僅據平衡位置為系統彈性勢能零點就能使振子勢能為kx2/2嗎？

2015-03-01 03:41:47陳奎孚蔡

物理與工程 2015年2期

陳奎孚蔡　春

(1中國農業大學理學院，北京　100083；2北京聯合大學應用文理學院，北京　100191)

陳奎孚1蔡春2

(1中國農業大學理學院，北京100083；2北京聯合大學應用文理學院，北京100191)

摘要為了解題方便，振子勢能的kx2/2形式往往被過分地強調．筆者對這種簡潔式的隱含條件進行了探究，發現經典說法是“以平衡位置作為系統勢能零點”，應修改為“平衡位置點、系統勢能零點和坐標原點三點重合”．文章系統論證了“三點重合”提法的合理性和普適性，通過示例展示了平衡位置參數并不總能在簡潔式中被抵消掉．

關鍵詞勢能；彈簧振子；靜變形

CAN THE CONCISE FORM OF kx2/2 FOR THE SYSTEM POTENTIAL ENEGY BE TAKEN FOR GRANTED IF MERELY

THE EQUIL IBRIUM POSITION IS CHOSEN AS THE ZERO POINT OF SYSTEM POTENTIAL ENERGY？

Chen Kuifu1Cai Chun2

(1College of Science,China Agricultural University,Beijing 100083;2College of Arts and Science,Beijing Union University,Beijing 100191)

Abstract for the convenience to solve problems，the system potential energy expressed with a concise Form of kx2/2 was overemphAsized．the condition for ensuring this concise Form was explored in this pAper．the prevAlent Assertion is that the point oF zero potentiAl energy must situAte At the system equilibrium position．however，this Assertion will be questioned．it will be Argued systemAticAlly that For Achieving the concise form oFkx2/2，three points，the point of zero potentiAl energy，the point oF equilibrium And the point oF the coordinAte system origin，must be coincident with each other．the Justi Fication and universAlity of this three-point coincidence will be Articulated．Anontrivial example will be used to illustrate that the static deFlection cAn not AlwAys be cAncelled out in the concise Form．

Key words potentiAl energy；mass-spring vibrator；static deflection

很多教學輔導書、解題指導書和教學論文都特別地“規定”懸掛彈簧振子的勢能表示為

Ep=kx2/2

k和x分別為彈簧的勁度系數和相對自然長度的變形量，但是大多數教材并沒有對這一點作過多發揮.其背后的一個原因可能是教材更強調基本理論和概念，而教輔書更側重解題的“術”.然而恐怕還有另外一個因素，即教材影響力和影響面大，因而它更傾向成熟的內容.那么簡潔式(1)是否不言而喻地正確呢？通常在說式(1)之前，會要求振子的系統勢能零點取在系統的平衡位置處.筆者將會系統地展示，這是不充分的，還應該補充“坐標原點也位于平衡位置”.此外教學輔導書強調Ep=kx2/2的另一個重要原因是認為“重力改變靜平衡位置，后者對Ep=kx2/2無影響”，本文也將通過一個示例糾正這種看法.

1勢能簡潔式對坐標原點有要求

提到彈簧的勢能，我們立即想到式(1)，而系統最大能量則可簡潔地表示為E=kA2/2(A為彈簧自由端位移的最大幅度).恰當地利用這兩個式子，可使相關問題的分析和求解得到顯著簡化.這種簡潔式最初是對圖1(a)所示的平放彈簧振子建立的.對圖2(a)所示的豎直懸掛的振子，為了使上述兩個式子仍能使用，很多文獻的說法是“平衡位置作為系統勢能零點”.但同時也反復強調部分學生對懸掛振子使用式(1)的條件理解不到位[1-8].其中原因之一是，振子從平放到懸掛增加了問題的復雜度.但筆者認為，對簡潔式的演繹條件還應作出進一步規范，以保證物理條件背后的數學邏輯性和嚴密性.針對該問題，除了要求“平衡位置作為系統勢能零點”的要求外，還應該補充“坐標原點也要位于靜平衡位置”的要求.比如，即使對平放的振子，如果我們不把坐標原點選擇在彈簧的自然長度位置O,而是像圖1(b)中的位置O′(O左側，距離d)，則彈簧勢能為

(2)

圖1　平放彈簧振子

它的平衡位置x=0仍是勢能的零點，但是不具有Ep=kx2/2的簡潔式.

要想讓式(2)成為簡潔式(1)，必須讓d=0，也就是振子的坐標原點必須在平衡位置處.

2懸掛振子情形

下面從勢能的邏輯演繹角度來闡述圖2(b)懸掛系統的勢能簡潔式對坐標原點的要求.類似的問題在參考文獻[6]中是就運動微分方程展開討論的.

圖2　懸掛彈簧振子

圖2(b)中O為系統平衡狀態的質點m所處的位置，相應的彈簧靜伸長δst=mg/k.該系統的彈簧彈性勢能和質點重力勢能在運動過程中都有變化.針對各自的勢能，可以選擇各自勢能零點，比如重力勢能零點可以選擇O1，彈性勢能零點選擇O2.坐標原點刻意選擇在O3.在圖示的點線狀態，重力勢能EpG=-mg(x+d1).彈性勢能稍微復雜一點.當質點m在O2處，彈簧伸長量為d3+δst-d2；而在圖示的點線狀態，彈簧伸長量為x+d3+δst，因此保證O2為零點的彈性勢能表達式為