培養學生的問題能力
——以“復數”的教學為例

文/劉政彪

培養學生的問題能力
——以“復數”的教學為例

文/劉政彪

本文結合復數的教學實例，從培養學生提出問題、思考問題、解決問題的能力出發，談談本人的認識。

培養;問題;能力

數學地提出問題、思考問題、解決問題是推進數學發展的一個重要途徑。有時是問題本身得到解決；有時是問題的反面得到解決；有時是問題雖然還不能解決，但在試圖解決它的過程中發展出許多新的思想、方法。因此，數學教育要培養學生提出問題、思考問題、解決問題的能力。下面就此問題結合復數的教學實例, 談談本人的認識。

1. 復數的教學情況分析

復數的內容是高中數學課程中的傳統內容。《標準》要求了解復數的代數表示法及其幾何意義；能進行復數代數形式的四則運算，了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義。同時對于感興趣的學生，可以安排一些引申的內容，如求x3=1的根、介紹代數學基本定理等。

對于復數的代數形式的加、減運算及其幾何意義的教學，多數教師按照課本次序先規定復數的加法法則，再討論復數的加法法則的幾何意義。部分教師嘗試用向量的加法法則引入復數的加法法則，還有部分教師先規定復數的四則運算法則，最后引入復數加、減法法則的幾何意義。但不管是用哪種方法，在學到復數運算的幾何意義時，學生會自然地想到：既然復數和向量是一一對應的，那為什么不能用向量的乘積來定義復數的乘積？向量沒有除法法則，為什么復數有除法法則？復數的乘法法則有沒有幾何意義？復數的除法法則有沒有幾何意義？

2.抓住思考方向，鼓勵探究

有根據地提出問題是解決問題的前提，其重要性不言而喻。在數學教學中“問題解決”教學往往可以通過教師為學生創設問題情境，讓學生在解決問題的過程中學數學、用數學。但是重視并利用學生在學習中提出的疑惑和問題，引導學生進行探索，更能喚起學生主動學習的意識，提高學生學習的興趣。《標準》在教學建議中指出，針對不同的教學內容，可采用不同的學習方式，鼓勵學生積極參與，幫助學生在參與的過程中產生內心的體驗和創造。因此，教師可以不拘泥于原定的教學計劃，讓學生大膽地提出問題，鼓勵探究。

3.復數與幾何意義的教學設計

(1)復數加法幾何意義的教學。通過討論發現復數的加法對應了向量的加法，即復數的加法可以按照向量的加法來進行。類比加法法則的討論，學生通過自主探索發現復數的減法可以按照向量的減法來進行。

(2)復數的乘法可以按照向量的乘法進行嗎？根據復數的乘法法則可以發現，復數的乘法可以按照多項式的乘法來進行，而且結果還是復數。然而兩個向量的乘積是實數，因此復數的乘法不可以按照向量的乘法進行。

(3)復數的乘法法則有沒有幾何意義？復數的乘法屬于代數問題，幾何變換屬于幾何問題，溝通兩者的橋梁就是笛卡爾創立的直角坐標系。對于復數加、減法法則的幾何意義的探討方法正是如此。為了方便研究，我們引入復數的三角表示法。

z·z1=(rcosθ+irsinθ)(r1cosφ+ir1sinφ)

=rr1cosθcosφ+irr1cosθsinφ+irr1sinθcosφ+i2rr1sinθsinφ

=r(cosθcosφ-sinθsinφ)+ir(cosθsinφ+sinθcosφ)

=rr1cos(θ+φ)+irr1sin(θ+φ)

z·z1對應的向量是由z對應的向量伸縮了|z1|倍，再逆時針旋轉了φ后得到的，旋轉角度φ是z1所對應的輻角。

從幾何意義上講，復數的除法恰好是復數的乘法的逆操作。這不僅對應了實數范圍內除法與乘法互為逆運算的說法，而且避免了課本上的生硬規定。

雖然這樣比較費時間，也會影響正常的教學進度，但卻是值得的。因為問題是學生自主提出的，而且在教師的適當引導下親身經歷數學知識的探究過程，體驗破解問題的成就感。同時進一步強化了學生數學思維和問題意識。并且在理解了之后會使學生較順利地掌握復數的乘、除法法則，也為最終的知識、技能達標打下良好基礎。

[1] 數學課程標準研制組. 《普通高中數學課程標準(實驗)解讀》[M] . 南京：江蘇教育出版社,2004.

[2]張思明.“問題解決”與問題環境設計[J].北京教育學院學報，1997,1.

劉政彪(1986-)，男，漢族，汕尾，碩士研究生，廣東省廣州市番禺區實驗中學，中學數學教學。

G

A

2095-9214(2015)02-0131-02

廣東省廣州市番禺區實驗中學)

本論文曾獲第二十七屆番禺區教育學會論文評比三等獎