衛星導航弱信號的變維卡爾曼濾波跟蹤算法*

余小游，高亭亭，孫廣富，唐小妹，倪少杰

(1.湖南大學信息科學與工程學院，湖南長沙410082;2.國防科技大學電子科學與工程學院，湖南長沙410073)

森林、城市等惡劣環境下的衛星導航信號受障礙物遮擋、多徑效應等的影響，功率衰減嚴重，普通導航接收機在這種弱信號環境下極易失鎖，因此研究弱信號環境下的高性能的導航信號跟蹤技術更加具有實際意義［1］。

高性能跟蹤技術研究的目標是提高跟蹤的適應性，在低信噪比且高動態的條件下對衛星信號載波進行精確跟蹤［2-3］。高動態條件下信號的載波多普勒隨時間變化非常快，基于鎖相環的方法必須增大環路帶寬以保證穩定的動態跟蹤能力［4］。然而環路帶寬越寬，引入的頻率和相位噪聲越大，環路的噪聲性能變差，在低信噪比情況下使得環路更易失鎖，導致其無法正常解調電文信息。弱信號環境下，傳統鎖相環通常采用增加預相干累加時間來增強環路靈敏度，然而數據位的翻轉限制了累加時間的增加，同時增加累加時間降低了接收機的動態性能［5］。

為解決上述問題，標準卡爾曼濾波(Conventional Kalman Filter，CKF)和擴展卡爾曼濾波方法被廣泛應用于跟蹤環路［6-10］。對于非機動載波，該方法具有較好的性能，但對于機動載波跟蹤效果較差。若接收機中采用目標狀態變量維數較低的CKF算法則無法跟蹤具有一定動態的信號，若采用高階的CKF跟蹤環路則在目標動態切換時易出現誤差突跳，且在低動態狀態下，仍采用高階CKF算法，會浪費資源、增大數據運算量、增加算法處理時間。目前很少有文獻報道數字導航接收機在弱信號、較高動態條件下載波動態切換對環路跟蹤性能的影響分析。機動目標在惡劣環境下的穩定跟蹤是弱信號接收機中需要解決的瓶頸問題。

1 變維卡爾曼濾波算法原理

卡爾曼濾波算法是根據前一時刻的狀態估計值和當前時刻的觀測值獲得當前時刻的濾波值，其系統的狀態方程和觀測方程分別為

其中:X k為k時刻系統的狀態向量;U k-1代表系統k-1時刻的輸入向量;A，B分別為系統的狀態轉移矩陣、輸入關系矩陣;Z k為k時刻的觀測向量;H為系統狀態與觀測量之間的關系矩陣;過程噪聲矢量W、測量噪聲矢量V均為零均值的高斯白噪聲序列，其協方差矩陣分別為Q，R。

VD算法采用非機動、機動兩種模型。其基本原理是:引入機動檢測因子監視目標的機動情況，實時切換目標模型達到自適應跟蹤的效果，在整個目標跟蹤過程中，目標無機動時，采用低階的卡爾曼濾波，當檢測因子檢測到機動時，增加模型中狀態變量維數，用高階的卡爾曼濾波機動模型跟蹤直至下一次判決而退回到非機動模型。此算法的關鍵是機動檢測器的設計及模型由低階向高階轉化時，濾波器的初始化問題［10］。

采用變維算法跟蹤目標過程中的關鍵環節是機動實時檢測問題。濾波開始處于非機動模型，在每一個濾波周期內，均可通過計算獲取輸出觀測量的新息殘差序列Γk及其協方差矩陣S k。

式中，衰減因子α滿足條件0〈α〈1，取l=(1-α)-1作為機動檢測的有效窗口長度，uk服從χ2分布且滿足

當濾波穩定時，uk的值主要集中在m/1-α附近，如果超出了一定范圍，就可以判定目標發生了機動，因此機動檢測的方法為:如果滿足uk≥Th，則認為目標在k-l-1開始有一恒定的加速度加入，這時目標模型應由低階轉至高階(其中Th為m個自由度的χ2分布對應于給定置信區間的置信度)。

狀態模型由高階機動模型退回至低階非機動模型的檢測方法是檢驗加速度估計值是否有統計顯著性意義。令

2 基于變維卡爾曼濾波的載波跟蹤模型

鑒于變維卡爾曼濾波較高的機動跟蹤能力，將其引入載波跟蹤環路中改善環路在弱信號、高動態環境下的跟蹤性能。利用變維卡爾曼濾波算法進行狀態估計的結構如圖1所示，本地數控振蕩器(Numerically Controlled Oscillator，NCO)下一時刻的更新是根據變維卡爾曼的濾波輸出實時調整本振的頻率。

圖1 基于變維卡爾曼濾波器的跟蹤環路Fig.1 Tracking loop based on VD Kalman filter

卡爾曼濾波中，需要同時對載波的頻率和相位進行估計。下面建立變維卡爾曼濾波對載波相位差、多普勒頻率及其各階導數的估計模型。

2.1 載波跟蹤非機動模型

對于非機動模型，目標做勻速運動，僅需跟蹤載波的相位差和多普勒頻率，其狀態方程為

式中:T為積分時間;ωNCOk-1為本地NCO復現載波頻率;wθ，ww分別為過程噪聲的相位分量和頻率分量。

過程噪聲矢量的協方差矩陣為

式中，N1表示關于多普勒頻率的隨機抖動。

直接選取跟蹤環路的第k次相關積分值IP，k、QP，k作為觀測信息，則有

式中:Ak為k時刻的信號幅度值;Dk為k時刻的調制數據;R(·)為擴頻碼的自相關函數;Δfk為k時刻多普勒頻移估計誤差;θe，k為k時刻相位誤差均值;vI，k和vQ，k是均值為零、單邊功率譜密度為N0的高斯白噪聲，兩者相互獨立。

穩定跟蹤條件下，容易滿足關系式Δτk=0，Sa(πΔfk T)=1，對環路的即時支路相關積分進行歸一化，可得簡化的系統的觀測方程為

其關系矩陣為

將h(X k)在預測值處展開并線性化，可得第k次觀測矩陣

2.2 載波跟蹤機動模型

對于機動模型，目標以恒定的加速度運動，需跟蹤載波的相位差、多普勒頻率及多普勒頻率的變化率，其狀態方程為

觀測方程與載波非機動模型相同，只是H矩陣維數不同，則載波機動模型的觀測方程為

如果濾波器是不穩定的，則卡爾曼濾波是有偏估計，估計均方誤差也不是最小的。因此濾波器是否穩定，是濾波器能否正常工作的前提。對于R〉0的離散系統，系統一致完全隨機可控和一致完全隨機可觀測判別條件分別如式(17)和式(18)所示。

其中，rank為矩陣求逆，n為系統維數。本模型實際仿真中，取T為0.01s，易驗證知其滿足上述判別條件。由卡爾曼的濾波穩定性判定定理4.2可知［11］，本文設計的卡爾曼濾波器是一致漸近穩定的。

3 仿真結果與性能分析

跟蹤環路的仿真參數設置如表1所示。導航信號的動態模型初始加速度為0，10s后加速度變為3g，保持該加速度持續運動60s后，加速度降為0，并保持恒定不變。在目標跟蹤過程中的第8次采樣開始啟動監測，通過兩點起始法確定濾波初值。

為分析和評價本文提出的算法的性能，分別對2維、3維CKF算法和變維卡爾曼濾波(Variable Dimension Kalman Filter，VDKF)算法進行仿真，比較不同跟蹤方案的自適應特性和收斂精度。

圖2對比了三種跟蹤算法的電文解調結果。

表1 仿真模型參數表Tab.1 The parameters of the simulation model

從圖2可知，基于VDKF的跟蹤環路I、Q支路保持較高的收斂精度持續穩定跟蹤;2維CKF算法在載波動態突變期間的兩路相關值重疊，導航電文無法正常解調;基于3維CKF的算法在整個過程中雖未失鎖，但在加速度作用時出現波動，不利于電文解調。可見，基于VDKF的算法更能適應這種載波動態變化的情況。

圖2 不同跟蹤方案的電文解調結果的對比Fig.2 Comparision of the navigation data demodulation results from different tracking methods

圖3 載波相位跟蹤誤差Fig.3 Carrier phase tracking error

圖3、圖4、圖5分別給出了在載噪比、動態分別為30dBHz，3g時三種算法的載波相位、多普勒頻率及其變化率的跟蹤曲線。

圖4 多普勒頻率跟蹤誤差Fig.4 Doppler frequency tracking error

由圖3可知，2維CKF算法的載波相位跟蹤誤差在±0.08個載波周期之間而VDKF算法載波相位跟蹤精度與3維CKF算法相當，波動在±0.05個載波周期，誤差約減小37.5%。

圖5 多普勒頻率變化率跟蹤誤差Fig.5 Doppler frequency rate tracking error

圖6 VDKF算法的多普勒頻率變化率跟蹤誤差局部放大圖Fig.6 Partial enlarged detail of the Doppler frequency rate tracking error based on VDKF algorithm

由圖4、圖5可看出，2維CKF方法無法跟蹤多普勒頻率變化率，導致在較大加速度階段多普勒頻率誤差高達6Hz;3維CKF算法雖可跟蹤較大加速度但在其階躍變化時出現劇烈的誤差突跳，引起多普勒跟蹤誤差突跳;而本文提出的VDKF算法在動態跳變處，因狀態估計誤差陣的加速度對應項P(3，3)初值較大，使下一時刻的環路增益Kk+1較大，從而增大觀測值在濾波估計中的權重，進而使其在動態突變處仍保持穩定跟蹤，多普勒頻率及其變化率跟蹤誤差減小為0.8Hz和0.5Hz/s，相比標準卡爾曼方法的頻率跟蹤誤差約降低77%。

根據圖6所示的多普勒頻率變化率的局部放大圖，可進一步驗證基于VDKF算法的跟蹤環路的性能。通過機動檢測因子監視載波動態變化，加速度由低階躍變到高階處，僅在約1s的時間內完成切換并快速收斂至新的載波動態模型。

圖7、圖8對比了不同載噪比和積分時間條件下，VDKF算法和CKF算法的濾波誤差。利用VDKF算法對弱信號的載波相位、多普勒頻率及其變化率進行跟蹤可得到較低的估計誤差均方根(Root Mean Square，RMS)值，且濾波誤差在一定范圍內隨積分時間的增加而降低。

圖7 不同載噪比條件下的載波相位誤差均方根值Fig.7 Phase error RMS value for different carrier noise ratio

圖8 不同載噪比條件下的多普勒頻率誤差均方根值Fig.8 Doppler frequency error RMS value for different carrier noise ratio

仿真過程中發現，利用VD機動算法進行目標跟蹤時，濾波效果與門限值的選取有很大關系，若在跟蹤的過程中自適應地調節門限則可進一步提高環路的跟蹤精度。

4 結論

本文提出了一種基于變維卡爾曼濾波的載波跟蹤算法，并與標準卡爾曼濾波方法的跟蹤性能進行了對比。仿真結果表明，在弱信號、較高動態的環境下基于變維卡爾曼濾波的跟蹤算法能迅速收斂達到穩定跟蹤，而且解決了標準卡爾曼濾波器在載波動態變化時濾波誤差突增的問題，其能夠自適應地切換載波動態模型，其跟蹤精度和靈敏度優于標準卡爾曼濾波算法。

References)

［1］劉福聲，羅鵬飛.統計信號處理［M］.長沙:國防科技大學出版社，1999:196-208.LIU Fusheng，LUO Pengfei.Statistics signal processing［M］.Changsha:National University of Defense Technology Press，1999:196-208.(in Chinese)

［2］Miao J F，Chen W，Sun Y R，et al.Adaptively robust phase lock loop for low C/N carrier tracking in a GPS software receiver［J］.Acta Automatica Sinica，2011，37(1):52-60.

［3］Kim K H，Jee G I，Song J H，et al.The adaptive combined receiver tracking filter design for high dynamic situations［C］//Proceedings of IEEE/ION Position Location and Navigation Symposium，2008:203-209.

［4］Lian P，Lachapelle G，Ma C L.Improving tracking performance of PLL in high dynamics applications［C］//Proceedings of the 2005 National Technical Meeting of the Institute of Navigation，2005:1042-1052.

［5］唐小妹，黃仰博，王飛雪.兩種相位鑒別器下的導航接收機跟蹤環路性能分析及比較［J］.國防科技大學學報，2010，32(2):85-90.TANG Xiaomei，HUANG Yangbo，WANG Feixue.Performance comparison of phase detector in navigation receiver’s tracking loop［J］.Journal of National University of Defense Technology，2010，32(2):85-90.(in Chinese)

［6］Almagbile A，Wang J L，Ding W D.Evaluating the performances of adaptive Kalman filter methods in GPS/INS integraton［J］.Journal of Global Positioning Systems，2010，9(1):33-40.

［7］李理敏，龔文斌，劉會杰，等.基于自適應擴展卡爾曼濾波的載波跟蹤算法［J］.航空學報，2012，33(7):1319-1328.LI Limin，GONG Wenbin，LIU Huijie，et al.A carrier tracking algorithm based on adaptive extended Kalman filter［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2012，33(7):1319-1328.(in Chinese)

［8］La Scala B F，Bitmead R R.Design of an extended Kalman filter frequency tracker［J］.IEEE transactions on signal processing，1996，44(3):739-742.

［9］Benkouider A M，Buvat J C，Cosmao J M，et al.Fault detection in semi-batch reactor using the EKF and statistical method［J］.Journal of Loss Prevention in the Process Industries，2009，22(2):153-161.

［10］萬建偉，王玲.信號處理仿真技術［M］.長沙:國防科技大學出版社，2008.WAN Jianwei，WANG Ling.Signal processing simulation technology［M］.Changsha:National University of Defense Technology Press，2008.(in Chinese)

［11］親永元，張洪鉞，汪叔華，等.卡爾曼濾波與組合導航原理［M］.西安:西北工業大學出版社，2012.QIN Yongyuan，ZHANG Hongyue，WANG Shuhua，et al.Kalman filter with integrated navigation principle［M］.Xi’an:Northwestern Polytechnical University Press，2012.(in Chinese)