基于高維插值的末修彈落點(diǎn)預(yù)報(bào)方法研究

黃 鑫,趙捍東,李志鵬

(中北大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,太原 030051)

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基于高維插值的末修彈落點(diǎn)預(yù)報(bào)方法研究

黃 鑫,趙捍東,李志鵬

(中北大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,太原 030051)

為快速精確的預(yù)報(bào)彈丸落點(diǎn),提出了基于高維插值的末修彈落點(diǎn)預(yù)報(bào)方法。在介紹高維插值法的基礎(chǔ)上,以末段彈道參數(shù)為離散點(diǎn),對(duì)其高維插值,得到落點(diǎn)預(yù)報(bào)顯示方程,并利用顯示方程進(jìn)行落點(diǎn)預(yù)報(bào)仿真測(cè)試。仿真結(jié)果表明,該方法預(yù)報(bào)落點(diǎn)的精度較高,且平均預(yù)報(bào)時(shí)間為3.508 ms,比數(shù)值積分法少709.393 3 ms。因此,采用高維插值法預(yù)報(bào)落點(diǎn)是有效可行的,可為實(shí)際應(yīng)用提供參考。

落點(diǎn)預(yù)報(bào);高維插值法;數(shù)值積分法;擴(kuò)展卡爾曼濾波

0 引言

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中,精確打擊[1]成為彈藥發(fā)展的主攻方向,而彈丸落點(diǎn)預(yù)報(bào)的快速與精確性是實(shí)現(xiàn)高精度打擊的關(guān)鍵技術(shù)。

目前,落點(diǎn)預(yù)報(bào)方法主要有數(shù)值積分法、濾波外推法和線性化法等。數(shù)值積分法[2]是采用龍格-庫塔法實(shí)時(shí)解算外彈道方程,能準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)落點(diǎn),但在預(yù)報(bào)過程中,需要繁瑣的迭代,這不僅消耗大量的時(shí)間且易產(chǎn)生累積誤差。濾波外推法[3-5]能降低噪聲和隨機(jī)誤差對(duì)落點(diǎn)預(yù)報(bào)的影響,但處理非高斯噪聲時(shí),易于發(fā)散,達(dá)不到準(zhǔn)確預(yù)報(bào)落點(diǎn)的目的。線性化法[6-7]是在一定程度下,將非線性外彈道方程近似化,得到線性方程,利用解析法解算彈道方程。該方法相比于數(shù)值積分法,能夠快速預(yù)報(bào)彈丸落點(diǎn),但在精度上存在不足。因此,為快速精確的預(yù)報(bào)落點(diǎn),提出了基于高維插值的末修彈落點(diǎn)預(yù)報(bào)方法。

1 落點(diǎn)預(yù)報(bào)方法及濾波介紹

1.1 末修彈落點(diǎn)預(yù)報(bào)的方法

文中首次提出一種適用于末修彈的落點(diǎn)預(yù)報(bào)方法,即基于高維插值的落點(diǎn)預(yù)報(bào)方法。圖1所示為該方法預(yù)報(bào)末修彈落點(diǎn)的示意圖。其中,O-xyz表示發(fā)射坐標(biāo)系;“▲”為彈道高的位置,“△”表示高維插值法落點(diǎn)預(yù)報(bào)的初始點(diǎn)位置,A為彈丸實(shí)際落點(diǎn),B為高維插值法預(yù)報(bào)的彈丸落點(diǎn)。

從彈丸在彈道高處開始,利用彈載傳感器進(jìn)行彈道參數(shù)測(cè)量,在設(shè)定的時(shí)間內(nèi),采用擴(kuò)展卡爾曼濾波算法對(duì)彈道參數(shù)辨識(shí)。并以結(jié)束時(shí)刻的彈道參數(shù)作為預(yù)報(bào)的初始點(diǎn),由高維插值法預(yù)報(bào)彈丸落點(diǎn)。

圖1 高維插值法落點(diǎn)預(yù)報(bào)的示意圖

1.2 基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的彈道參數(shù)辨識(shí)

落點(diǎn)預(yù)報(bào)時(shí),需通過GPS實(shí)時(shí)探測(cè)與跟蹤飛行過程中彈丸的彈道參數(shù),并由擴(kuò)展卡爾曼濾波算法對(duì)彈道參數(shù)辨識(shí)。

擴(kuò)展卡爾曼濾波[8]是應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的卡爾曼濾波,其系統(tǒng)方程和量測(cè)方程為:

(1)

式中:W(t)為模型噪聲;V(t)為量測(cè)噪聲,且均為高斯白噪聲;X為狀態(tài)向量;f(X)為狀態(tài)方程。

為預(yù)報(bào)擴(kuò)展卡爾曼濾波預(yù)測(cè)的結(jié)果,其迭代公式為:

(2)

其中:

(3)

2 落點(diǎn)預(yù)報(bào)

2.1 高維插值法

插值法是離散問題解析化的方法之一,所謂插值法,即已知n個(gè)離散點(diǎn)(xi,yi),i=1,2,…,n,在某一已知的函數(shù)類g(w,x)中,若能找到一個(gè)函數(shù)g(w*,xi),使其g(w*,xi)=yi,i=1,2,…,n,則稱g(w*,xi)為通過此n個(gè)點(diǎn)的插值函數(shù)。插值函數(shù)的構(gòu)造是插值法的核心問題,目前,一維和二維插值法應(yīng)用較為常見,插值函數(shù)一般采用n次多項(xiàng)式和Hermite插值多項(xiàng)式。但是一維和二維插值法仍是低維插值法,只能處理低維空間的離散點(diǎn),若對(duì)于處理高維空間,低維插值法就不適用了,為此提出高維插值方法。

文中以高斯函數(shù)為基底的加權(quán)作為插值函數(shù),其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

(4)

式中:γj∈Rm表示第j個(gè)離散點(diǎn);χi∈Rm表示該方程的自變量;yi表示因變量;wj表示第j個(gè)權(quán)值;φij為高斯函數(shù);‖χi-γj‖為歐式距離,一般為矩陣2范數(shù);δ表示高斯函數(shù)的寬度。

若將n組χi∈Rm的離散點(diǎn)代入式(4)中,可得:

(5)

即:

Y=ΦW

(6)

當(dāng)m維空間中的離散點(diǎn)不同時(shí),則Φ可逆,則有:

W=YΦ-1

(7)

2.2 基于高維插值法的末修彈落點(diǎn)預(yù)報(bào)

落點(diǎn)預(yù)報(bào)是實(shí)現(xiàn)落點(diǎn)預(yù)測(cè)制導(dǎo)律的重要一步,其中,落點(diǎn)信息包括射程和橫偏。而描述彈丸飛行狀態(tài)的彈道參數(shù)很多,如彈丸位置坐標(biāo)、速度分量、姿態(tài)角等。如何確定離散點(diǎn)的維數(shù)是建立落點(diǎn)預(yù)報(bào)顯示方程的關(guān)鍵問題。為保證自變量與因變量有著密切的聯(lián)系,綜合考慮,離散點(diǎn)的維數(shù)選為5維,自變量為χi=[xi,zi,vxi,vzi,θi]T,表示當(dāng)前彈丸的狀態(tài)參數(shù),其中,xi和zi為彈丸位置分量,vxi和vzi為彈丸速度分量,θi為彈道傾角,而因變量選為彈丸的射程和橫偏。則有以下函數(shù)關(guān)系:

(8)

通過高維插值法可得式(8)的顯示方程。由2.1節(jié)知,高維插值法是將高維空間中離散點(diǎn)解析化的數(shù)學(xué)方法,具有原理簡(jiǎn)單,解算時(shí)間快等優(yōu)點(diǎn)。因此,以射程為例,預(yù)報(bào)數(shù)學(xué)模型為:

(9)

式中:Xi表示射程;Wxj表示第j個(gè)權(quán)值;χxi表示射程預(yù)報(bào)方程的自變量,其形式為χxi=[xi,zi,vxi,vzi,θ]T,其中,xi、zi表示當(dāng)前彈丸位置分量,vxi、vyi表示當(dāng)前彈丸速度分量,θ表示當(dāng)前彈丸的彈道傾角;γxj表示第j個(gè)離散點(diǎn),即γxj=[xj,zj,vxj,vzj,θj]T;exp(·)為高斯函數(shù)。

然而預(yù)報(bào)射程前,需預(yù)先確定離散點(diǎn)γxj和權(quán)值Wxj。文中提取射角在一定的范圍內(nèi)的m條彈道曲線,并取其被動(dòng)段中的彈道參數(shù)共n組(n=n1+n2+…+nm),其中每一組的彈道參數(shù)整合成γxj=[xj,zj,vxj,vzj,θj]T的形式,且將與γxj相對(duì)應(yīng)的彈丸射程作為Xj。以上數(shù)據(jù)作為高維插值的離散點(diǎn),所以只需確定n個(gè)權(quán)值的大小即可確定射程預(yù)報(bào)的顯示方程。由式(5)～式(7)可計(jì)算出Wxj向量,得到射程預(yù)報(bào)的顯示方程。而該方程僅適用于上述射角范圍內(nèi)的射程預(yù)估,在實(shí)際應(yīng)用中,需預(yù)先將射程預(yù)報(bào)方程裝入彈載計(jì)算機(jī)中,由EKF辨識(shí)后的參數(shù)作為射程預(yù)報(bào)初始點(diǎn)來預(yù)估。

同理,橫偏預(yù)報(bào)的顯示方程為:

(10)

3 仿真與分析

3.1 落點(diǎn)預(yù)報(bào)仿真

選取離散點(diǎn)的原則是基于3D質(zhì)點(diǎn)彈道方程,采用四階龍格-庫塔法,以時(shí)間步長(zhǎng)為0.01 s解算外彈道方程。從射角為30°～60°的范圍內(nèi),每隔5°提取一條彈道,共7組。從過彈道高10 s后到落地前10 s的范圍內(nèi),每隔0.1 s提取一組彈道參數(shù),共計(jì)2 374組,記為P。按照第二章的要求將P整合成相應(yīng)的數(shù)據(jù)格式,計(jì)算權(quán)值,得出落點(diǎn)預(yù)報(bào)的顯示方程。

3.2 落點(diǎn)預(yù)報(bào)仿真結(jié)果分析

隨機(jī)提取未錄入高維插值離散點(diǎn)的100組彈道參數(shù),記為Q。數(shù)據(jù)Q作為預(yù)報(bào)落點(diǎn)的輸入,并整合成χxi=[xi,zi,vxi,vzi,θ]T和χzi=[xi,zi,vxi,vzi,θ]T的形式,落點(diǎn)預(yù)報(bào)仿真后得圖2和圖3。

由圖2、圖3知,射程預(yù)報(bào)的誤差在0.03 m以內(nèi),而橫偏預(yù)報(bào)誤差在-3×10-5～4×10-5m內(nèi)波動(dòng),最

大預(yù)報(bào)誤差約為4×10-5m。因此,該方法預(yù)報(bào)落點(diǎn)的精度較好,尤其是橫偏預(yù)報(bào)。同樣也可以驗(yàn)證插值法具有對(duì)離散點(diǎn)及其附近點(diǎn)的預(yù)報(bào)精度高的特點(diǎn)。

圖2 高維插值法射程預(yù)報(bào)誤差

圖3 高維插值法橫偏預(yù)報(bào)誤差

3.3 進(jìn)一步驗(yàn)證預(yù)報(bào)精度

從射角為33°～58°范圍內(nèi),每隔5°提取一條彈道曲線,共6組。并將高斯白噪聲加到被動(dòng)段的彈道參數(shù)中,以此作為彈載傳感器采集到的彈道參數(shù)。在6條彈道曲線中,采用擴(kuò)展卡爾曼濾波獲得比較準(zhǔn)確的彈道參數(shù),分別在每條彈道中選取一組末段彈道參數(shù)作為落點(diǎn)預(yù)報(bào)初始點(diǎn),并對(duì)高維插值法和數(shù)值積分法落點(diǎn)預(yù)報(bào)仿真,得到表1。

表1 高維插值法落點(diǎn)預(yù)報(bào)精度分析

由表1可知,高維插值法射程預(yù)報(bào)的平均相對(duì)誤差為0.038 12%,而橫偏預(yù)報(bào)的平均相對(duì)誤差為0.106 3%,因此,該落點(diǎn)預(yù)報(bào)方法的精度較高,滿足落點(diǎn)預(yù)報(bào)的精度要求。

3.4 落點(diǎn)預(yù)報(bào)快速性分析

高維插值法是一種以高斯函數(shù)為基底的插值方法,經(jīng)插值得到落點(diǎn)預(yù)報(bào)方程。該方法解決了數(shù)值積分法預(yù)報(bào)落點(diǎn)時(shí),由于迭代而產(chǎn)生的解算時(shí)間長(zhǎng)和累積誤差的不足。相比數(shù)值積分法,該方法落點(diǎn)預(yù)報(bào)的顯示方程形式簡(jiǎn)單,更易于計(jì)算。在理論上,高維插值法落點(diǎn)預(yù)報(bào)的時(shí)間要少于數(shù)值積分法的預(yù)報(bào)時(shí)間。

以6條彈道為例,分別取過彈道高10 s后一點(diǎn)的彈道參數(shù),將其作為高維插值法預(yù)報(bào)落點(diǎn)的初始值,分別采用高維插值法和數(shù)值積分法預(yù)報(bào)落點(diǎn)。表2為高維插值法與數(shù)值積分法預(yù)報(bào)落點(diǎn)的快速性分析。

表2 數(shù)值積分法與高維插值法落點(diǎn)預(yù)報(bào)快速性分析

由表2知,高維插值法預(yù)報(bào)射程的平均時(shí)間為1.675 ms,橫偏預(yù)報(bào)的平均時(shí)間為1.831 ms,預(yù)報(bào)落點(diǎn)的總時(shí)間的平均值為3.506 ms,而數(shù)值積分法的落點(diǎn)預(yù)報(bào)的平均時(shí)間為712.902 ms。高維插值法相比于數(shù)值積分法的預(yù)報(bào)時(shí)間,平均少709.396 ms,因此,高維插值法的落點(diǎn)預(yù)報(bào)速度遠(yuǎn)高于數(shù)值積分法。

4 結(jié)論

文中研究了高維插值的基本原理,對(duì)末段彈道參數(shù)進(jìn)行高維插值,得到落點(diǎn)預(yù)報(bào)的顯示方程,然后落點(diǎn)預(yù)報(bào)仿真測(cè)試。結(jié)果表明,高維插值法預(yù)報(bào)落點(diǎn)的精度較高,且相比于數(shù)值積分法,在預(yù)報(bào)速度上更快。因此,可用于末修彈落點(diǎn)預(yù)報(bào)。但對(duì)超出離散點(diǎn)范圍的點(diǎn)進(jìn)行預(yù)報(bào)時(shí),該方法預(yù)報(bào)精度不高,即泛化能力有限,這是插值法本身固有的缺陷,可通過增大選取離散點(diǎn)的范圍或提高離散點(diǎn)質(zhì)量等方法,降低泛化能力有限所帶來的影響,提高預(yù)報(bào)精度。

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Impact Point Prediction of Terminal Correction Projectile Based on Multidimensional Interpolation

HUANG Xin,ZHAO Handong,LI Zhipeng

(School of Mechatronics Engineering, North University of China, Taiyuan 030051, China)

In order to predict impact point of projectile fleetly and accurately, a method based on multidimensional interpolation for impact point prediction (IPP) of terminal correction projectile was put forward. Display equation of IPP was built with terminal ballistic parameters by multidimensional interpolation. Then, IPP based on multidimensional interpolation was simulated. The result shows the precision of this prediction method is higher, and the average forecast period is 3.508 ms. Compared with numerical integration for IPP, forecast period upon multidimensional interpolation is much shorter. Therefore, the method based on multidimensional interpolation for IPP is feasible.

impact point prediction; multidimensional interpolation; numerical integration; extend Kalman filter

2014-10-09

黃鑫(1989-),男,黑龍江牡丹江人,碩士研究生,研究方向:彈箭飛行與控制。

TJ013

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