非理想邊界拱的面內失穩模式與屈曲荷載*

康厚軍，易壯鵬，曾有藝

(1.湖南大學 土木工程學院， 湖南 長沙 410082；2.長沙理工大學 土木與建筑學院, 湖南 長沙 410114)

非理想邊界拱的面內失穩模式與屈曲荷載*

康厚軍1，易壯鵬2?，曾有藝2

(1.湖南大學 土木工程學院， 湖南 長沙 410082；2.長沙理工大學 土木與建筑學院, 湖南 長沙 410114)

將拱結構中既非固結也非鉸支的非理想邊界考慮為沿不同方向的具有一定剛度的彈性約束，利用變形幾何關系和能量變分原理推導了拱的非線性平衡方程.以圓弧拱為例建立了徑向均布荷載下外荷載與結構內力、徑向位移之間的關系，通過定義拱的深淺參數和臨界約束剛度進行分析并得到了跳躍屈曲、分岔屈曲等的發生條件及存在區間.本文方法所得屈曲路徑和屈曲荷載與有限元法所得結論吻合良好，且用數值法分析了不同約束剛度時的屈曲路徑和臨界荷載.結果表明,臨界深淺參數和臨界約束剛度對圓弧拱的屈曲模式及屈曲臨界荷載影響顯著.

屈曲；圓弧拱；非理想邊界；分岔屈曲；變分原理

拱結構[1]在土木、機械和航天航空等領域應用廣泛.拱作為一種基本結構構件具有優良的受力特性，其力學特性受到國內外學者[2-3]廣泛關注.如周期激勵下內共振[4-6]時的分岔和混沌特性，沖擊荷載作用下彈性淺拱的跳躍屈曲[7]等.靜力方面，近年來,Pi等[8-10]采用解析法與有限元法對各種荷載與邊界條件下拱結構的非線性屈曲特性進行了深入系統的研究．衛星等[11]探討了多種參數對拱結構考慮2階效應時彈性屈曲特性的影響．程鵬和童根樹[12]綜述了徑向均布荷載下圓弧拱的面內屈曲特性．郭彥林等[13]提出了壓彎圓弧拱平面內穩定承載力的設計建議公式.

這些文獻側重于研究邊界為理想固結或鉸支時拱的力學性能.結構的復雜分析在很多情況下需考慮復雜邊界，如：大跨系桿拱橋中系桿將兩端連起來，系桿與豎向彈性支座、地基的作用可抽象為軸向、徑向彈性約束；機械拱臂或曲臂與相鄰結構彈性連接，共同受力，可將其考慮為彈性約束；彈性地基上的拱型結構在外荷載作用下邊界考慮為彈性更加合理.本文以圓弧拱為例，將非理想邊界考慮為徑向、軸向彈性約束，通過能量變分原理[14]建立非線性平衡方程，得到外荷載與結構內力、位移的關系，并分析屈曲模式與結構重要參數的關系.

1 基本方程與穩定分析

1.1 變形幾何關系

圖1(a)所示圓弧坐標下的圓弧拱，徑向均布荷載q增至一定程度時會發生分岔屈曲(圖1(b))或跳躍屈曲(圖1(c))，2Θ為展開角，R為半徑，θ為角坐標，kvi,kwi(i=±Θ)分別為兩端徑向、軸向彈性約束剛度.屈曲前變形呈現非線性，求解屈曲荷載及變形時需考慮屈曲前非線性的影響.圖1(a)中拱上任意一點P總的軸向應變εP=εm+εb，其中薄膜應變εm和彎曲應變εb分別為：

(1)

1.2 非線性平衡方程

圓弧拱在q作用下無量綱的總能量為：

(2)

軸向平衡方程：

(3)

圖1 彈性約束非理想邊界圓弧拱結構示意圖

徑向平衡方程：

(4)

軸向邊界條件：

(5)

徑向邊界條件：

(6)

(7)

(8)

將式(8)代入式(4)并利用式(3)可得徑向平衡微分方程為：

(9)

利用邊界條件，由式(6)和式(7)可得徑向位移表達式為:

(10)

(11)

其中:

(12)

(13)

(14)

式中:αw±Θ=EA/(2kw±ΘRΘ)是單位長度軸向剛度EA/2RΘ與θ=±Θ處約束剛度kw±Θ的比值，可度量軸向約束的柔度;λ=RΘ2/rx是定義深淺程度的重要參數.式(11)建立了q和μ的函數關系.

1.3 跳躍屈曲分析

發生跳躍屈曲時，臨界值位于極值點，所以在式(11)中發生屈曲的位置有dq/dμ=0，利用式(11)中q與μ的隱函數關系F(q,μ)=0可得:

(15)

A2(β)=2A1(β)+D2(β),

B2(β)=4A1(β),

C2(β)=B1(β)-C1(β),

(16)

(17)

1.4 分岔屈曲分析

(18)

sinβcosβ[1-β2αv+Θ(1+c)]=0.

(19)

式(19)中三項分別對應彈性約束圓弧拱的屈曲模式和導致結構失穩的臨界徑向約束剛度.

(20)

(21)

當λ<λsb1時不發生不對稱分岔屈曲；當λ>λsb1，β=π時不對稱分岔屈曲對應的位移大于跳躍屈曲對應的位移，結構先發生跳躍屈曲再發生不對稱分岔屈曲，二者可通過另一個臨界深淺參數λsb2界定，它可令β=π時式(11), 式(15)的解相同得到.

(22)

λsn=π3(1+αw+Θ+αw-Θ)/8.

(23)

可知，λ=λsn結構發生對稱屈曲，αv±Θ不影響λsn值；λ<λsn時結構沒有屈曲；λ>λsn時拱發生跳躍屈曲，臨界荷載可通過式(11), 式(15)求得.

3)當1-β2αv+Θ(1+c)=0時，基本解為：

屈曲時軸力為：

(24)

(25)

當λ<λss時，結構沒有屈曲，當λ>λss時，發生跳躍屈曲.式(25)的一種極端情況是c=1，即兩端徑向剛度相等，可知此時結構沒有屈曲.

1.5 屈曲特性與λ的關系

表1 拱的屈曲特性與邊界剛度及深淺參數的關系表

2 數值分析

本節對上一節理論解進行數值討論，并與有限元結果進行對比驗證，研究深淺參數λ及約束剛度對屈曲模式、屈曲路徑及臨界荷載的影響.

2.1 與有限元的對比驗證

圖2給出了本文方法和有限元法的對比結果，彈性約束圓弧拱中αv±Θ,αw±Θ已知，有限元分析時E=200GPa,A=5.5×103mm2,I=6.6×107mm4，圖2縱、橫坐標分別為無量綱化的外荷載、跨中位移，f為矢高，左、右臨界屈曲荷載點分別對應加、卸載.由圖2可知兩種方法求解的彈性約束拱屈曲路徑吻合很好，屈曲荷載相差很小，說明本文方法可行.由圖2還可知，在外荷載增大時，分岔屈曲臨界荷載小于跳躍屈曲臨界荷載，結構發生分岔屈曲，這與上一節理論分析結果一致.

vc/f

圖3針對不同深淺參數λ時的屈曲荷載進行了討論，在λ的區間上有λsb1和λsb2兩個臨界參數，本文方法和有限元法的對比顯示，當λ<λsb2時，有限元結果與跳躍屈曲的臨界荷載吻合很好，而當λ>λsb2時有限元結果除了在λ值較大的位置外均與分岔屈曲的結果吻合很好，這說明λsb2在一定程度上是區別深拱和淺拱的參數，也更進一步證明了前述理論結果.

λ

2.2 λ對屈曲特性的影響

圖4和圖5分別給出了臨界深淺參數與徑向、軸向約束剛度的對應關系.圖4顯示λsb1和λsb2均隨著αv+Θ和αv-Θ的增加而增加，且變化曲線均從同一位置出發，此時αv±Θ=0.圖5中對于任意的αw+Θ+αw-Θ，從小至大依次為λsn，λsb1和λsb2，當λ位于3條曲線所分成的4個區域時，結構呈現不同的屈曲模式和屈曲荷載，與表1對應.

αv+Θ

αw+Θ+αw-Θ

圖6給出了不同λ的屈曲路徑及內力分布圖，圖6(a),(b)縱坐標均為無量綱化的外荷載，橫坐標分別為無量綱化的跨中徑向位移和軸力參數β.由圖6可知，當λ=λsn時，結構發生對稱分岔屈曲，荷載位移曲線未呈現跳躍特性，發生屈曲時對應軸力為β=π/2(圖6(b)中點線)；當λ=3<λsn時，結構不發生屈曲(如圖6(a)所示)，這與前述理論結果一致，另外對應軸力β<π/2(圖6(b))；當λ=5或6(>λsn)時，荷載位移曲線出現跳躍特性，外荷載增至一定程度時發生跳躍屈曲，另外軸力參數出現β>π/2的情況，位移曲線和內力曲線的極值點對應臨界荷載.

2.3 約束剛度對屈曲特性的影響

圖7給出了αv±Θ(徑向彈性約束)的影響，且兩端剛度值相等(c=1)，為便于比較αv±Θ=0(兩端鉸支，可視為彈性約束的極端情況)時的屈曲特性也一并放入.如圖7(a)所示，隨著αv+Θ的增大結構臨界屈曲荷載變小，即結構越柔其承載能力越低；另外αv+Θ不同時結構內力也不相同(如圖7(b)所示)，αv+Θ越大內力越小，αv±Θ=0(兩端鉸支)的屈曲內力最大.

vc/f

β

vc/f

β

圖8給出了當c=0時αv±Θ的影響，此時拱結構一端彈性約束另一端固結，為便于比較，αv±Θ=0時的屈曲特征也一并放入.如圖8(a)所示，αv+Θ增加即約束剛度減小時屈曲臨界荷載減小，αv+Θ=0時臨界荷載最大，即徑向彈性約束的存在降低結構承載能力，且αv+Θ越大降低越多.另外，圖8(b)也給出了αv+Θ變化過程中的軸力分布，αv+Θ越大屈曲臨界荷載對應軸力越小，而αv+Θ=0時屈曲對應的軸力最大.

vc/f

β

圖9給出了不同αv±Θ時臨界屈曲荷載與深淺參數λ和展開角2Θ的關系.從圖9(a)可知，λsb2是確定臨界屈曲荷載的一個重要參數，當λ<λsb2時，發生跳躍屈曲，臨界荷載由式(10),(11)求解；當λ>λsb2時，發生分岔屈曲，臨界荷載由式(10)令β=π求得，且λ較大時不同αv±Θ對應的臨界屈曲荷載相差較小；αv±Θ對λsb2的大小影響顯著，總的說來剛度越大λsb2越小.在圖9(b)臨界屈曲荷載與展開角2Θ的關系圖中，λsb2將展開角2Θ分為跳躍屈曲和分岔屈曲兩個區間，αv±Θ同樣對λsb2的大小影響顯著，實際上這與其定義λ=RΘ2/rx是一致的.此外，在圖9中均可發現臨界屈曲荷載隨約束剛度的增大(或柔度參數αv±Θ的減小)而增大.

λ

2Θ

圖10給出了不同αw±Θ時臨界屈曲荷載與λ和2Θ的關系圖.由圖10可知，λsb2是界定屈曲模式及臨界屈曲荷載的重要參數，當λ<λsb2時，跳躍屈曲對應的臨界荷載由式(10), (11)求解；當λ>λsb2時，分岔屈曲對應的臨界荷載在式(10)中令β=π求得，且λ和2Θ較大時不同αw±Θ對應的屈曲荷載差異較小.與αv±Θ的影響不同，各種αw±Θ對應的λsb2差異較小；與αw±Θ的影響相同的是屈曲荷載均隨約束剛度的增大(或柔度參數αw±Θ的減小)而增大.

λ

2Θ

3 結 論

本文將圓弧拱的非理想邊界考慮為沿徑向和軸向的彈性約束，利用能量變分原理建立了結構的非線性方程，得到了外荷載與結構內力、徑向位移的關系，分析了各種約束條件下的屈曲路徑和臨界荷載，并與有限元結果進行了驗證，主要結論如下：

1) 所得屈曲路徑與臨界荷載與有限元結果吻合良好，證明本文方法可行.

2) 臨界豎向約束參數和深淺參數λsn,λsb1和λsb2對結構的失穩模式起決定性的作用，它們將圓弧拱按基本參數劃分為不同的失穩區間.

3) 各種徑向、軸向約束剛度下，λ<λsb2時結構發生跳躍屈曲，λ>λsb2時發生分岔屈曲，且徑向、軸向約束剛度增大時屈曲臨界荷載均增大.

[1] 項海帆, 劉光棟. 拱結構的穩定與振動[M]. 北京: 人民交通出版社, 1991：1-332.

XIANGHai-fang,LIUGuang-dong.Stabilityandvibrationofarch[M].Beijing:ChinaCommunicationsPress, 1991:1-332.(InChinese)

[2] 趙躍宇, 易壯鵬, 王連華. 初始應力對鋼管混凝土拱橋面內極限承載能力的影響[J]. 湖南大學學報:自然科學版, 2007, 34(3): 1-5.

ZHAOYue-yu,YIZhuang-peng,WANGLian-hua.Effectsofinitialstressonthein-planeultimatebearingcapacityofCFSTarchbridges[J].JournalofHunanUniversity:NaturalSciences, 2007, 34(3): 1-5. (InChinese)

[3]KIMNI,KIMMY.Exactdynamicstiffnessmatrixofnon-symmetricthin-walledcurvedbeamssubjectedtoinitialaxialforce[J].JournalofSoundandVibration, 2005, 284(3/5): 851-878.

[4]MALHOTRAN,NAMACHCHIVAYANS.Chaoticmotionofshallowarchstructuresunder1∶1internalresonance[J].JournalEngineeringMechanics, 1997, 123(6): 620-627.

[5]MALHOTRAN,NAMACHCHIVAYANS.Chaoticdynamicofshallowarchstructuresunder1∶2resonance[J].JournalEngineeringMechanics, 1997, 123(6): 612-619.

[6] 易壯鵬,康厚軍,王連華.彈性支撐淺拱的非線性動力行為分析[J].動力學與控制學報,2013,11(2):142-148．

YIZhuang-peng,KANGHou-jun,WANGLian-hua.Researchonthenonlineardynamicbehaviorsofelasticsupportshallowarch[J].JournalofDynamicsandControl,2013,11(2):142-148. (InChinese)

[7] 韓強，黃懷緯，樊學軍．彈性淺拱的非線性動力屈曲[J]．華南理工大學學報:自然科學版, 2010, 38(3): 1-7.

HANQiang,HUANGHuai-wei,FANXue-jun.Nonlineardynamicbucklingofshallowelasticarch[J].JournalofSouthChinaUniversityofTechnology:NaturalScienceEdition, 2010, 38 (3): 1-7. (InChinese)

[8]PIYL,BRADFORDMA,UYB.In-planestabilityofarches[J].InternationalJournalofSolidsandStructures, 2002, 39(1): 105-125.

[9]PIYL,BRADFORDMA,LOIFT.Nonlinearanalysisandbucklingofelasticallysupportedcircularshallowarches[J].InternationalJournalofSolidsandStructures, 2007, 44(7/8): 2401-2425.

[10]PIYL,BRADFORDMA.Nonlinearin-planeelasticbucklingofshallowcirculararchesunderuniformradialandthermalloading[J].InternationalJournalofMechanicalSciences, 2010, 52(1):75-88.

[11]衛星，李俊，李小珍，等．考慮二階效應的拱結構面內彈性屈曲[J]．工程力學, 2007, 24(1): 147-152．

WEIXing,LIJun,LIXiao-zhen,etal. In-plane secondary buckling behavior of elastic arches [J]. Engineering Mechanics, 2007, 24(1): 147-152.(In Chinese)

[12]程鵬，童根樹．圓弧拱平面內彎曲失穩一般理論[J]．工程力學，2005, 22(1): 93-101.

CHENG Peng, TONG Gen-shu. A general theory for in-plane nonlinear analysis of circular arches [J]. Engineering Mechanics, 2005, 22(1): 93-101. (In Chinese)

[13]郭彥林，林冰，郭宇飛．壓彎圓弧拱平面內穩定承載力設計方法的理論與試驗研究[J]．土木工程學報, 2011, 44(3):8-15.

GUO Yan-lin, LIN Bing, GUO Yu-fei. Theoretical and experimental studies of in-plane stability design of circular arches subjected to axial force and moment [J]. China Civil Engineering Journal, 2011, 44(3): 8-15. (In Chinese)

[14]鷲津久一郎．彈性和塑性力學中的變分法[M]．老亮，郝松林，譯．北京：科學出版社，1984:1-446.

WASHIZU Kyuichiro. Variational methods in elasticity and plasticity [M]. Translated by LAO Liang, HAO Song-lin. Beijing:Science Press, 1984:1-446. (In Chinese)

[15]易壯鵬．幾何缺陷對拱結構力學性能的影響[D]．長沙：湖南大學土木工程學院, 2007:29-66.

YI Zhuang-peng. The effects of the geometrical imperfections on the mechanical properties of arch structures [D]. Changsha: College of Civil Engineering, Hunan University, 2007:29-66. (In Chinese)

Planar Buckling Mode and Critical Load for Arch Structure with Non-ideal Boundary

KANG Hou-jun1， YI Zhuang-peng2?， ZENG You-yi2

(1. College of Civil Engineering, Hunan Univ，Changsha,Hunan 410082, China;2.School of Civil Engineering and Architecture, Changsha Univ of Science and Technology,Changsha,Hunan 410114, China)

The non-ideal boundary conditions (neither fixed nor hinged) of arch structure were considered as an elastic constraint with certain stiffness in different directions, and the nonlinear equilibrium equation was determined by using deformation geometric relation and energy variation principle. A circular arch under radial uniform load was taken as an example to establish the relationships between the external load and the internal force, and the radial displacement. By defining the shallowness and critical constraint stiffness, the snap-through buckling and bifurcation buckling were studied and the occurrence condition and distribution range were investigated. The buckling path and critical buckling load in the proposed method were in good agreement with the results from the finite element method. And the numerical method was used to study the buckling path and critical buckling load for different stiffness of elastic constraint. The results show that the critical shallowness and the critical constraint stiffness play a fundamental role in the buckling mode and critical buckling load for circular arch.

buckling; circular arch; non-ideal boundary;bifurcation buckling; variation principle

1674-2974(2015)05-0058-07

2014-09-09

國家自然科學基金資助項目(11002030, 11102063),NationalNaturalScienceFoundationofChina(11002030, 11102063)

康厚軍(1977-)，男，四川安岳人，湖南大學副教授，博士

?通訊聯系人，E-mail:yizhuangpeng@163.com

O343.9

A