基于Info-Gap決策的結構抗震穩健性優化設計*

唐和生，范德偉，李大偉，薛松濤,3

(1.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092; 2.同濟大學 結構工程與防災研究所，

基于Info-Gap決策的結構抗震穩健性優化設計*

唐和生1,2?，范德偉2，李大偉2，薛松濤2,3

(1.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092; 2.同濟大學 結構工程與防災研究所，

上海 200092; 3.日本東北工業大學 建筑學科，日本 仙臺 982-8577)

針對結構抗震設計中存在嚴重不確定性問題，基于Info-Gap理論建立一種考慮地震設計譜參數不確定的結構抗震穩健性優化設計方法．該設計方法采用Info-Gap模型來描述地震設計譜中反映地面運動強度的水平地震影響系數最大值αmax和場地特征周期Tg的不確定，通過嵌套優化使結構設計滿足結構的臨界性能要求的同時實現最大化不確定的穩健性.通過對一個6層3跨的鋼框架的抗震穩健性優化設計驗證分析表明：這種基于滿足性能的結構抗震設計需在滿足結構性能需求和提高不確定穩健性之間進行權衡取舍；同時也證實該方法為在不易得到不確定性因素足夠信息情況下的基于性能結構抗震可靠性設計提供了一條新思路.

Info-Gap理論；不確定；穩健性；抗震設計

結構抗震設計中涉及到很多不確定的因素,如中國現行規范中的設計反應譜便是通過對大量實際地震記錄的反應譜進行統計分析，并結合工程經驗判斷后得到的平均譜，以地震影響系數的形式給出.建筑結構的地震影響系數應根據烈度、場地類別、設計地震動分組和結構的自振周期以及阻尼比等確定.而對于給定的結構，其自振周期和阻尼比通常是確定的，進而可直接由抗震設防烈度和場地特征周期來確定地震影響系數的取值[1].由此可知，規范中的反應譜主要取決于反映地面運動強度的地震影響系數最大值αmax和場地的特征周期Tg.而地震影響系數最大值αmax和場地特征周期Tg會因震源機制、傳播途徑特性及局部地質土質條件等不同而存在著一定幅度的變化，并不是一個確定的值.再者由于規范反應譜的統計值會受到統計分析所用資料的完備性、計算回歸過程中數據的離散性以及各種人為的主觀性的影響，使得αmax和Tg的取值都是不確定的.

目前不確定性的結構優化設計主要采用的概率和模糊方法都依賴于大量的統計數據，并需要對概率分布或隸屬度進行主觀假定.研究表明概率模型參數的小偏差可導致結構可靠性計算出現較大誤差[2-4].然而，很多結構工程統計樣本的采集相對比較困難，難以得到不確定參量的足夠信息來確定其概率密度分布，只能得到其幅度或界限.因此，以概率方法為代表的不確定優化方法并不完全適用于結構工程領域[5].

20世紀90年代，Ben-Haim[2]和Elishakoff等人[6]提出并倡導應用凸集合模型描述區間不確定性.凸集合模型僅需要少量不確定性參數的統計信息，特別適用于嚴重不確定的優化設計.Ben-Haim在文獻[7]中基于凸集合理論，提出了非概率可靠性的思想：若系統能容許不確定參量在一定范圍內的波動，則認為系統是可靠的，并指出結構可靠性可以用結構在失效前能夠承受的不確定性總量來度量.在結構設計方面，文獻[8-9]基于凸模型將非概率可靠性理論應用于結構設計.蘇永華等[10]基于區間數學理論，建立了深部工程圍巖力學參數及其對開挖響應的區間非概率分析模型.但是當不確定性參數采用區間數或凸集合描述時，由于復雜結構情形的可靠性問題通常所呈現的非凸特性給此類方法帶來了分析計算上的困難，而且區間算法可能引起擴張，從而使該方法的應用受到較大限制.

在凸集合理論研究的基礎上，Ben-Haim提出了“嚴重不確定性”的概念，即僅能獲知不確定性參數假定的名義值，但無法獲得不確定性參數其他信息的情況；并針對這類問題創立了Info-Gap決策理論(Info-Gap Decision Theory, IGDT)[11].IGDT作為一種考慮嚴重不確定性的非概率優化方法，已經成功地應用于各個領域，包括神經網絡[12]、生物保護[13- 14]、金融經濟[15]等.一些學者也嘗試將IGDT應用于結構工程領域中[5, 16]，但這些研究都僅限于結構的穩健性函數解析求解簡單問題，對復雜的嵌套優化問題則鮮有涉及.鑒于此，本文提出了一種將IGDT與自然計算方法相結合的優化方法，應用人工智能算法來處理IGDT的嵌套優化問題，并將該方法應用于基于性能的結構抗震優化中.最后通過一例鋼框架結構的抗震性能優化設計，驗證該方法處理基于性能的抗震穩健優化設計的有效性.

1 Info-Gap不確定穩健性優化模型

基于非概率Info-Gap不確定模型的結構穩健性設計是一種滿足性能的優化設計，其目的是設計出滿足所有約束條件及臨界性能的穩健性最優的結構.其基本思想為：首先選擇一個合適的臨界性能作為約束，然后在保證結構系統正常工作的前提下，最大化結構系統抵抗不確定變量波動的能力，該模型主要由以下幾部分組成.

1)設計變量：在結構優化設計中，首先是確定設計變量以達到理想設計的結構性能或其他目標.可以表示為：

q= [q1,q2, …,qn]T,qmin≤q≤qmax.

(1)

式中：n為設計變量的個數；qmin,qmax分別為設計變量的下限與上限.在結構優化設計中，設計變量包括幾何尺寸、形狀或結構拓撲等結構設計參數.

圖1 不確定性Info-Gap模型

圖1模型的數學表達式可以寫成：

(2)

3)約束條件：通常結構設計問題還必須考慮約束條件，以滿足設計變量空間的可行域要求.約束條件的表達式為：

gi(q)≤0,i=1,2,…,I.

(3)

式中：I為約束條件的個數.結構設計中，約束條件通常需要考慮應力約束和位移約束等.

4)性能函數：性能函數R(q,u) 是設計變量q和不確定變量u的函數，代表結構性能指標或響應.性能函數可以是結構造價、材料體積或結構質量，也可以是結構柔度、節點位移、應力、自振頻率或屈曲荷載等結構性能.臨界性能rc為性能函數R(q,u)必須滿足的前提條件.這兩者構成了非概率Info-Gap穩健性設計過程時必須滿足的臨界性能條件(假設性能函數必須小于臨界性能rc)：

R(q,u)≤rc.

(4)

通常情況下，性能函數是設計變量與不確定變量的隱函數，需要通過結構分析(如有限元分析)來計算.

5)穩健性函數：傳統的優化設計是將性能函數R(q,u)作為目標函數，以實現性能最優化的結構設計.而基于Info-Gap的結構穩健性優化設計的目的是在滿足臨界性能條件下最大化不確定性水平αi.數學表達式如下：

i=1,2,…,I.

(5)

2 基于Info-Gap理論的結構抗震性能穩健性優化設計

傳統的性能優化設計將結構的性能指標作為優化目標，例如得到造價最小的結構設計.在不確定性結構設計中，以概率方法為代表的性能優化設計需要足夠充分的統計樣本，或對不確定性參數進行經驗假設，難以建立不確定性參數信息嚴重缺失的結構設計模型.為解決此類問題，本文基于Info-Gap模型[11]以穩健性函數來表示結構系統的最大非概率不確定性水平，建立最大化穩健性函數的結構穩健性設計策略及優化方法，將穩健性函數的最大化問題轉化為考慮約束條件的嵌套優化問題，并采用人工智能算法處理穩健性函數的嵌套優化問題.

如上所述，基于Info-Gap理論的結構抗震性能穩健性優化設計的過程就是通過公式(5)的嵌套優化來求解穩健性函數.該優化過程包括外優化和內優化兩個部分，外優化的目標是求解穩健性函數，內優化的目標是求解滿足臨界性能條件的最不利性能函數.嵌套優化的復雜程度遠大于單一的優化過程，這使得精確計算結構穩健性函數變得非常困難.因此，很多學者轉而研究可行的數值優化問題.在Info-Gap模型的發展過程中，也是將不確定性問題假定為滿足凸集合條件下的不確定性問題，并針對穩健性函數和其他部分提出了相應的計算方法.但是在結構優化中，結構不確定性參數采用區間數或凸集合描述時，結構響應值域通常是非凸的，且具有不止一個局部極值點[17].因此，實際結構的不確定性優化問題相對于單一的優化問題來說更需要采用全局優化方法.

遺傳算法(GA)[18]是模擬生物自然進化機制的隨機優化方法，它借用了仿真生物遺傳學和自然選擇機理，通過自然選擇、遺傳、變異等作用機制，實現個體的適應性的提高，末代適應性最高的個體作為近似最優解.GA對設計變量特殊編碼，其尋優搜索由適應度值為引導，對不可微以至不連續的函數優化，GA能以較大概率求得全局解；具有較強的魯棒性、全局收斂性、隱含并行性及廣泛的適應性；并且能處理不同類型的優化變量(離散的、連續的和混合型的)；直接搜索法不需要任何輔助信息，對目標函數和約束函數也沒有任何要求.由于上述優點，GA在眾多學者的努力下已經發展成為一種自組織、自適應啟發式概率性搜索優化技術，能有效地求解屬于NPC(不可計算的)類型的組合優化問題及非線性多模型、多目標的函數優化問題，從而得到了多學科的廣泛重視.GA開始滲透到自適應行為、人工智能、神經網絡[19]、機器人、運籌學等學科[20-21]，并逐漸擴展到工程技術、計算機科學、管理科學和社會科學等領域[22].基于上述優點，本文采用GA來實現基于Info-Gap的結構抗震性能穩健性優化的計算.

2.1 Info-Gap結構抗震性能穩健性設計步驟

基于Info-Gap結構抗震性能穩健性設計的GA算法主要步驟如下．

1) 開始外優化：設置GA算法參數，確定臨界性能rc，在可行空間內初始化設計變量q；

2) 開始內優化：初始化不確定變量u；

3) 以設計變量q和不確定性變量u進行結構分析，求解性能函數R(q,u)；

4) 更新不確定性變量u；

5) 返回3)，直至達到內優化最大迭代代數；

6) 輸出當前滿足臨界性能條件的最不利性能R(q,u)及相應的不確定變量u；

7) 更新設計變量q；

8) 返回2)，直至達到外優化最大迭代代數；

結構穩健性設計過程中，嵌套內優化和外優化分別需要計算性能函數R(q,u)與不確定性水平αi的極值，極值的求解通過GA來實現.在本文中定義不確定性水平u為抗震設計反應譜中的水平地震影響系數最大值αmax和場地特征周期Tg.定義內優化性能函數為結構的最大層間位移角θi,max(q,u).

2.2 抗震性能優化設計中性能函數的求解

本文采用基于文獻[23]中μ-ξy-T關系的延性需求譜法而開發求解鋼框架地震性能指標的程序，求解結構性能點的位移和層間位移角，求解步驟如下.

1) 求解結構的動力特性：周期T以及振型Φ，其中振型以頂點幅值為1進行標準化.

2) 對第一階模態,建立結構的pushover曲線.將pushover曲線等效為二折線型，并求得等效單自由度(ESDOF)的周期Te與屈服位移Δy.

通過上述介紹，基于Info-Gap理論的結構抗震性能穩健性優化設計流程如圖2所示.

圖2 基于Info-Gap理論的結構抗震穩健性優化設計流程圖

3 算例分析

3.1 模型及算法描述

本文算例為一個6層3跨鋼框架結構的抗震穩健性優化設計.設計資料如下：跨度7.5 m，首層層高4.5 m，其余層高3.9 m，抗震設防烈度7度，場地類別一組三類場地.在本文優化中首先對梁柱進行編組，柱子分組為C1～C12，梁分組為B1～B6，單榀框架模型如圖3所示.

圖3 框架立面圖

采用本文算法在滿足最大層間位移角小于2.0%前提下，實現鋼框架總質量最小并且抵抗的地震影響系數最大.本文優化部分采用MATLAB嵌套DRAIN編程進行結構抗震性能優化設計，在設計中將3D3S的H型鋼庫截面尺寸定義為設計變量并對其進行編碼以便在優化設計中調用.GA算法參數選取如下：群體規模pop=50；最大迭代進化代數gen=150；因為搜索空間是離散變量，所以采用正整數編碼，模擬二進制編碼；選擇方法采用輪盤賭法；交叉方法采用多點交叉，交叉概率pc=50%；變異方法采用非均勻變異，變異概率pm=10%．約束采用限定搜索空間與罰函數相結合的方法，首先限定解搜索空間為柱選用寬翼緣H型鋼，梁選用窄翼緣H型鋼.分析程序的參數如下：以位移控制，每次位移增加push step=2.5 cm；材料參數：屈服后的強度比SHR=0.03；屈服強度Fy=398 MPa；考慮P-Δ效應.

3.2 考慮αmax不確定的穩健性抗震優化設計

(6)

對應地將式(6)中α定義為穩健性指標,框架總質量隨αmax穩健性指標變化，如圖4所示.

將圖4對應①～⑥不同穩健性指標的反映頂點位移角和側向力關系的pushover曲線列于圖5(a)～5(f) 中，并將對應的框架整體特性列于表1中(其中T為結構的自振周期，M為結構的質量，θi,max為pushover分析中結構最大層間位移值).

穩健性指標/%

表1 考慮地震影響系數αmax的框架優化結果對比

由表1可知，反映αmax穩健性指標越高所需要鋼材質量越大，穩健性指標為30%時，需要的鋼材質量要增加17.68%，穩健性指標為80%時，需要增加的鋼材質量為40.05%；結構自振周期隨αmax穩健性的增高而減小，這也說明隨著αmax的增大可通過增大結構的剛度抵抗地震作用.

圖5 不同αmax穩健性指標下的優化結果

3.3 考慮Tg不確定的穩健性抗震優化設計

(7)

框架總質量隨Tg穩健性指標變化，如圖6所示.

將圖6中對應①～⑥不同穩性指標的反映頂點位移角和側向力關系的pushover曲線列于圖7(a)～7(f) 中，并將對應的框架整體特性列于表2中(其中T為結構的自振周期，M為結構的質量，θi,max為pushover分析中結構最大層間位移值).

穩健性指標/%

表2 考慮Tg穩健性的優化結果對比

由表2可知，場地周期不確定性的穩健性指標越大，需要的結構質量越大，說明要抵抗場地周期不確定需要更大的結構質量，如穩健性指標為40%時，需要增大6.29%的結構質量，而當穩健性指標為80%時，則需要增大12.49%的結構質量.

3.4 兩種不確定性穩健性優化對比分析

圖8為兩種穩健性優化結果對比圖.由圖8可知，同等地震作用條件下穩健性指標為0時，兩點基本重合，隨穩健性指標的增大兩條曲線逐漸分離開來，其中地震影響系數的穩健性指標增大引起優化質量增加得更快；從圖8中還可以看出，地震影響系數不確定對結構質量的影響相對于場地周期不確定性對結構質量的影響要大得多.

圖7 不同Tg穩健性指標下的優化結果

穩健性/%

4 結 論

本文將Info-Gap 決策理論引入基于性能的結構抗震優化設計中，建立了基于Info-Gap 決策的結構穩健設計優化模型，采用GA實現該模型的嵌套優化問題.分別就考慮水平地震影響系數最大值αmax和場地周期Tg不確定性進行了鋼框架穩健優化設計分析，通過對6層3跨框架分析表明：反映水平地震影響系數最大值αmax和場地周期Tg不確定性的穩健性指標越大所需要的鋼材質量越大.結構設計師和業主可根據自己的要求選擇合適的構件組合，付出的代價就是要通過增加結構的質量抵抗αmax不確定和Tg不確定性.通過兩種穩健性設計的對比可以看出，αmax不確定對結構質量的影響相對于Tg不確定性對結構質量的影響要大得多.

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Info-Gap Decision for the Robust Seismic Design Optimization of Structures

TANG He-sheng1, 2?, FAN De-wei2, LI Da-wei2, XUE Song-tao2,3

(1.State Key Laboratory of Disaster Prevention in Civil Engineering, Tongji Univ, Shanghai 200092, China;2. Research Institute of Structural Engineering and Disaster Reduction, Tongji Univ, Shanghai 200092, China;3. Dept of Architecture, Tohoku Institute of Technology, Sendai 982-8577, Japan)

Seismic design for buildings is usually subject to various uncertainties, often severe, which have the potential to undermine engineering decisions. It is crucial that these uncertainties be accounted for in seismic design. We formulated a performance-based seismic design model that takes into account uncertainty in the seismic design spectrum of theαmaxandTg. We used info-gap theory for satisfying the critical performance requirements, while at the same time maximized the robustness to uncertainty through nested optimization. The design implications of this robust-satisfying approach were demonstrated with a three-span six-floor steel frame design example. It is shown that design preferences depend upon the performance requirements considering the trade-off between robustness to uncertainty. Also, the result reveals that the proposed method provides a novel tool for the performance-based seismic reliability design under the lack of knowledge.

Info-Gap theory; uncertainty; robust; seismic design

1674-2974(2015)05-0021-08

2014-05-23

國家自然科學基金資助項目(51178337, 50708076), National Natural Science Foundation of China(51178337, 50708076);科技部國家重點實驗室基金資助項目(SLDRCE11-B-01，SLDRCE14-B-03)

唐和生(1973-)，男，安徽安慶人，同濟大學副教授，博士

?通訊聯系人，E-mail: thstj@tongji.edu.cn

TU318；TU323.5

A