非奇異H矩陣的判定

(吉林化工學院理學院，吉林吉林132022)

非奇異H矩陣是一類在工程與科學計算中有著廣泛應用的特殊矩陣．例如在實踐中經常遇到的線性方程Ax=b．當系數矩陣為非奇異H矩陣時，許多經典的迭代法均是收斂的．因此尋找H 矩陣簡單實用的判別法非常有意義．本文用Cn×n表示 階復矩陣的集合，設i，j∈ N={1，2，…，n}

定義1 設 A=(aij)n×n∈ Cn×n，若?i∈N有 aij＞Λi(A)．則稱A為嚴格對角占優矩陣，若存在正對角矩陣D，使AD是嚴格對角占優矩陣，則稱A為嚴格對角占優矩陣，也稱A為非奇異H矩陣．

定義2 設A=(aijn×n∈Cn×n，若A是不可約矩陣，若滿足 aii＞Λ．且至少有一個不等式是嚴格的，則稱A為不可約對角占優矩陣．

引理1 A=(aijn×n∈Cn×n．若A是不可約對角占優矩陣，則A為非奇異H矩陣．

因為當A=(aijn×n∈Cn×n時，若存在i∈N，使Λi(A)=0，則A不是非奇異H矩陣，若存在i∈N，使Λi(A)=0，則A可以降階處理．因此作為約定，當i∈N時［1］，

本文總設aij≠0，Λi(A)≠0．同時記N1={i∈N‖aii＜Λi(A)};N2={i∈N‖aii＞Λi(A)}

由定理的條件知(10)式中至少有一個嚴格不等式成立．再由A是不可約矩陣知B是不可約矩陣，則B是不可約對角占優矩陣．故由引理1知B是非奇異H矩陣．則A是非奇異H矩陣．

證明:由(12)式知

綜上知B是嚴格對角占有矩陣，則A是非奇異H-矩陣．

定理4設A=(aij∈cn×n)是不可約矩陣．若?i∈N1

且(16)式中至少有一個不等式成立，則A是非奇異H-矩陣．

證明:由(16)式知?i∈N1有

由定理條件知(18)式中至少有一個不等式是嚴格的．再由A是不可約矩陣知B是不可約矩陣．則B是不可約對角占優矩陣．由引理1知B是非奇異H-矩陣．則A是非奇異H-矩陣．

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