基于分形理論的粉煤灰滲透率研究

趙明華，戴 杰，張 玲, 尹平保

(湖南大學 巖土工程研究所，湖南 長沙 410082)

基于分形理論的粉煤灰滲透率研究

趙明華?，戴 杰，張 玲, 尹平保

(湖南大學 巖土工程研究所，湖南 長沙 410082)

以凍干法制作的粉煤灰不擾動試樣為對象，研究粉煤灰的孔隙結構，利用顯微數碼成像技術、專業圖像處理技術，結合分形理論得到了粉煤灰孔隙半徑分布分維數，并分析了粉煤灰孔隙結構具有多重分形的原因.利用毛細管束模型和Poiseuille方程推導了粉煤灰的滲透率與孔隙半徑分布分維數之間的定量化函數式.由參數分析可知粉煤灰的滲透率隨最大孔隙半徑及拐點孔隙半徑的增大而增大、并且隨區間Ⅰ和區間Ⅱ的孔隙半徑分布分維數的增大而減小.

道路工程；滲透率；分形理論；孔隙半徑分布分維數；圖像處理

粉煤灰是原煤經粉碎加工在高溫下燃燒熔化后，冷凝殘留的燒結物，其組織疏松，其中50%～70%為空心的玻璃質球體.隨著我國經濟的進一步發展，工業粉煤灰的排放飛速增長，如何將其進行合理的資源優化顯得尤為重要[1].關于工業粉煤灰的綜合利用，因其滲透率大，滲水性好，越來越多的高速公路或鐵路利用粉煤灰來填筑路基.已有的研究表明[2-4]，粉煤灰路基的壓實度及穩定與粉煤灰自身的滲透率密切相關.因此，如何合理有效地評價粉煤灰的滲透性，成為粉煤灰路基修筑的關鍵問題.關于工業粉煤灰的滲透率，國內外已有學者對此開展過相應的研究，如：Bros B等[5]對灰壩滲流的控制進行研究，得到粉煤灰的滲透系數的各向異性比值為2～6；陳愈炯等[6]對粉煤灰的物理、化學，以及力學性質做了初步的介紹，粉煤灰的滲透系數約為10-3～10-5cm/s量級；黃敬如[7]通過現場試坑注水試驗，對粉煤灰壩體的滲透性能進行了初步探討，測得粉煤灰壩體的滲透系數為(2～10)×10-4cm/s，得粉煤灰水平向的滲透系數大于垂直向的滲透系數的結論；蔡紅等[8]通過室內試驗研究了粉煤灰透水性和各向異性等特性，分析了試驗方法、試樣密度、粉煤灰的結構性等對其滲透性的影響程度.

然而，上述研究大多停留在試驗階段，有關粉煤灰滲透率的理論研究尚鮮有報道.綜合分析上述試驗研究成果可以發現，粉煤灰的滲透率主要取決于其孔隙結構.因此，如何將粉煤灰滲透率與孔隙結構聯系起來，成為該問題理論研究的關鍵.由于粉煤灰孔隙結構的復雜性及不確定性，傳統的研究方法難以描述其特征，而已有大量研究[9-12]表明：分形理論能較好地描述土體的孔隙結構.

為此，本文首先利用數字圖像技術對粉煤灰微觀結構的顯微圖像進行定量分析，得到粉煤灰孔隙分布特性；其次，借助分形理論，基于毛細管束模型和Poiseuille方程，建立了粉煤灰滲透率與其孔隙結構之間的定量關系式；在此基礎上，進一步分析探討了影響粉煤灰滲透率的各個主要因素，為粉煤灰合理利用提供參考.

1 粉煤灰孔隙結構研究

1.1 試樣制備與試驗方法

在最佳含水率25.8%的條件下采用輕型擊實實驗進行粉煤灰試件制樣，為盡量減小制樣時對粉煤灰試件的擾動，本文采用內徑61.8 mm的不銹鋼薄壁取土器對重塑粉煤灰進行取樣，經低溫冷凍干燥后用鋒利的小刀削切試樣，并用橡皮球吹去試樣表面的擾動顆粒，使其暴露出新鮮的表面供研究.該方法可避免破壞粉煤灰試樣的原始孔隙結構.

研究粉煤灰的滲透性必然涉及到孔隙大小的影響.根據文獻[13]對孔隙大小的分級標準，結合本文的研究對象，主要將其分為如下3個等級：

1) 微孔隙.孔徑為l～10 μm，在較高壓力下水可滲流，但滲透率較低；

2) 小孔隙.孔徑為10～100 μm，在自然狀態下，有一定的水頭壓力時，水可以通過其滲流，滲透性較好；

3) 大孔隙.孔徑>100 μm，地下水可以在其較順暢地滲流.

1.2 孔隙結構圖像的獲得與處理

本文采用數碼體視顯微鏡實現粉煤灰孔隙結構的圖像采集，選取粉煤灰試件的4個不同位置在不同放大倍數下進行拍照，得到6組不同倍率下的粉煤灰孔隙結構照片24張.為了結合本文研究粉煤灰孔隙的尺寸范圍，最終采用放大倍率為150倍的照片，共4張.圖片大小均為352×352(單位：像素)，每1個單位像素代表1.425 μm.

將獲得的4張真彩色原始顯微圖像，利用專業圖像處理軟件通過去噪音、對比度增強、背景平滑等初步處理，使圖像更加清晰，然后將其轉化成灰度圖像，再通過直方圖均衡化、弱化等處理，使粉煤灰孔隙結構的特征更加明顯.為了真實地反應孔隙結構，須將灰度圖像分割成黑白二元圖像.目前，國際上對于圖像分割并無完善的方法，本文采用目視法對顯顯微數碼圖像進行閥值分割[14].在粉煤灰試樣中選擇一幅具有代表性的圖像作為分析對象，分割后的二元圖像，白色為固體顆粒，黑色為孔隙.圖1表示典型的圖像處理過程.

(a)原始顯微圖像

(b)灰值化處理

(c) 直方圖均衡化處理

(d) 分割為二元圖像

2 粉煤灰孔隙半徑分布分維數分析

2.1 孔隙半徑分布分形模型

對于巖土多孔介質的微觀孔隙結構而言，降維生成分形模型的分維數適用于描述孔隙的尺寸分布.以粉煤灰的孔隙為研究對象，則粉煤灰顆粒為背景.采用Sierpinski地毯模型為例，如圖2所示，其中白色表示粉煤灰中的礦物顆粒，黑色表示粉煤灰孔隙.

圖2 Sierpinski地毯模型

設粉煤灰孔隙半徑為r，則大于孔隙半徑r的孔隙累積數目N(r)滿足關系[15]：

(1)

式中：f(r)為孔隙半徑r的分布函數;D為孔隙半徑分布分維數;c為分形系數.

對式(1)兩邊關于r求導，可得孔徑分布的密度函數為：

(2)

2.2 孔隙度概率模型

粉煤灰孔隙分布的概率密度函數可以通過式(2)求解，但式(2)中的系數c很難確定，因此，采用古典型概率分布的定義方法來計算孔隙的概率密度分布[16].

設粉煤灰孔隙半徑r的范圍為[r0,rm]，根據古典型概率分布的定義，有

(3)

由式(3)知分布函數為:

(4)

將式(1)代入式(4)中并整理可以得到孔隙分布函數為:

(5)

式(5)兩邊同時對rp求導數,可以得到孔隙分布的概率密度函數表達式為：

(6)

2.3 粉煤灰孔半徑分布度分維數求解及結果分析

通過專業圖像分析軟件得到粉煤灰孔隙的當量圓半徑，以孔徑r為橫坐標，大于該孔徑的孔隙數N(r)為縱坐標，在雙對數坐標系中確定其對應關系，取其穩定的直線部分的斜率的負值為孔隙度分維數.粉煤灰試樣4處不同位置的顯微圖像經過數字圖像處理技術后，得到的相關粉煤灰孔隙半徑分布分維數如圖3所示．

表1為粉煤灰試樣4處不同位置的孔隙半徑分布分維數.由表1和圖3可以看出：

1) 孔隙累積個數與孔徑大小在雙對數坐標平面內呈折線型，每段折線說明在一定尺度范圍內粉煤灰孔隙具有自相似特征，折點表征粉煤灰孔隙結構性質變化的轉折點.

ln(r)

表1 粉煤灰試樣孔隙半徑分布分維數

2) 圖3中由兩段折線構成，表明粉煤灰孔隙具有多重分形性質.粉煤灰孔隙結構多重分形的生成往往是由于粉煤灰在形成過程中受到多個因素的影響，而每個因素的影響范圍是有限的，這樣就形成了不同的分形并按一定的分布存在于整個粉煤灰孔隙結構中.煤經過粉磨后變成能懸浮于空氣中的煤粉顆粒，在很高溫度下，煤粉達到熔融狀態后由于表面張力達到最小，煤粉顆粒的棱角會收縮為球狀；煤粉顆粒充分燃燒后離開火焰區域，迅速移動到溫度較低區域與煤粉燃燒過程中產生的CO，CO2，SO2以及水蒸氣發生二次反應進行聚合和解聚.由于粉煤灰形成過程的復雜性，導致了孔隙分布的不均勻，使圖出現了在10 μm附近的拐點，兩個折線段表明粉煤灰孔隙可劃分為兩個分維數的結構層次.

3) 圖3中每段折線的擬合相關系數在0.90以上，表明粉煤灰孔隙結構具有分形特征，可以用分形理論對粉煤灰的孔隙結構進行研究.

4) 區間I的分維數在0.18左右，表明在此區間小孔隙分布很均勻；區間Ⅱ的分維數在1.9左右，說明此區間的孔隙分布均勻性比區間I差.

3 基于分形理論的粉煤灰滲透率分析

3.1 基本模型建立及求解

粉煤灰的滲透率是表征粉煤灰傳導液體能力的參數，其大小與孔隙度、液體滲透方向上的孔隙的幾何形狀、顆粒大小及排列方式等因素有關.對于粉煤灰這種球形顆粒狀材料，通常采用毛細管束模型進行模擬.假設有一根長為L，內徑為r的毛細管，其流體黏度為μ，在壓差(P1-P2)下作層流流動，單根毛管中的滲流流量為：

(7)

由式(6)以及粉煤灰孔隙的結構特征可得：

(8)

式中：rg為拐點孔隙半徑；D1，D2分別為區間I和區間Ⅱ的孔隙半徑分布分維數.

根據Poiseuille方程，結合粉煤灰孔隙的結構特征，可知通過某個單元截面A的總流量Q為：

(9)

設區間Ⅰ和區間Ⅱ內最小孔隙與最大孔隙的半徑比分別為：λ1=ro/rg和λ2=rg/rm.則式(9)可進一步簡化為：

(10)

根據Darcy定理，可得粉煤灰滲透率K為：

(11)

3.2 參數分析

由式(11)可知，粉煤灰滲透率的大小取決于最大、最小孔隙半徑rm，r0以及粉煤灰的孔隙結構參數D1，D2和rg.本文中數碼體視顯微鏡所能識別的最小孔隙半徑r0為0.8 μm，研究區域的面積A=2 486 402 μm2.本文著重研究rm，rg，D1和D2對粉煤灰滲透率的影響.

圖4表示粉煤灰滲透率隨最大孔隙半徑rm的變化情況.由圖4可知，rm的取值對粉煤灰滲透率的影響很大，隨著粉煤灰最大孔隙半徑rm的增大，其滲透率也增大.

最大空隙半徑rm/μm

圖5表示將粉煤灰孔隙結構劃分為兩個層次的拐點孔隙半徑rg對粉煤灰滲透率的影響.由圖5可知，粉煤灰滲透率隨著拐點半徑rg的增大而增大.

拐點半徑rg/μm

圖6和圖7分別表示區間Ⅰ，區間Ⅱ的孔隙半徑分布分維數對滲透率的影響.由圖6和圖7可知，粉煤灰滲透率隨孔隙半徑分布分維數的增大而減小.這是由于孔隙半徑分布分維數的大小可以反映不同孔徑的孔隙數目的變化情況.同時孔隙半徑分布分維數越小，表明粉煤灰的孔隙率越大，從而使得粉煤灰的滲透率越大.并且對比圖6和圖7可知，區間Ⅱ的孔隙半徑分布分維數D2比區間Ⅰ的孔隙半徑分布分維數D1對粉煤灰滲透率的影響要突出，這也驗證了本文前面所提到的水在小孔隙內易發生滲透，而在微孔隙內，水的滲流較難發生.

孔隙度分維數D1

孔隙度分維數D2

4 結 論

本文基于分形理論，通過圖像識別技術得到了粉煤灰的孔隙半徑分布分維數，在此基礎上推導了粉煤灰滲透率與孔隙半徑分布分維數的關系式，并由此展開了分析與討論，得到以下結論：

1) 粉煤灰孔隙具有較好的自相似特征，可以用分形理論很好地描述粉煤灰的孔隙結構特征.

2) 粉煤灰孔隙具有多重分形性質，由于粉煤灰顆粒大小分布不均勻，導致了孔隙分布的不均勻，本文粉煤灰試樣大約在10 μm的位置出現拐點，由此粉煤灰孔隙可劃分為兩個分維數的結構層次.

3) 粉煤灰滲透率隨拐點孔隙半徑rg和最大孔隙半徑rm的增大而增大.

4) 粉煤灰滲透率隨區間Ⅰ、區間Ⅱ的孔隙半徑分布分維數的增大而減小.區間Ⅱ的孔隙半徑分布分維數對粉煤灰滲透率的影響比區間Ⅰ的孔隙半徑分布分維數要大.

粉煤灰的孔隙結構存在分形結構特征，本文就這種結構現象對粉煤灰滲透率的影響進行了一些初步的探討，也獲得了一些有益的結果.但由于粉煤灰孔隙結構形態、孔隙結構的連通性等復雜性，還有許多問題有待進一步深入研究.

[1] 錢覺時.粉煤灰特性與粉煤灰混凝土[M].北京: 科學出版社, 2002: 1-20.

QIAN Jue-shi. Characteristics of fly ash and fly ash concrete [M]. Beijing: Science Press,2002:1-20.(In Chinese)

[2] 李耕,查其明.粉煤灰修筑路堤的研究[J].路基工程，1988(6): 39-49.

LI Geng, ZHA Qi-ming. Study on embankment construction with fly ash [J]. Subgrade Engineering, 1988(6): 39-49. (In Chinese)

[3] 岳祖潤,周宏業,汪春杰,等.粉煤灰在鐵路工程中的應用研究[J]. 鐵道學報, 1998(5): 132-136.

YUE Zu-run, ZHOU Hong-ye, WANG Chun-jie,etal. Study on utilization of fly ash in railway construction [J]. Journal of the China Railway Society, 1998(5): 132-136. (In Chinese)

[4] 趙明華, 劉琴, 鄒新軍. 水泥粉煤灰碎石 (CFG) 樁復合地基固結分析[J]. 湖南大學學報: 自然科學版, 2007, 34(9): 1-5.

ZHAO Ming-hua, LIU Qin, ZOU Xin-jun. Consolidation analysis of composite ground with cement fly-ash gravel piles[J]. Journal of Hunan University: Natural Sciences, 2007, 34(9): 1-5. (In Chinese)

[5] BROS B, PARYLAK K. Seepage control from ash lagoons [J]．Proc XIICSMFE Sanfranscisco, 1985,3:1183-1184.

[6] 陳愈炯, 愈焙基, 李少芳. 粉煤灰的基本性質—發展水平報告之一[J]. 巖土工程學報, 1988, 10(5):3-16.

CHEN Yu-jiong, YU Pei-ji, LI Shao-fang. Fundamental properties of fly ash-state of the art report Ⅰ [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1988, 10(5): 3-16. (In Chinese)

[7] 黃敬如.粉煤灰壩體滲透性能的初步探討[J]. 巖土工程學報, 1988, 10(5):135.

HUANG Jing-ru. Preliminary exploration on permeability of fly ash dam [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1988, 10(5):135. (In Chinese)

[8] 蔡紅, 溫彥鋒, 邊京紅.粉煤灰的透水性及各向異性[J].水利水電技術,1999, 30 (12): 27-29.

CAI Hong, WEN Yan-feng, BIAN Jing-hong. Permeability and its anisotropy of fly ash [J]. Water Resources and Hydropower Engineering, 1999, 30 (12): 27-29. (In Chinese)

[9] THOMPSON A H, KATZ A J, KROHN C E. The microgeometry and transport properties of sandstones[J]. Advances in Physics, 1987, 36(5): 625-694.

[10]謝和平. 巖土介質的分形孔隙和分形粒子[J]. 力學進展, 1993,25(2): 145-164.

XIE He-ping. Fractal pores and particles of geomaterial [J]. Advances in Mechanics, 1993, 25(2): 145-164. (In Chinese)

[11]劉松玉, 張繼文. 土中孔隙分布的分形特征研究[J].東南大學學報, 1997, 27(3): 127-130.

LIU Song-yu, ZHANG Ji-wen. Fractal approach to measuring soil porosity [J]. Journal of Southeast University, 1997, 27(3): 127-130. (In Chinese)

[12]劉曉明, 徐漢飛, 趙明華. 基于分形理論的紅層軟巖崩解性消除方法研究[J]. 湖南大學學報: 自然科學版, 2013, 40(6): 27-32.

LIU Xiao-ming,XU Han-fei,ZHAO Ming-hua.Research on method of eliminating the slacking properties of red beds soft rock based on fractal theory[J]. Journal of Hunan University: Natural Sciences, 2013, 40(6): 27-32. (In Chinese)

[13]吳恩江, 韓寶平, 王桂梁, 等. 山東兗州煤礦區侏羅紀紅層孔隙測試及其影響因素分析[J].高校地質學報, 2005,11(3): 442-452.

WU En-jiang, HAN Bao-ping, WANG Gui-liang,etal. Pore structure test of Jurassic red-bed in Yangzhou mining area, Shandong province, and its affecting factors [J]. Geological Journal of China Universities, 2005, 11(3): 442-452. (In Chinese)

[14]張季如, 祝杰, 黃麗, 等. 固結條件下軟黏土微觀孔隙結構的演化及其分形描述[J]. 水利學報, 2008, 39(4): 394-400.

ZANG Ji-ru, ZHU Jie, HUANG Li,etal. Evolution of micro pore structure of soft clay and its fractal features under consolidation [J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2008, 39(4): 394-400. (In Chinese)

[15]CRAWFORD J W, MATSUI N. Heterogeneity of the pore and solid volume of soil: distinguishing a fractal space from its nonfractal complement [J]. Geoderma, 1996, 73: 183-195.

[16]馬新仿, 張士誠, 郎兆新.分型理論在巖石孔隙結構研究中的應用[J]. 巖石力學與工程學報, 2003, 22(S1): 2164-2167.

MA Xin-fang, ZHANG Shi-cheng, LANG Zhao-xin. Application of fractal theory to pore structure research[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2003, 22(S1): 2164-2167. (In Chinese)

Fractal Theory-based Study of the Permeability of Fly Ash

ZHAO Ming-hua?，DAI Jie，ZHANG Ling，YIN Ping-bao

(Geotechnical Engineering Institute，Hunan Univ，Changsha，Hunan 410082，China)

This paper investigated the pore structure of fly ash with the object of undisturbed fly ash samples prepared by freeze drying. By incorporating microscopic digital imaging technology and professional image processing technology, the porosity density dimension of fly ash was derived on the basis of the fractal theory, and the cause of the multi-fractal property of pore structures of fly ash was analyzed. A function quantifying the relation between the permeability and the porosity density dimension of the fly ash was derived by employing capillary bundle model and Poiseuille equation. Parametric analysis indicates that the permeability of fly ash increases with the increase of the maximum pore radius and the inflection point of pore radius, and decreases with the increase of the fractal dimension of the pore radius distribution in sections I and Ⅱ．

road construction; permeability; fractals; fractal dimension of the pore radius distribution; image processing technology

1674-2974(2015)01-0075-06

2013-05-25

國家自然科學基金資助項目(51208191),National Natural Science Foundation of China(51208191)

趙明華(1956-)，男，湖南洞口人，湖南大學教授，博士生導師?通訊聯系人，E-mail:mhzhaohd@21cn.com

TU441

A