Morlet復小波變換的開關電流電路共極點實現*

童耀南, 何怡剛, 尹柏強, 于文新, 龍 英

(1. 湖南大學 電氣與信息工程學院, 湖南 長沙 410082;2. 合肥工業大學 電氣與自動化學院,安徽 合肥 230009; 3. 湖南理工學院 信息與通信工程學院, 湖南 岳陽 414006 )

Morlet復小波變換的開關電流電路共極點實現*

童耀南1,3?, 何怡剛1,2, 尹柏強1, 于文新1, 龍 英2

(1. 湖南大學 電氣與信息工程學院, 湖南 長沙 410082;2. 合肥工業大學 電氣與自動化學院,安徽 合肥 230009; 3. 湖南理工學院 信息與通信工程學院, 湖南 岳陽 414006 )

提出了一種時頻域混合共極點逼近的開關電流電路Morlet復小波變換方法.將Morlet復小波構成部件高斯包絡進行分解,設計了高斯包絡時域逼近優化模型,模型可采用常規優化算法求解.利用正弦和余弦信號的周期性,及其與指數信號的乘積在頻率域具有相同極點的特性,簡化了Morlet復小波函數的拉普拉斯變換,實現了實部和虛部的共極點有理逼近.基于雙線性變換積分器設計了一種開關電流復二階節基本電路,繼而綜合了Morlet復小波變換基本電路.通過調節基本電路的開關時鐘頻率可實現其它不同尺度的小波變換功能.對比分析表明,本文方法的逼近效果和系統穩定性均明顯優于現有的Padé變換法和Maclaurin級數法；與現有方法相比，本文設計的復小波變換電路具有結構簡單、功耗低和體積小等優點.仿真結果表明了方法的有效性.

開關電流電路; Morlet復小波；小波變換;帶通濾波器;逼近算法

小波變換是分析非平穩信號強有力的工具,已有廣泛的工程應用[1-2].小波變換通常采用數字方式實現,但其運算量大,且需要進行模數轉換,不適合功耗要求嚴格的應用場合.近年來,為滿足實時性和低功耗場合的要求,人們開始致力于小波變換模擬電路實現的研究[3-13].其中文獻[3]提出了基于開關電容電路的連續小波變換方法,但開關電容是一種電壓模技術,需要線性浮置電容,與標準數字CMOS工藝不兼容.為克服開關電容的缺陷,開關電流技術[14-15]應運而生.開關電流是一種新型的模擬電流數據采樣技術,具有高速度、低電壓、低功耗的優點.文獻[4-5]最早提出開關電流電路實現小波變換的理論與方法.開關電流小波變換電路有兩種主流的設計方法,一種是頻域設計法,另一種是時域設計法,均包括兩個關鍵的步驟,一是小波函數(或構成部件)的有理逼近,即用一個頻域有理濾波器函數代替難以電路實現的小波函數；二是小波濾波器電路設計.對于頻域設計法,這兩個步驟都在頻率域進行.例如文獻[5]和[10]分別采用Padé逼近法和Maclaurin級數法進行小波函數的頻域逼近,再針對逼近的小波濾波器傳遞函數進行電路設計.小波函數逼近實質上尋找一個沖激響應與待逼近小波函數波形盡可能相似的濾波器.Padé逼近法基本思想是先采用泰勒級數將小波復頻域函數展開成多項式形式,再根據逼近有理式的階數要求保留適量的低階項,舍棄其它高階項,從而獲得小波復頻域函數的近似多項式,最后采用Padé變換將這個近似多項式轉化為有理式,從而獲得逼近的小波濾波器傳遞函數.與Padé逼近法不同的是,Maclaurin級數法利用了信號時頻變換的時移特性,分別針對小波函數的分子和分母進行泰勒級數展開,方法更為簡單.頻域設計法之外,另一種是時域設計法,即基于小波函數的時域特點進行小波變換電路設計,方法直接明了,但電路較為復雜.例如文獻[12]提出了Morlet實小波變換的開關電流電路模擬實現方法,采用Padé法在頻域進行高斯包絡的有理逼近,再基于Morlet小波時域結構和特點進行電路設計,需要用到正弦信號發生器、乘法器、高斯函數發生器和積分器等部件.綜上所述,現有開關電流小波變換方法存在以下不足,一是時域設計法導致電路結構復雜,二是頻域逼近效果不理想且不能自然保證電路的穩定性,三是現有方法多關注于實小波變換的實現,少有研究復小波變換的模擬實現,然而復小波變換比實小波變換能提供更多的細節信息.

針對現有方法的不足,本文提出一種時頻混合共極點逼近的開關電流電路Morlet復小波變換方法.首先,基于Morlet復小波函數的特點,對高斯包絡單獨進行時域分解,并利用正弦信號的周期性,設計出一種時域逼近優化模型,可采用現有優化算法進行逼近優化問題求解.其后,對逼近的時域復小波進行拉普拉斯變換,獲得其實部和虛部傳遞函數,且實部和虛部具有相同的極點.然后,設計一種單輸入雙輸出的開關電流共極點復二階節基本電路,繼而綜合Morlet復小波變換電路.最后,通過電路仿真驗證方法的有效性.

1 Morlet復小波濾波器共極點逼近原理

設ψ(t)為小波基函數,輸入信號f(t)平方可積,即f(t)∈L2(R),則f(t)的小波變換為

(1)

Morlet復小波基(尺度a=1)時域表達式為:

ψ(t)=π-1/4ejω0te-t2/2=

π-1/4[cos (ω0t)+jsin (ω0t)]e-t2/2,ω0≥5．

(2)

式中:ω0是中心頻率,在ω0=5和7兩種情況下,時域波形如圖1所示.可見,Morlet復小波是高斯包絡下的單頻率復正弦函數,且對于不同的中心頻率ω0,其實部和虛部的高斯包絡相同.Morlet復小波時域支撐區約為-3～3.

時間

時間

根據小波變換的濾波器實現原理,應該對(2)式進行共軛和翻轉操作.此外,Morlet復小波是雙邊信號,與濾波器電路的因果性要求不符,因此還應對(2)式進行右移處理.處理后的Morlet復小波基函數為:

π-1/4{cos [ω0(t-t0)]+jsin [ω0(t-t0)]}e-(t-t0)2/2．

(3)

式中t0表示時移量,時移量的選擇是截斷誤差[8]與濾波器階數的零和博弈.如果選擇較小的t0則會產生較大的截斷誤差(即零時刻以前的小波波形因濾波器因果性而忽略),然而較大的t0需要較高的濾波器階數才能有效逼近小波函數. 根據Morlet復小波的時域支撐區分布,時移量t0通常在2.5～3的范圍內選擇,以達到截斷誤差與電路規模的折中.

理論上,式(3)可以通過單獨構建兩個沖激響應波形分別與其實部和虛部相似的基本濾波器來實現,但這種雙濾波器方法會導致電路面積與功耗均較大.為簡化電路結構,特對式(3)進行共極點有理式逼近.由于Morlet復小波是高斯包絡下的單頻率復正弦函數,通過對高斯包絡進行指數函數和三角函數的線性組合近似逼近,再將各組成部分與正弦和余弦相乘,并進行拉普拉斯變換, 即可獲得Morlet復小波濾波器的逼近函數.根據同頻率正弦信號和余弦信號與指數信號的乘積在頻域具有相同極點的基本原理,逼近的Morlet復小波濾波器實部和虛部具有相同的極點.

先對高斯包絡進行指數函數和三角函數的線性組合近似分解：

e-(t-t0)2/2≈aebt+

(4)

式中：a,b,ci,di,σi和ωi為待求的參數.

考慮正弦與余弦信號的周期性特點,即如果滿足t0=m·2π/ω0,m∈Z,則有

cos (ω0(t-t0))=cos (ω0t),

sin (ω0(t-t0))=sin (ω0t)．

(5)

將式(4)和(5)代入式(3),獲得時域近似的Morlet復小波表達式，然后分別對其實部和虛部進行拉普拉斯變換(忽略式中常數π-1/4項),得到實部和虛部的頻域有理式逼近．

Hreal(s)=L[cos (ω0(t-t0))e-(t-t0)2/2]≈

(6)

Himag(s)=L[sin (ω0(t-t0))e-(t-t0)2/2]≈

(7)

對比分析式(6)和(7)可知,實部和虛部的有理逼近式具有相同的分母項,即實現了Morlet復小波的共極點有理逼近.如果t0≠m·2π/ω0,m∈Z,上述共極點逼近方法仍然適用,只是式(6)和(7)的表達式較為復雜而已．

2 高斯包絡時域逼近

上述共極點有理逼近的精度完全依賴于高斯包絡的逼近,即式(4)中未知參數a,b,ci,di,σi和ωi的求解.為方便起見,將式(4)中未知參數定義為一向量：

r=[a,b,c0,c1,…，cn,d1,…，dn,σ1,…，σn,ω1,…，ωn]．

(8)

將高斯包絡的時域逼近式重寫如下：

h(r,t)=aebt+

(9)

我們希望找到一個合適的參數向量r,使得h(r,t)與高斯包絡波形盡可能地相似,因此設計如下時域逼近優化模型：

(10)

3 開關電流共極點復二階節電路設計

根據式(6)和(7), Morlet復小波變換電路實現的關鍵在于開關電流共極點復二階節電路模塊設計．為簡便起見，將式(6)和(7)中單個二階節的實部和虛部傳遞函數分別定義為：

(11)

(12)

式中：i(s)表示二階節的輸入電流,ior(s)和ioi(s)分別表示實部和虛部的輸出電流.式中分子和分母項的系數容易從式(6)和(7)推導. 根據系統信號流圖理論,式(11)和(12)可通過兩個共用的積分器s-1,兩個共享的和4個獨立的電流拷貝器來實現.

由于開關電流電路采樣保持系統,需要對連續時間積分器s-1進行離散化,通常是采用雙線性z變換方法,即s→(2/T)(z-1)/(z+1),T表示離散化采樣周期.雙線性z變換法的開關電流雙輸入雙輸出積分器電路[7]如圖2所示,其中圖2(a)為電路原理圖,圖2(b)為簡化符號圖.雙線性積分器由同相無損積分器和反相無損積分器組合而成.圖中晶體管M1，M2，M4和M5的寬長比(W/L)為1(歸一化值)，M3和M6的寬長比k=T/2. M2的柵極為正極性輸出拷貝端,通過M4和M5反相之后,M5的柵極為負極性輸出拷貝端.

圖2 開關電流雙線性積分器

對于式(11)和(12),采用兩個圖2所示的積分器,并從其正負極性輸出端分別拷貝電流進行前饋或反饋,由MOS管的寬長比實現傳遞函數各節的系數.據此原理,構建如圖3所示的基本電路模塊,這是一個單輸入雙輸出的共極點復二階節電路,i表示輸入電流,ior和ioi分別表示實部和虛部輸出電流.根據開關電流雙線性積分器工作原理,電流拷貝MOS管的寬長比參數與采樣周期T及式(11)和(12)的系數之間的關系為：

k=T/2,r1=ka1,r2=ka0，

r3=kc1,r4=kc0,r5=kb1,r6=kb0．

(13)

在電路設計時,如果某個參數為負,則實現該參數的電流拷貝器應該從積分器的另一極性輸出端進行取樣.

圖3 開關電流復二階節電路

4 設計實例

4.1 高斯包絡逼近

根據Morlet復小波時域支撐區分布,通常在2.5～3之間選擇t0.若采用5階有理函數進行高斯包絡逼近,即式(8)中的n=2,則式(10)是一個10維度的優化問題.當ω0=5時,可定m=2,t0=2·2π/ω0=2.513 3,從而按照式(6)和(7)來計算復小波逼近函數.類似地,若ω0=7,可定m=3,則t0=2.692 8;若ω0=9,定m=4,則t0=2.792 5,這樣就可以利用正弦和余弦的周期性來簡化計算.不失一般性,這里以ω0=5為例說明方法的具體實施流程.將相關參數代入模型(10),并采用混合粒子群算法[6]進行求解,獲得一組優化參數,見表1.

表1 高斯包絡時域逼近優化參數

將表1中的10個優化參數代入式(4),得

e-(t-t0)2/2≈8.114e-0.955 7t-17.503e-1.078 3tsin (1.303 1t)-6.519 0e-1.078 3tcos (1.303 1t) +13.190e-1.325 8tsin (1.594 3t)-1.552 0e-1.325 8tcos (1.594 3t)．

(14)

對式(14)進行拉普拉斯變換,獲得其頻域有理函數：

He(s)=

(15)

采用本文方法,以及Padé法[5，12]和Maclaurin級數法[10-11]逼近的5階高斯包絡在時域和頻域的效果對比分別如圖4和圖5所示. 由圖可知,通過本文方法能有效逼近高斯包絡函數,且逼近效果優于現有的兩種方法. 圖中,Maclaurin級數逼近是經過極點平移處理后的結果,說明該方法不能自然保證逼近有理式的穩定性.事實上,Padé逼近法亦存在類似的穩定性問題,例如文獻[13]基于Padé法構造了一個10階的Morlet實小波函數,其中有6個極點是不穩定的.

時間/s

頻率/(rad·s-1)

表2列出了本文方法與現有方法在時域(0～5s)和頻域(0～πrad/s)的逼近均方誤差(MSE)對比數據.分析可知,本文方法在時域和頻域的逼近均方誤差分別為0.541×10-4和3.063×10-4,Padé法分別是5.343×10-4和7.167×10-4,Maclaurin法誤差最大，分別為6.82×10-2和0.114.由此可見,本文逼近方法在時頻域逼近精度均高于現有的Padé法和Maclaurin法. 在電路實現過程中,電路器件實際值與理論值之間通常存在一定的偏差,因而較高的濾波器逼近精度將有助于減少電路偏差的影響.

表2 高斯包絡逼近精度和穩定性比較

4.2 基本復小波濾波器共極點逼近

將表1中的參數,以及ω0=5代入式(6)和(7),求得Morlet復小波基實部和虛部傳遞函數,分別為：

(16)

(17)

可見,逼近的實部和虛部函數均由5個基本二階節并聯組成,且具有相同的極點.至此,實現了Morlet復小波濾波器的時頻域混合共極點有理逼近.

4.3 Morlet復小波變換開關電流電路實現

基于圖3所示的開關電流復二階節電路,可以綜合出Morlet復小波傳遞函數式(16)和(17).按照式(13)進行電路參數計算時,考慮Morlet復小波基頻率支撐域在0～2 Hz范圍內,依照奈奎斯特采樣定理,定義采樣周期T=0.05 s.計算獲得5節電路的相關參數見表3.表中參數是MOS管寬長比歸一化‘1’的相對值，在晶體管級電路設計時需要根據對應的實際寬長比進行去歸一化．

將表3中的參數分別代入圖3所示的電路模塊，即可設計出基本的Morlet復小波變換電路.分析可知, 電路由5個復二階節模塊并聯組成,共包括64J基本偏置電流;需要精確調試39個MOS寬長比參數,其中有15個參數是相同的,即差異參數為24個;需要兩相非重疊時鐘; 最終電路規模是含40個開關(通常由單個MOS管實現)和113個MOS管(不含開關管).

表3 開關電流Morlet復小波基電路參數

若按照文獻 [12]的方法思路設計相同功能的電路,采用實部和虛部共享振蕩器[4]和高斯包絡發生器的最簡方案,實現電路的相關參數見表4.共需要4個乘法器,其中2個分別完成實部和虛部電路的小波函數發生功能,另2個則分別完成實部和虛部輸入信號與小波函數的乘積運算.此外,還需要3個積分器,根據小波變換原理,實部和虛部電路輸出端需要2個積分器, 剩余的1個積分器通過復制振蕩器輸出信號并完成正弦至余弦的轉換,作為實部電路的輸入.基于上述方案實現Morlet復小波變換電路,由9個電路模塊和78J基本偏置電流源組成.共有25個參數(其中差異參數16個)需要精確調試.電路需要4相時鐘系統.最終實現電路含60個開關和166個MOS管(不含開關管).

由此可見,與文獻[12]相比,本文基于共極點濾波器方案設計的Morlet復小波變換電路具有結構簡單、功耗低和體積小等優點.

表4 開關電流Morlet復小波基電路對比

4.4 電路仿真分析

針對由上述5節基本電路并聯組成的Morlet復小波變換電路,若設定電路開關時鐘頻率為20 kHz(對應小波基電路,尺度為a=1),采用開關電流電路仿真軟件ASIZ[16]進行功能仿真,獲得基本電路的沖激響應波形如圖6所示.圖中,連續的實線表示理想波形,鋸齒狀曲線表示電路仿真輸出.分析可見,實部和虛部電路沖激響應的波峰分別出現在2.52 ms和2.82 ms,大小分別為1.003 mA和0.946 mA,時域支撐區約為0～5.9 ms.對比時移2.513個時間單位的Morlet復小波的理想情況:實部與虛部波峰位置分別出現是2.513和2.81,幅值大小分別是1和0.95,時域支撐區約為0～6.可見,所設計的復小波電路的沖激響應有效地逼近了Morlet復小波的理想波形.

時間/ms

根據開關電流電路的特性,通過調節上述基本復小波電路的開關時鐘頻率,可以獲得其他不同尺度下的小波函數,從而可實現不同尺度的小波變換.若電路開關時鐘頻率按照二進制比例增加,電路沖激響應波形則相應地按照二進制比例壓縮,即可實現二進制小波(即a=2j(j∈Z)).例如,以20 kHz為基礎,針對上述電路分別設定開關時鐘頻率為40 kHz和80 kHz,則相應地實現了尺度為a=2-1和a=2-2的Morlet復小波變換功能,其沖激響應波形分別如圖7(a)和(b)所示,時域支撐區分別處在(0,3 ms)和(0,1.5 ms)的范圍內,分別是小波基時域寬度(0,6ms)的1/2和1/4.即時域支撐區寬度呈二進制規律壓縮.

圖8為該復小波電路的頻域仿真結果.圖中,a=1,a=0.5和a=0.25曲線分別表示相應尺度下的二進制復小波電路的頻率響應.3種尺度下的中心頻率分別約為0.78 kHz,1.58 kHz和3.12 kHz,通帶寬度分別約為(0.6 kHz,30.96 kHz),(1.18 kHz,1.92 kHz)和(2.38 kHz,3.84 kHz),可見通帶寬度基本按照二進制規律遞增.對比分析圖6～圖8可知,隨著尺度a的二進制遞減,電路沖激響應的時域寬度按二進制規律壓縮,而頻域寬度則按二進制規律擴展.由此可見所設計的開關電流Morlet復小波電路仿真結果與小波時頻特性相符.

時間/ms

時間/ms

頻率/kHz

5 結 論

本文提出了一種時頻域混合共極點逼近的開關電流電路Morlet復小波變換方法.針對頻域逼近方法的不足,將Morlet復小波構成部件(高斯包絡)進行時域分解,并設計了高斯包絡的時域逼近優化模型,采用優化算法求得了一組逼近參數.結合Morlet復小波函數特點,利用正弦與余弦信號的周期性,簡化了時域逼近式的拉普拉斯變換.利用正弦信號及余弦信號與指數信號的乘積在頻域具有相同極點的特性,實現了Morlet復小波實部和虛部的共極點逼近.基于雙線性變換積分器設計了一種開關電流復二階節基本電路,繼而綜合了基本Morlet復小波電路.通過調節電路開關時鐘頻率獲得了不同尺度下的小波函數.對比分析表明,本文逼近方法能有效提高高斯包絡的逼近精度,逼近效果明顯優于現有的Padé逼近法和Maclaurin級數法,且能確保逼近式的穩定性. 與現有時域設計方法相比,本文方法具有電路結構簡單、功耗低和體積小等優點.電路仿真結果表明,所設計的Morlet復小波變換電路具有逼近效果好、小波尺度可調諧的特點.根據本文研究,可進行晶體管級電路仿真和版圖設計,最終制成復小波變換芯片.

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Poles-shared Realization of Morlet Complex Wavelet Transform Using Switched-current Circuits

TONG Yao-nan1,3?, HE Yi-gang1，2, YIN Bai-qiang1, YU Wen-xin1, LONG Ying2

(1.School of Electrical and Information Engineering, Hunan Univ, Changsha，Hunan 410082, China;2. School of Electrical Engineering and Automation, Hefei Univ of Technology, Hefei,Anhui 230009, China;3. School of Information and Communication Engineering, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang,Hunan 414006, China)

A new scheme of implementing Morlet complex wavelet transform using poles-shared Switched-current (SI) circuits was proposed， in which a hybrid method in time and frequency domain was presented for approximation of Morlet complex wavelet. By decomposing the Gaussian envelop, which is a component of the Morlet complex wavelet, an approximation optimization model in time domain was designed, which can be solved in universal optimization algorithms. By using the periodic characteristics of the sine and cosine signals, the Laplace transforms of the approximated Morlet complex wavelet can be simplified. The rational real and image parts of the approximated Morlet complex wavelet have shared poles because the product of sine and exponential and that of cosine and exponential have same poles ins-domain. A kind of SI complex second order section circuit was designed based on the bilinearz-transform integrator module. Then it was used to synthesize the Morlet complex wavelet base circuit. By adjusting the circuit’s switch clock frequency, the wavelet transform in other scales can be realized. The comparative analysis demonstrates that the proposed approximation method is better than the Padé transform and Maclaurin series method in accuracy and stability. Furthermore, the circuit designed has the advantages of more simple structure, lower power consumptions and smaller volumes, compared with the existing method. Simulation results verified the effectiveness of the proposed scheme.

switching circuits; Morlet complex wavelet; wavelet transform; bandpass filters; approximation algorithms

1674-2974(2015)04-0055-08

2013-11-29

國家杰出青年科學基金資助項目(50925727);國家自然科學基金資助項目(60876022,61201108),National Natural Science Foundation of China(60876022,61201108);國防科技計劃項目(C1120110004,9140A27020211DZ5102);湖南省科技計劃項目(2013GK3096)

童耀南(1977-)，男,湖南平江人,湖南大學博士研究生,湖南理工學院講師

?通訊聯系人，E-mail:yaontong@hnu.edu.cn

TN713

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