局域共振聲子晶體失諧梁的減振特性研究

張邦基,黃訓浩,張 農,謝慶喜

(湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室, 湖南 長沙 410082)

局域共振聲子晶體失諧梁的減振特性研究

張邦基,黃訓浩?,張 農,謝慶喜

(湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室, 湖南 長沙 410082)

通過把聲子晶體中的局域共振特性應用到梁上形成一種局域共振梁，在局域共振周期梁的基礎上，引入晶格參數失諧，提出一種新型的局域共振失諧梁.對失諧梁和周期梁分別進行正弦激勵響應和頻率響應分析，并改進能量法，可得出結論：通過選擇合適的失諧參數，可使失諧梁較傳統周期梁具有更好的減振特性.

失諧梁；正弦激勵響應分析；頻率響應分析；能量法

隨著機械工程的快速發展，人們對舒適性的要求越來越高.因此，必須注重對減振特性技術的研究，尤其是工程結構的減振特性.梁類結構作為工程中的一種基本的結構，是產生振動的主要載體，因此梁類結構成為了減振特性的主要研究對象.

通過對聲子晶體的研究[1-2]，發現聲子晶體具有帶隙的特性[3]，落在帶隙中的彈性波是禁止傳播的.類比聲子晶體的結構與性質，將聲子晶體中的局域共振特性應用到梁上形成一種局域共振梁[4].然而由于實際工程中，振動和噪聲的傳遞是呈現倍頻成分的，單振子就不能滿足工程要求，而周期排列的振子在工程中會有一定的減振的性能[5].

為了尋找更好的減振技術，本文引入晶格參數失諧[6]，也就是說通過改變相鄰振子的間距，使共振單元的排列無規律，控制失諧量的大小范圍，提出一種新型的局域共振聲子晶體失諧梁.再對失諧梁進行正弦激勵響應和頻率響應的仿真并和周期梁進行響應幅值的比較，并結合能量法分別計算兩者的能量，發現并確定失諧梁比周期梁具有更好的減振特性，為減振技術的研究提供了一種新的方法.

1 局域共振失諧梁減振實質

本文所提出的局域共振失諧梁實際上也是一種新型的多振子共振梁，在周期梁的基礎上引入晶格失諧參數，它可以簡化為彈簧-質量模型[7]，相當于一種新型的動力吸震器.多個彈簧-質量模型分布在細長梁結構上可以產生縱向振動的局域共振帶隙，禁止彈性波的能量的傳播，如圖1所示.它和傳統動力吸振器減振技術相比，局域共振失諧梁減振實質：它是利用多振子共振梁結構的帶隙特性來抑制結構中的彈性波傳播，來達到減振的目的.

圖1 局域共振失諧梁簡化結構

假設梁僅作對稱彎曲振動,取梁的軸線水平方向作為x軸，并且振動過程中梁僅有y方向橫向位移u(x,t).同樣假設局域共振單元的間距遠大于截面尺寸，滿足歐拉—伯努利梁條件.則單個周期內沿x軸傳播的彎曲彈性波方程滿足如下波動方程[8]：

(1)

式中w(x,t)為橫向振動位移；ρ為密度；E為彈性模量；A為梁的截面積；I為抗彎截面系數.

(2)

基于能量法從相對能量率的角度來計算彈性波在傳播過程中的能量.能量與幅值的平方是成正比的，即E∝A2，定義時域的能量為：

(3)

式中kt為比例系數；A(t)為拾取點t時刻的幅值；t0為采樣時間.

由于失諧梁與周期梁同一位置的A(t)不同，彈性波在共振梁傳播過程中的能量也會產生差異.

因此，通過合理地調整晶格失諧參數，便可實現失諧梁比周期梁具有更好的減振特性.

2 局域共振失諧梁模型的建立

2.1 周期梁模型

本文選用的周期梁模型如圖2所示，梁的總長設計為600mm，共有6個局域共振單元，其中每一個共振單元的長度為25mm，相鄰兩個共振單元之間的間隔為75mm.梁的材料是樹脂[9]，密度1 180kg/m3,楊氏模量0.435×1010Pa，泊松比0.367 9；中間層的材料為硫化橡膠，密度1 300kg/m3,楊氏模量1×106Pa，泊松比0.470 6；最外層的材料為鉛，密度11 600kg/m3,楊氏模量4.08×10-10Pa，泊松比0.369 1.梁的半徑為5mm，中間層的橡膠外徑為8mm，最外層的鉛外徑為10mm.

圖2 周期梁及其截面圖

2.2 失諧梁模型

本文在周期梁的基礎上直接引入20%的晶格參數失諧，提出一種全新的局域共振梁，如圖3所示.晶格參數失諧的程度用失諧量來表示.選用的材料參數以及梁和局域共振單元的幾何參數與周期梁完全相同，與周期梁的區別是：局域共振單元不再周期排列，相對于周期梁的共振單元有軸向平移.

圖3 失諧梁和周期梁共振單元間距圖

Δ=-(a+l)×β～(a+l)×β

(4)

式中a為周期梁兩個局域共振單元間的距離，a=75mm；l為共振單元的長度，l=25mm；β為失諧百分比，β=20%；Δ為允許的失諧范圍.

通過式(4)計算可知失諧范圍為-20mm～20mm.

此處失諧梁共振單元的失諧量分別取為 -5mm,15mm,10mm,5mm，-15mm，-10mm.

取軸的最左端的坐標為0，失諧梁和周期梁的共振單元的位置坐標如表1所示.di表示失諧梁和周期梁第i個共振單元的間距，如圖3所示.d1=5 mm，d2=10 mm，d3= 20 mm，d4=25 mm，d5=10 mm，d6=0 mm.

表1 失諧梁和周期梁的共振單元的位置坐標

3 基于能量法的減振特性分析

3.1 正弦激勵響應分析

建立周期梁和失諧梁的有限元模型.設置接觸條件，材料參數以及屬性，對梁的一端進行固定.在梁的自由端施加垂直于梁的軸線方向的正弦激勵x(t)=sin (250 πt)mm，激勵時間為一個信號周期0.008s.分別在距離失諧梁和周期梁的固定端軸向距離5mm處拾取響應，采樣時間為0.04s.失諧梁的激勵點和拾取點如圖4所示,周期梁的激勵點和拾取點在相同位置.仿真分析后將失諧梁和周期梁的響應曲線放在一起進行比較，得到的正弦激勵響應曲線如圖5所示.

圖4 失諧梁響應激勵點和拾取點

時間/s

通過對比失諧梁和周期梁的響應曲線可知，失諧梁響應在采樣時間內振動響應幅值的絕對值要明顯小于周期梁，即失諧梁能更好地抑制彈性波的傳播.

為了更可靠地驗證失諧梁的減振特性效果確實要優于周期梁，基于能量法從相對能量率的角度來驗證.

根據式(3)，失諧梁比周期梁少傳播彈性波的相對能量率η可由下式計算：

(5)

式中EΔ為失諧梁中彈性波傳播過程的總能量；ET為周期梁中彈性波傳播過程的總能量；A(t)Δ為失諧梁拾取點t時刻的幅值；A(t)T為周期梁拾取點t時刻的幅值.

經過計算得相對能量率η=-32.87%.施加正弦激勵后產生的彈性波經過失諧梁傳播的能量要比周期梁下降32.87%，能量減少比較明顯.因此，失諧梁在抑制彈性波傳播時效果要比周期梁好.

3.2 頻率響應分析

有限元模型進行同正弦激勵響應分析一樣的前處理，對梁的一端進行固定.在梁的另一端，也就是自由端，施加大小為1 000N的力，方向與桿的軸向垂直，頻率變化范圍為0～300Hz的信號激勵，分別在距離失諧梁和周期梁的固定端軸向距離5mm處拾取響應，仿真分析后將失諧梁和周期梁的響應曲線放在一起比較，得到的瞬態響應曲線，如圖6所示.

頻率/Hz

通過對比失諧梁和周期梁的頻率響應曲線可知，失諧梁的頻響在0～20Hz的頻率范圍內幅值的絕對值明顯要比周期梁小很多，在圖中其它頻率區間失諧梁較周期梁的振動幅值的絕對值只是略小并不太顯著，可以通過兩者的頻率響應函數dB的曲線來進行對比，如圖7所示.共振峰頻率是由局域共振結構的固有模態所決定的.我們可以發現在60～110Hz范圍內，失諧梁相對于周期梁的分貝值差別不大.在0～60Hz以及大于110Hz的高頻范圍內，減振特性效果非常顯著，而且頻率越高作用越大.

頻率/Hz

類比時域，基于能量法計算頻域內失諧梁比周期梁少傳播彈性波的相對能量率的大小.

定義頻域的能量為

(6)

式中kf為比例系數；Δf為頻率的變化范圍;A(f)為拾取點在激勵頻率為f時的幅值.

(7)

式中f0為激勵截止頻率，f0=300Hz；A(f)Δ為失諧梁的拾取點在激勵頻率為f時幅值；A(f)T為周期梁的拾取點在激勵頻率為f時幅值；η為失諧梁比周期梁少傳播彈性波的相對能量率.

由式(6)和(7)計算得相對能量率η=-35.35%.施加激勵后產生的彈性波經過失諧梁傳播的能量要比周期梁下降35.35%，能量大大減少.所以，失諧梁在抑制彈性波傳播中時效果要比周期梁好.

4 結 論

經過基于能量法的減振特性分析，無論是正弦激勵響應分析還是頻率響應分析，通過分別對比周期梁和失諧梁的幅值和能量，可以發現：

1)在一定的失諧參數下，彈性波在該失諧梁中傳播的幅值的絕對值要明顯小于周期梁，所以該失諧梁在抑制彈性波傳播的幅值時效果要比周期梁好.

2)失諧梁在0～60Hz以及大于110Hz的高頻范圍內，減振效果非常顯著，而且頻率越高作用越大.

3)當失諧梁有20%的晶格參數失諧時，正弦激勵響應時彈性波的相對能量率為-32.87%；頻率響應時彈性波的相對能量率為-35.35%.彈性波在該失諧梁中傳播時的能量要大大減小.因此該失諧梁在抑制彈性波傳播能量時效果要比周期梁好.

因此，可以得出結論：通過選擇合適的失諧參數，可使失諧梁較周期梁具有更好的減振特性.

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Research on Properties of Vibration Attenuation in Phononic Crystal Detuning Beam with Local Resonant Structure

ZHANG Bang-ji，HUANG Xun-hao?，ZHANG Nong，XIE Qing-xi

(State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body,Hunan Univ, Changsha，Hunan 410082，China)

The characteristic of phononic crystals local resonance was applied to beam to form a local resonat beam. Based on local resonant beam, and by introducing analogy lattice parameter mismatch, a local resonance model of detuning beam was obtained. Through sine excitation response analysis and frequency response analysis of local resonance periodic beam and detuning beam respectively, and combined with the improved energy method, it can be concluded that, by choosing the appropriate detuning parameters，detuning beam is better than periodic beam in the characteristics of vibration reduction．

detuning beam; sine excitation response analysis; frequency response analysis; energy method

1674-2974(2015)02-0055-05

2013-11-22

國家自然科學基金聯合基金資助項目(U1234208); 西南交通大學牽引動力國家重點實驗室開發課題資助(TPL1310)

張邦基(1967-)，男，湖南長沙人，湖南大學副教授，博士?通訊聯系人，E-mail:huangxunhao123@126.com.

TH113.1

A