檢測結果為故障)。仿真運行次數K=10 000. 仿真流程如圖9所示。

部分仿真和計算結果如表1所示。通過對比可以看到，貯存費用率的計算結果與仿真結果基本吻合，從而驗證了模型的準確性。

表1 貯存費用的計算值和仿真值Tab.1 The calculated and simulated values of storage cost

4 結論

圖9 貯存費用仿真流程圖Fig.9 Flow chart of storage cost simulation

本文基于實際中長期貯存產品的特點，分別對定期檢修類和定期更換類貯存部件的維修保障策略及特點進行了研究，并以此為基礎構建了貯存系統可用度模型及貯存費用模型。通過對檢測周期以及更換周期的優化選取，實現固定貯存期限內平均費用率最低的目標。計算結果表明，最優系統維護策略存在且唯一，且不同的檢測-更換周期組合對費用率有較為明顯的影響。因此對系統各類周期的合理計劃安排是提升貯存經濟性的重要途徑。最后，通過蒙特卡洛仿真驗證了該優化計算結果的準確性。

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