基于諧振子遺傳算法的高效地下水優化管理模型

吳 鳴，吳劍鋒，施小清，劉 杰，陳 干，吳吉春

1.南京大學地球科學與工程學院水科學系，南京 210023 2.北京大學工學院水資源研究中心，北京 100871

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基于諧振子遺傳算法的高效地下水優化管理模型

吳 鳴1，吳劍鋒1，施小清1，劉 杰2，陳 干1，吳吉春1

1.南京大學地球科學與工程學院水科學系，南京 210023 2.北京大學工學院水資源研究中心，北京 100871

在傳統遺傳算法和模擬諧振子算法的基礎上，結合兩者的優點，提出了一種新型快速高效的諧振子遺傳算法。通過一個理想的水資源管理模型的算例和一個華北平原典型區地下水資源優化的實際算例，從尋優結果和尋優效率兩個方面對諧振子遺傳算法、傳統遺傳算法和模擬諧振子算法進行了對比分析。在兩個地下水管理模型中，與傳統的遺傳算法和模擬諧振子算法相比，新型的諧振子遺傳算法搜索效率達到模擬諧振子算法搜索效率的2倍以上，得到的最優解比遺傳算法所得到的最優解分別增加供水量1.1×103m3/d和0.47×108m3/a，說明諧振子遺傳算法具有更強的全局搜索能力和更好的尋優效率。

諧振子遺傳算法；遺傳算法；模擬諧振子算法；地下水管理模型；全局搜索能力；尋優效率；華北平原

0 引言

地下水管理模型的求解是地下水資源科學管理的重要問題。地下水管理模型是尋求最少的社會經濟環境成本來滿足既定的管理目標[1-2]。長期以來用于地下水管理模型求解的方法如單純形法、最速下降法、高斯-牛頓法等都是針對連續的、可導的目標函數的，處理的問題比較簡單，優化結果的質量強烈依賴初始解。由于遺傳算法(genetic algorithm, GA)[3-6]、禁忌搜索算法[7]、模擬退火算法[8]、粒子群優化算法[2,9]、蟻群優化算法[10]、模擬諧振子算法(simulated harmonic oscillator algorithm, SHOA)[11-13]等人工智能算法不受優化問題滿足連續性和可導性的限制,且具有一定的全局尋優能力，因而逐漸被應用到地下水優化管理模型求解的領域。然而地下水管理模型常常表現出多維、非線性等復雜特征，因此開發針對地下水優化管理問題的高效算法十分必要。

筆者針對遺傳算法和模擬諧振子算法的不足，結合傳統的模擬諧振子算法和遺傳算法的優點，首次提出了一種新型的諧振子遺傳算法(harmonic oscillator genetic algorithm, HOGA)，將其與地下水管理模型相結合；并將HOGA分別應用于理想算例和華北平原典型區地下水資源管理模型的算例中進行對比，以期了解其在地下水管理模型方面的應用前景。

1 諧振子遺傳算法

1.1 諧振子遺傳算法的基本原理

遺傳算法屬于進化算法的一種，它通過模仿自然界的選擇與遺傳的機理來尋找最優解，McKiney和Lin[3]首先將其應用到地下水管理模型的求解中，取得了很好的效果。遺傳算法具有良好的全局搜索能力，可以快速地搜索解空間，從而不會陷入局部最優解的快速下降陷阱。但是遺傳算法的局部搜索能力較差，導致單純的遺傳算法比較費時，在進化后期搜索效率較低。在實際應用中，遺傳算法容易產生早熟收斂的問題。采用何種選擇方法既要使優良個體得以保留，又要維持群體的多樣性，一直是遺傳算法中較難解決的問題。

模擬諧振子算法(SHOA)是由模擬自然諧振子的物理規律而得到的一種通用的隨機搜索算法[11]。對于圖1所示的諧振子，當彈簧質點運動到左右端點位置時，彈性勢能達到最大，等于系統的總能量；當彈簧質點處于振源位置時，彈性勢能最小(等于0)。將彈簧質點的勢能狀態與優化問題中的目標函數相對應，當彈簧質點到達振源位置時，勢能處于最小值的基態，對應的目標函數值即為找到的最優解。SHOA既具有良好的局部搜索能力，又具有較好的全局搜索能力。它在整個解空間范圍內廣泛地隨機搜索近似最優解，而且以一定的規則接受差解，使領域解在局部山峰間平行跳躍，從而有效地控制了算法在全局范圍內搜索的隨意性[11-13]，但因此也給算法的尋優效率帶來了問題。針對遺傳算法和模擬諧振子算法的不足，筆者綜合模擬諧振子算法和遺傳算法的優點，提出了一種新的算法----諧振子遺傳算法(HOGA)。HOGA利用模擬諧振子算法中的能級接受準則，對遺傳算法中種群的選擇策略進行了改進，同時利用模擬諧振子的領域解在局部山峰間的平行跳躍能力，有效地控制了遺傳算法的早熟問題。

圖1 簡諧振動諧振子示意圖Fig.1 Oscillator of a simple harmonic oscillation

1.2 諧振子遺傳算法求解地下水管理模型的步驟

設諧振子遺傳算法求解的是最大值問題，則求解地下水管理模型的步驟為：

1)隨機產生種群規模為p的初始群體P(m)，m為進化代數，同時確定諧振子的振幅A，初始步長LO、基態步長LS。

2)調用水流模型/運移模型計算適應度值。

3)根據群體適應度的最優值和最差值建立諧振子模型，確定諧振子端點End和振源Init。振子端點End處的勢能ULO對應適應度的最差值f(End)；基態步長處的勢能為ULS，對應為適應度的最優值f(LS)。通過最優值和最差值之差的絕對值來確定諧振子的彈性系數k：

(1)

即

(2)

求出k之后，就可以確定端點處勢能和基態步長處的勢能：

(3)

(4)

4)計算種群內所有染色體對應的能級Lx，對其中任意一條染色體，其適應度值為f(Lx)，則

(5)

(6)

則其在諧振子中對應的位置，也就是能級為

(7)

6)終止條件判斷，若不滿足終止條件，則m=m+1，形成下一代種群，轉移到第2)步，繼續進行諧振子遺傳算法相關的能級判斷、選擇、交叉、變異等操作過程；若滿足終止條件，則輸出當前最優個體，算法結束。

2 算例應用

2.1 理想算例

在某潛水含水層上擬建一水源地，含水層中地下水為二維穩定流[3]，如圖2。含水層底板水平，其南部和北部邊界分別為水沼地和河流，其水位均為20 m，可作為第一類邊界；東部和西部邊界都為山體，作為隔水邊界。設含水層介質均質各向同性，滲透系數K=50 m/d，單位面積上的補給量R=0.001 m/d，共有10眼擬開采井，假設每口井的允許開采量為7 000 m3/d，求滿足該水源地含水層不致疏干情況下的最大可供水量(不考慮水井本身的釋水能力)。 管理模型可表示為：

(8)

約束條件為：

(9)

(10)

其中：Qi為單井的抽水量(m3/d);hi為水位(m)。

a.平面圖; b.剖面圖。根據文獻[3]修改。圖2 含水層結構圖Fig.2 Structure of aquifer view

Table 1 Total pumping rates of groundwater optimization based on different algorithms

對比項目優化方法LPGASHOAHOGA最優解/(103m3/d)59．358．058．959．1達到最優解的計算代數7010146計算時間/min116．3170．279．7

LP為線性規劃算法。LP最優解引自文獻[3]。

圖3 不同算法在最大化抽水量算例中的求解進化過程Fig.3 Evolution of the total pumping rates over the generations of the different algorithms

2.2 華北平原典型區地下水資源優化算例

2.2.1 研究區背景及水文地質條件概述

華北平原主要是指黃河以北、西倚太行山、東臨渤海的廣大平原地區；行政區劃分屬北京市、天津市和河北省，并涉及山東、河南兩省的部分地域，面積約13.9 萬km2，是我國北方重要的糧棉產地。該區大部分地區特別是大中城市處于地下水超采或嚴重超采狀態，水資源匱乏和水環境惡化已經成為制約社會經濟發展的主要因素。為此，Liu等[14]以石家莊市(包括城區和7個郊縣)作為典型地區建立了該區地下水的水流模型，該水流模型不但刻畫了研究區開采前的天然狀態(補排均衡階段)，而且再現了研究區不同開采時期(包括漏斗形成和發展階段[14])的水位變化過程，具有比較高的可信度，并從水量的角度建立了該區基于遺傳算法的地下水資源可持續利用的管理模型。筆者采用HOGA對Liu等[14]建立的研究區地下水管理模型進行求解，并與GA和SHOA的求解效率進行對比，進一步驗證HOGA在地下水管理模型中的可行性。

X、Y分別表示東西方向和南北方向的距離。圖4 研究區位置及水文地質概念模型Fig.4 Location of the study area and the hydrogeological conceptual model

據文獻[14]。圖5 含水層地質剖面示意圖Fig.5 Hydrogeologic cross section of the study area

研究區包括石家莊市市區及正定、灤城、無極、藁城、趙縣、元氏和晉州7縣的部分區域(圖4)，位于太行山南麓，屬于滹沱河沖洪積扇的中上部地帶，地勢西高東低，由西向東緩慢傾斜，面積約為4 000 km2。研究區處于滹沱河以黃壁莊為頂點的沖積扇的中上部，地下水主要賦存于第四系松散巖層孔隙中，自上而下可分為：全新統(Q4)、上更新統(Q3)、中更新統(Q2)和下更新統(Q1)共4個含水層組。上部的兩個含水層組之間無連續的隔水層，水力聯系密切，統稱為淺部含水層；下部的兩個含水層組巖性主要為含黏土卵礫石、礫石夾土層，分選性和富水性都很差，統稱深部含水層，如圖5所示。從總體上看：研究區含水層在水平方向上，由西向東含水層總厚度由薄變厚，粒度由粗變細，層次由少增多，單層厚度變薄，分選性由差變好，富水性由強變弱；在垂直方向上，含水層上下部粒度較細，厚度較小，中部粒度較粗，厚度也較大。隨著開采規模的不斷擴大，實際上以上各含水層之間都存在著密切的水力聯系。

地下水的補給主要有大氣降水、地表水的入滲、側向補給及農田灌溉回歸水等。1965年前，石家莊市區內地下水處于天然狀態下，由西或西北方向往東或東南方向流動，且自西向東，含水層介質顆粒由粗變細，含水單層由厚變薄，含水層數由少變多，水量和水力坡降由大變小，補給徑流條件和水質由好變差，具典型的平原水文地質特點。之后隨著地下水開采量的增大，地下水的排泄方式逐漸轉變為以人工開采為主，其次為向下游的側向徑流排泄。隨著市區地下水降落漏斗范圍的擴大和地下水位埋藏深度的增加，人工開采幾乎已成為目前唯一的地下水排泄方式[14-19]。

2.2.2 研究區地下水模擬-優化管理模型

諸多研究[13-17]表明研究區淺層地下水和深層地下水之間具有統一的水力聯系，因此整個含水系統可以概化為單層的非均質各向同性的二維水流運動。在邊界上，含水系統接受外界側向補給或往外排泄；在裸露區接受大氣降水入滲或農業灌溉回滲，同時在區域內最主要的排泄方式為人工開采。1960年以前，研究區地下水流處于天然狀態，人工開采可忽略不計，地下水流可近似認為做穩定流動；1960年以后，隨著地下水開采規模的加大，研究區地下水流不再處于天然狀況，而是對應于不同邊界條件和源匯項的非穩定運動。相應地，描述研究區地下水流運動的微分方程可表示為

(11)

其中：h為水頭(m);t為時間(d);B為含水層的底板標高(m)；qS為源匯項(d-1);μ為給水度(無量綱)。

再加上相應的初始條件，這樣，微分方程與邊界條件和初始條件一起就構成了描述研究區地下水流運動的數學模型[13]。模擬時間從1959年到2004年，總共63個應力期；模型在空間上剖分成130行和135列，每個網格的邊長均為500 m。用MODFLOW[20]對模型進行求解，詳細的水流模型參見文獻[14]。

基于以上地下水模擬模型的最大化開采量的管理模型可表述為

(12)

約束條件：

(13)

(14)

式中：Qmax表示抽水井i的最大出水能力(m3/d)；hj表示約束點j處的水位(m)；hmin表示在點j處的水位最低約束值(m)；NT為管理期的數目；NH，NW分別表示水位約束點和抽水井的數目；Δtk表示每個管理期的時長(d)。

當然，管理模型還要耦合上述地下水模擬模型(微分方程(11)及其定解條件)，可簡單地表示為

(15)

式中：hk表示研究區地下水在k時段的水位分布；Transh代表水頭由k時段到k+1時段的狀態轉移函數；T為時段總數。式(15)表示系統在(k+1)時刻的狀態變量h是其k時刻狀態變量h及其決策變量Q兩者的函數。

2.2.3 地下水優化管理模型的求解

求解管理模型時，GA和HOGA最大代數均設為100，種群數設為1 000，為便于比較，SHOA目標函數每計算1 000個解后統計一次最優結果，搜索新解的上限為10萬個，采用GA、SHOA和HOGA分別求解的優化過程及結果如圖6，最大抽水量、地下水超采量、收斂代數和計算時間的結果如表2。

圖6 不同算法在華北平原地下水管理模型優化算例中的求解進化過程Fig.6 Evolution of the total pumping rates over the generations of the different algorithms in North China Plain

GA和HOGA都在約80代達到最優解，而SHOA則在第89代達到最優解，表明HOGA的搜索速度和計算效率繼承了遺傳算法的優點，比原來的SHOA有了很大的提高。GA最優解為10.22×108m3/a，和2004年實際開采量[13]的14.97×108m3/a對比，地下水超采量達到4.75×108m3/a；SHOA最優解為10.29×108m3/a，地下水超采量達4.67×108m3/a；HOGA的最優解為10.69×108m3/a，地下水超采量為4.27×108m3/a，相比GA增加供水量0.47×108m3/a，相比SHOA增加供水量0.40×108m3/a，地下水超采量得到較大降低。由此表明HOGA的全局搜索能力有了極大的提高，均強于GA和SHOA的搜索能力。

表2 華北平原地下水管理模型優化結果

Table 2 Result of North China Plain optimization model by different algorithms

對比項目優化方法GASHOAHOGA最優解/(108m3/a)10．2210．2910．69地下水超采量/(108m3/a)4．754．674．27達到最優解的計算代數808980計算時間/h43．3588．9743．57

3 結論

針對模擬諧振子算法和遺傳算法的不足，提出一種新型的諧振子遺傳算法。諧振子系統勢能收斂到基態所特有的物理性質能保證諧振子遺傳算法最后的收斂性，并通過諧振子對新解的接受準則來對使種群朝著最優的方向進化，使得諧振子遺傳算法優化尋優結果的質量和計算效率均有很大提高。

諧振子遺傳算法應用于地下水管理模型的求解結果表明:對于理想算例，諧振子遺傳算法表現出了很強的全局尋優能力和搜索效率；在華北平原典型區地下水資源的優化算例中，諧振子遺傳算法全局尋優能力在很大程度上超過了遺傳算法和模擬諧振子算法，相對于模擬諧振子算法，搜索效率也有很大的提高。表明諧振子遺傳算法不僅對理想算例的尋優具有很好的效果，而且對區域性復雜算例的地下水資源優化問題也有很強的優勢。

諧振子遺傳算法融合了遺傳算法和模擬諧振子算法的優點，對初始解沒有太大的依賴性，通用性較強，可推廣應用于水文地質參數識別、地下水污染源識別、地下水污染修復等優化管理領域。

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New Harmonic Oscillator Genetic Algorithm for Efficient Groundwater Optimization and Management

Wu Ming1, Wu Jianfeng1, Shi Xiaoqing1, Liu Jie2, Chen Gan1, Wu Jichun1

1.DepartmentofHydrosciences,SchoolofEarthSciencesandEngineering,NanjingUniversity,Nanjing210023,China2.CenterforWaterResearch,CollegeofEngineering,PekingUniversity,Beijing100871,China

Combining the advantages of conventional genetic algorithm (GA) with simulated harmonic oscillator algorithm (SHOA), we put forward a new efficient harmonic oscillator genetic algorithm (HOGA). Based on the application to an ideal test and an optimization test for the groundwater management model of a typical region in North China Plain (NCP), the comparisons among GA, SHOA and HOGA are performed in respect both of the quality of optimal solutions and the efficiency of algorithmic optimization. Compared with GA and SHOA, HOGA achieves an efficiency over two times higher than SHOA. The best pumping schemes achieved by HOGA can increase water supply by 1.1×103m3/d and 0.47×108m3/a compared with the pumping schemes achieved by GA in the two groundwater management models. This reveals that HOGA has the best global searching ability with the highest optimization efficiency. The results suggest that the HOGA presented in this study be of extensive perspectives in application to multi-dimensional and nonlinear groundwater management and optimization.

harmonic oscillator genetic algorithm; genetic algorithm; simulated harmonic oscillator algorithm; groundwater management model; global searching ability; optimization efficiency; North China Plain (NCP)

10.13278/j.cnki.jjuese.201505203.

2014-12-12

國家自然科學基金資助項目(41372235, 41072175)；國家“973”計劃項目(2010CB428803)

吳鳴(1989--)，男，博士研究生，主要從事地下水模擬優化管理研究，E-mail:mysticwilliamnanjing@gmail.com

吳劍鋒(1971--)，男，教授，博士，主要從事水資源模擬優化管理研究，E-mail:jfwu@nju.edu.cn。

10.13278/j.cnki.jjuese.201505203

P641; X523

A

吳鳴，吳劍鋒，施小清，等. 基于諧振子遺傳算法的高效地下水優化管理模型.吉林大學學報:地球科學版,2015,45(5):1485-1492.

Wu Ming, Wu Jianfeng, Shi Xiaoqing, et al.New Harmonic Oscillator Genetic Algorithm for Efficient Groundwater Optimization and Management.Journal of Jilin University:Earth Science Edition,2015,45(5):1485-1492.doi:10.13278/j.cnki.jjuese.201505203.