讓數學文化浸潤練習課

浙江溫嶺市三星小學（317500） 陳恩輝

在小學數學教學中，練習課大約占總課時的40%左右，既是新授課的有效補充與拓展延伸，又是學生掌握數學知識、習得數學方法、培養學習興趣、提高數學思維能力必不可少的手段與途徑。但如今，數學練習課往往被教師簡化成只做數學練習的課。如何讓數學練習課更多地傳遞數學知識、傳承數學文化、傳播人類文明，值得每位數學教師思考。下面我就以自己親自上過的一節比賽課為例，談談這個問題。

去年市里舉行優質課評比活動，我有幸代表學校參加比賽，上內容為“分數加減法”的練習課，這個練習安排在“異分母分數加減法”新授課的后面，主要目的是在學生學習分數加減法后，通過各種形式的練習鞏固學生對分數加減法的計算方法，提升學生的計算能力。這個練習，教材一共安排了13道習題（課本第13～16頁），其中第1～3題和第5、第6、第8題屬于基礎計算類題目，主要鞏固學生對異分母分數加減法的計算方法，而第3題兼具培養學生數感的功能；第4、第7、第9、第11、第12題屬于解決問題類題目，既有利用異分母分數加減法解決簡單實際問題的基礎題，又有綜合性較強的實踐運用題；第6和第10、第13題屬于拓展延伸類題目，第6題是在常規計算的基礎上找到速算的方法，既是基礎題，又是拓展題，第10題是關于楊輝三角的變式運用，主要意圖是為了增強學生的計算興趣，而第13題是為學有余力的學生提供的挑戰題。這么多的題目想要在一節課內完成教學顯然是不可能的，于是我對本節練習課的教學目標定位如下：（1）通過基礎練習，鞏固學生對分數加減法的計算方法，提高他們的計算能力；（2）借助數學文化的魅力，對分數加減法的計算進行拓展延伸，培養學生的數學思維能力；（3）讓枯燥的數學計算變得生動、有趣，提升學生對數學的學習興趣。

為了挖掘數學文化的魅力，我就在“埃及分數”上做文章。在“異分母分數加減法”新授課結束后，教材安排了一個“你知道嗎”的內容，在這則閱讀材料里介紹了“埃及分數”的知識。“埃及分數”是指古埃及沒有表示分數的通用方法，只用一些特殊符號來表示分子為1的分數，而其他分數都是用幾個分子為1的分數之和來表示，如等。這一部分內容在平常的教學中往往被教師所忽視，讓學生看一看就算了事。在備課中，我發現第12題和第6題能很好地詮釋“埃及分數”的意義，于是就在課堂的第二個環節中充分利用“埃及分數”做文章。

情景再現：

在第一個環節的基礎練習結束后，第二個環節中，我就引導學生領略埃及數學文化的魅力。由于教材中的第12題是問“每個孩子分得這些蘋果的幾分之幾”，這個問題問的是部分與整體之間的關系，與單位“1”的具體數量無關，不能引入“埃及分數”，所以我把問題作了改變：“每個孩子分得幾個蘋果？該怎么分呢？”教學中，我把全班學生按8人一組分好，每組分給6個圓片代表6個蘋果，讓學生合作嘗試可以怎么分蘋果。學生交流匯報的時候，我根據他們每人手上拿著的圓片情況，有序地進行教學。

生1：我們是把每個圓片都平均分成8份（同組的同學補充“把6個圓片疊在一起分”），共48份，再每人拿6份，就是

生2：我們是把每個圓片平均分成4份，共24份，再每人拿3份，就是

師：你們的分法與他們相比，有什么好處？

生2：他們分得比我們碎。

師：也就是說，你們的整體性更好一些。那有沒有比他們整體性更好的方法呢？

生3：我們先拿4個圓片，把每個圓片都平均分成2份，一共有，每人先得；再把余下的2個圓片每個都平均分成4份，一共有，每人再得1個，這樣每人就一共得到了。

……

我先通過課件演示生3的方法，讓學生明白具體的操作過程，再告訴學生剛才看到的方法就是古埃及人使用的方法。接著，我向學生介紹“埃及分數”，以及萊因德紙草書中關于把9個面包平均分給10個人的方法（方法是先拿5個面包，每個都平均分成2份，共有10個，每人先得個面包；再把余下的4個面包每個都平均分成3份，共有12個個，每人再得到個面包；最后把余下的都再平均分成5份，共有每人得個面包，這樣每人得到的面包就有這樣教學，既讓學生體會到古埃及勞動人民的智慧，又讓他們感悟到這種分數表示方法給后來的計算帶來的弊端。

生4：我發現它們的分母都是原來兩個分母的積，分子都是原來兩個分母的和。

師：這四道題目有什么特點呢？

生5：分母互質，分子都是1。

師：是的，我們數學中的很多規律都可以用字母來表示，這個規律你們會表示嗎？

在學生研究出分數單位相加的速算方法后，自然就引出了相減的話題。于是我出示第6題的四道減法式子，不過由于第6題的四道減法式子的分母都是相鄰的自然數，使得差的分子都是1，容易誤導學生，不利于學生得出規律，所以我作了些許改變，如等。有了剛才加法的研究基礎，在這一環節中，學生都能自主地發現規律，并且在與同學的討論中總結出了它的速算方法，也學著用字母表示出來。

在領略了古埃及的數學文化之后，第三個環節，我引導學生把研究對象轉回到了對古代中國數學的研究，即第10題的楊輝三角。不知不覺四十分鐘很快過去了，下課的鈴聲響起時，學生還沉浸在剛才的數學文化探尋之旅中。

反思：

我課后反思認為，要想上好數學練習課，并讓課堂充滿數學文化味，應盡力做到以下三點。

1.深入挖掘數學價值

要想讓枯燥的數學練習充滿數學味，必須要理解教材中每道習題的編寫意圖，充分挖掘習題的價值和內涵。一般有以下兩種基本途徑：

（1）立足教材。

教材畢竟是教材，它的每道練習題都是由專家通過再三斟酌后編制和選定的。作為一線教師，要先尊重教材，深入理解教材中每一道習題的編寫意圖，體會它的價值與內涵，不要被它樸素的外表所迷惑。我們不能總想著要通過光鮮的多媒體去呈現所謂“高大上”的練習題以奪人眼球，這是一種功利的想法，要摒棄。如本節課中的第12題，看似一道毫不起眼的題目，卻承載了深厚的數學文化——“埃及分數”。又如，本節課中的第10題“有趣的三角”，看似僅僅是同分母分數加法的練習，但它其實是楊輝三角的變式運用，它的分子就是楊輝三角數，這里面包含了眾多古今中外數學家的研究成果，如賈憲、楊輝、帕斯卡……對于學生來說，現在雖然理解不了楊輝三角數這一知識，但它的前幾行卻是11的自乘積，即11的n次冪，這個知識學生還是能夠理解的。

（2）改編教材。

教材無非是個例子。教材是由專家編寫而成的，由于每個人的立場不同以及編寫教材的時空限制，難免會出現一些疏漏，因此我們不能死抱著教材不放。我們可以對教材中一些不盡如人意的地方進行調整，使得它更符合我們的教學意圖。如教材中的第6題與第12題，它們雖然不存在錯誤，但我們可以對它們進行一些微調，以更加適合我們的教學需要。又如第9題，教材中的原題只是根據分數的意義對鐘面平均分后再取一份進行涂色，我們可以把這道題進行一些微調，讓第二幅圖的指針位置從第一幅圖的結束位置（即6點鐘的位置）開始，讓第三幅圖的指針位置從第二幅圖的結束位置（即10點鐘的位置）開始，然后依次動態呈現，這樣就變為既可以考查分數意義，又可以考查分數加減法的題目，一舉兩得，何樂而不為？

2.深度構建數學聯系

在充分挖掘習題的價值和內涵后，還要對這些習題進行串聯，構建題組。在構建數學知識之間的聯系時，也有兩種基本的策略。如下：

（1）以數學邏輯關系構建聯系。

教材中的一個練習往往編制了十幾道題目，每一道題目都是有意圖的，也都是有價值的，雖看似各自為政，但內部其實是蘊含著某種聯系的，在編寫時也是按照一定的邏輯序列來編排的。因此，我們在充分挖掘每道題的價值后，要讓這些看起來孤立的題目以一定的邏輯序列呈現在學生的面前，使得學生的思維能夠逐步深入，達到提高數學思維能力的目標。例如，本課以“埃及分數”把第12題和第6題自然串聯起來，使得枯燥的數學計算變成追尋數學文化的足跡，讓學生體會到人類文明進步的熠熠光輝。

（2）以數學思想方法構建聯系。

數學習題間除了顯性的邏輯關系外，還藏著隱性的數學思想方法，這些數學思想方法在解題時是可以遷移的。如本練習課的第13題，對學生來說有兩道坎：一是解題的次序；二是復雜的計算。兩者相比，后者顯得更費時、更易錯，因此我們可以把它與第10題聯系起來。這兩題都具有濃厚的中國味，楊輝除了楊輝三角，他還研究幻方，第13題的圖可以看成是翻轉的九宮格，即把里面的四條斜線旋轉90度就成了標準的九宮格，而九宮格在中國古代就被稱為幻方。如何建立起這兩題的聯系呢？剛才說了第10題其實就是楊輝三角加了個分母，去掉分母就是標準的楊輝三角了，這個分母就像是一件“馬夾”，把它遷移到第13題，也可以把它的“馬夾”（即分母）去掉，使計算變得簡單。但這里需要學生思考的是：“第10題里是同分母分數，去掉分母相當于擴大相同的倍數，而這一題是異分母分數，如果直接去掉分母會擴大相同的倍數嗎？”這樣教學，使學生明白在去分母前需要先通分，轉化成同分母分數，就可以有效突破計算這道坎。這兩道題從表面上看，都是把分母去掉可以使計算變得簡便，其實隱藏著的是同一種數學思想方法，即都要運用轉化的數學思想方法解決問題。

3.深刻融入數學文化

人們常說：“要給學生一杯水，教師要有長流水。”但作為數學知識，如果離開了數學文化這條河，就將成為死水。數學課堂對于數學文化的傳承可能更多地需要數學練習課來承擔，因為新授課往往以傳授新知和傳承知識為主要任務，而對于數學文化的傳承應當以數學知識為載體。正如前面對于“埃及分數”的理解一樣，只有在學生學會分數加減法后，才能體會到“埃及分數”這一數學文化。在數學練習課中融入數學文化，有兩種基本思路。如下：

（1）融入數學史。

數學伴隨著人類文明一路走來，從人類的誕生開始可能就產生了數學，如同英國哲學家兼數學家伯特蘭·羅素所說的“當人們發現一對雛雞和兩天之間有某種共同的東西（數字2）時，數學就誕生了”，并且一直伴隨著人類文明一起進步。小學階段學習的數學知識在整個數學發展史上看，屬于起步的基礎階段，距今至少在千年以上，甚至是幾千年了。今天我們在課堂上40分鐘就能教學的知識，在歷史的長河中得經歷幾百年甚至幾千年的探索，當中不知發生了多少有趣的故事或是凄慘的悲劇。因此，課堂教學中，教師應讓學生更好地了解這些數學史，這樣不僅可以增加他們對于數學的學習興趣，而且有利于學生在課堂中重現探究學習的過程。例如，教學“圓的認識”這一單元時，教師十分有必要讓學生了解我國古代的割圓術以及對圓周率的研究歷史，使得學生知道圓周率是通過不斷地割圓而計算出來的。如果不去了解這段數學史，學生會認為圓周率是通過直接測量圓周長與直徑再相除算出來的，這顯然是一種錯誤的認識。

但我們又不能把數學文化僅僅局限為中國的數學文化，好像一說到數學文化，就是古代中國比世界領先了多少年。我個人看來，文化沒有好壞之分，可能有快慢之別，我們的課堂教學如果還停留在以中國過去領先世界多少年為榮的話，那么當學生知道我們中國現在還落后于世界，哪怕只是暫時的落后，他們可能會產生自卑的心理并以此為恥。就像前面“你知道嗎”中介紹的，我們不能簡單地以《九章算術》中記錄的分數加減法比古埃及的先進就沾沾自喜并恥笑埃及人笨，而是應該讓學生感受到古埃及勞動人民創造的這種分數的表示方法也是一種偉大的創舉。“埃及分數”如今屬于數學的一個分支——不定議程，并引出了大量的問題，其中有許多至今尚未解決，吸引著許多頂尖的數學家不斷深入研究呢！在世界發展到地球村的時代，文化的界限也變得越來越模糊，文化的融合度也越來越高，我們更應該引導學生以世界的眼光來看待數學的進步。

（2）融入數學家。

數學的發展離不開古今中外的數學家，他們有的涉獵廣泛，同時研究天文、哲學、物理等學科，也有的終其一生研究一個數學問題。正是由于成千上萬的數學家共同的付出，才推動了數學的發展，同時也促進了人類文明的進步。但如果問一個六年級的小學生“你知道哪些數學家時”，恐怕他們多數只能說出祖沖之與高斯這兩個代表人物，因為這兩位數學家是數學教材中提得比較多的，甚至連牛頓都成了蘋果的創始人。這正是現在數學教育的一個薄弱點，因此教師要在數學課堂上加強這方面的教育。我們可以通過一道題，挖出一位數學家或者一本數學著作。如教學本課的第10題時可以介紹楊輝等數學家，通過楊輝又可以介紹中國古代的幻方；通過圓周率可以介紹劉徽、祖沖之等數學家；在學習因數與倍數這一內容后，通過“物不知數”的問題介紹《孫子算經》，從而引出“中國剩余定理”以及鮮為人知的大數學家秦九韶；通過“百雞問題”介紹《張丘建算經》……讓數學家堅忍不拔、鍥而不舍的研究精神，激發學生學習數學的興趣，使他們樹立起研究數學的志向。

總之，數學練習課是整個數學教學不可或缺的組成部分，我們不僅要把練習課上得扎實，更要上出數學味、文化味，從而讓學生遠離數學的枯燥與乏味，體會數學的靈動與趣味。