讓學生看到音樂的數理之美——通過“樂音研究”再談大學文科物理實驗的設計與實施

李俊慶,劉建龍，方光宇，林　珊，趙海發

(哈爾濱工業大學 物理系，黑龍江 哈爾濱 150001)

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讓學生看到音樂的數理之美——通過“樂音研究”再談大學文科物理實驗的設計與實施

李俊慶,劉建龍，方光宇，林珊，趙海發

(哈爾濱工業大學 物理系，黑龍江 哈爾濱 150001)

摘要：針對新開設的大學文科物理實驗“樂音研究”實驗教學實踐，著重強調了實驗的設計理念、目的和思路. 通過“樂音研究”實驗，使文科學生區分噪音和樂音差異，了解其作為一種特殊力學振動的時域特征、頻域特征，理解樂音“聽起來好聽”的悅耳和諧原理，并通過展示各個音符間的關系，讓學生學會示波器以及LabView分析界面的使用，通過分析歸納出“十二平均律”，最后利用“三分損益”方法構建管簫，體驗音樂中包含物理學和數學在內的科學原理.

關鍵詞：樂音；噪音；示波器；LabVIEW

1引言

近年來許多高校十分重視文管類大學生綜合素質的培養和科學實踐能力的提高工作，一些學校甚至仿照 “理工農醫類學生要加強人文素質培養”提出了“文科學生要加強科學素質培養”的口號. 對此已有一些學校開設了一些適宜文科學生的含有動手實踐環節的課程，如物理實驗、電子電工小制作實驗等. 物理實驗作為一個實踐性很強又緊密結合日常生活知識性較強的課程，常被作為文科學生增加科學素質的首選必修課. 當然一般給文管類的學生實驗授課要求(包括內容、總學時數等)顯然要低于理工科學生.

文科學生的自然科學基礎薄弱，對理工教學內容興趣不高，如果所開的課程沒有引起其興趣、又離生活和其從事的專業相關度小的話，是不可能有良好效果的. 如何對此類學生開物理實驗課本身就是一個值得研究的課題[1]. 在課程的設計等方面，必須照顧此類學生的特點，從內容到形式都要精心琢磨.

事實證明，僅簡單地采用適用于長學時理工科學生的“分層次”、“模塊化”的方式，利用實驗教學中的最低層次教學模塊來組織短學時文科教學效果肯定是差的. 客觀來講，許多高校的文科物理實驗教學也恰似簡化版或縮略版的理工科化教學，僅有少數學校真正做了思考，這從其專用教材上就能體現出來[2]. 如果教學過程中仍過度強調培養學生所謂的“理工科的實驗基礎”(非文科實驗基礎)，過度要求測量數據處理，若加之實驗內容偏于原理驗證及工程應用，就必然造成實驗對文科學生來講顯得十分枯燥、乏味. 如再輔之以單一的演示性的教學，施以“填鴨”式的、“說明書”式的、甚至是“手把手”式的教學方式，教學注定是要失敗的，不會達到良好教學效果，這樣做只能導致學生求知欲望的湮滅，主動探索精神的消亡，形成愿意被“填”的慣性，養成懶于思考的“惰性”，這樣的教學過程也無形地占據了本該留給學生獨立思考與實踐的時間和空間，又何談教學過程中注重啟發性、引導性、可探究性及互動性的理念呢！

這些年我們對文科物理實驗教學進行了部分改革，從教學內容的再設計、教學方法的探索等諸多方面進行了嘗試，以期在教學理念上達到如下的轉變：首先要對教學內容從無層次、少思考地設計轉變到注重精心籌劃、有層次、趣味化地設計；其次從僅注重講解、測量、數據處理轉變到注重引導學生注意觀察、分析、歸納與總結，佐以數據處理與分析；從無總結和引申探討的八股文式的報告形式轉到注重撰寫小科技報告、撰寫總結短文，引申討論等靈活形式，以期從多角度考察學生對知識的掌握和應用；教學方法上從死板的教學轉到注重開發內容的趣味性、引人思考的方面，教學形式轉向注重靈活性，增強教學啟發性、開放性、互動性、可探究性方面. 我們體會到，能否激發學生的興趣是實驗教學成敗的關鍵. 顯然有2個層次的問題要解決，首先要使內容設計得有趣，引人入勝，使人思考，還要使教的過程變得生動有趣，記憶深刻.

針對該理念，我們從文科教學軟硬件兩方面專門做了一些改革，開發拓展了傳統的教學內容，開設了新的教學內容以適應文科學生的實驗教學. 其中“樂音研究”就是新開設的實驗，幾輪的教學試點證明，它的開設是成功的. 本文將從實驗目的、所用的儀器與裝置設計、實驗內容及實驗過程的控制等幾個方面展示實驗的設計思想和設計理念，并通過一些學生的反饋展現教學效果.

2實驗目的

該實驗所要到達的目的概括起來主要有5點：1)讓學生觀測樂音間的差異以及與噪音的本質差異；2)研究樂音間(頻率或周期)的關系；3)探究樂音悅耳和諧的原理；4)感受古人之偉大(體驗“三分損益”制管樂器，體驗“十二平均率”)；5)讓學生學會示波器的使用，了解虛擬儀器的應用.

聲音是一種機械振動，它是一種可在特定媒介中傳播的機械波. 而樂音是一種有別于噪音的特殊聲音，它經常是悅耳的，當然可作為一種信號被感知. 它可發自一個腔體，這個腔體可以是動物的喉嚨，也可以來自樂器，如管樂或弦樂器等.

要讓學生看到不同聲音的差別，包括不同樂器發出樂音的音色差異，了解樂音悅耳的原理，理解其組合在一起的和諧原理. 感受分辨這些信息，需要借助聲音探測器(如麥克)以及顯示裝置(如示波器)等. 因此這個實驗的核心目的之一就是讓學生了解示波器的功能并有機會接觸虛擬儀器. 但僅僅了解示波器等裝置是不夠的，其目的之二是借助示波器通過觀察和測量了解樂音和噪音的差異，了解樂音的構成要素，如響度、音色、音調高低、時長與觀測聲音信號的強度、波形、周期和頻率與持續時間等量的對應性. 目的三是研究不同樂音之間的關系. 比如一個有八度差異的高低不同的同一個音的頻率關系，如Do和高音Do，研究一個八度各音階的頻率關系. 目的四是在時域分析之外引入頻域(頻譜)分析的概念，探究樂音悅耳的原理，以及多個特定樂音組合(如和弦)讓人感到和諧動聽的原因. 最后讓學生了解“三分損益”方法來制作發音排簫，以及驗證“十二平均率”，進而讓學生了解音樂與數學的科學關系，體會中國古人對世界音樂文明做出的了不起的貢獻，以期增加學生們興致及民族自豪感和自信心，這是相當重要的.

3實驗儀器與裝置

實驗硬件將由發聲部分、接收部分、顯示分析部分組成.

發聲部分可以是真實樂器(笛簫、小提琴、二胡等)，也可以是電子琴(可以模仿若干種類的音色)；還可以是自制發音腔管，其腔長可調控，如用試管注以不同水位吹響可發出音響，還可以是軟管；可以是自制的帶移動琴碼的單弦琴，其弦可調控松緊控制發聲頻率. 可用聲頻信號發生器將信號經功放后由音箱放出，信號可直接接入后續的接收單元，以顯示與分析信號的特性.

在接收部分，發出的聲音可由麥克接收轉變成電信號，可考慮使用計算機用的微型麥克接入帶聲卡的計算機.

顯示和分析部分的功能可由示波器或計算機來實現. 樂音信號可在時域和頻域被展示出來，即可以得到如波形、強度、主周期或頻率的時域信息，也可以得到頻譜成分強弱分布的頻域信息. 用計算機編制的特殊界面，如LabVIEW界面(其實例見圖1)，可實現樂音的顯示與分析. 我們可以分析錄制的波形文件，也可以直接分析采樣接收即時的聲音信號.

圖1　聲腔(試管)吹出的聲音頻譜分析，主音和泛音(主音的倍頻音)的顯示

總之實驗需要樂器、模擬電子琴、琴弦、腔管、聲頻信號發生器、耳麥、有源音箱、示波器、計算機(配有聲卡和LabVIEW軟件)等硬件設備即可開設該課程.

過去書本中枯燥的示波器的應用實驗被巧妙地融到該實驗之中[3]，同時先進的計算機虛擬儀器技術(用LabVIEW實現)也被學生接觸到了. 事實上學生在實驗中不會再感到枯燥乏味了.

4實驗內容

在教學課件的設計中，不同以往先給出原理，再列出實驗步驟，給出實驗要求和問題討論等講義寫法，為了讓學生感興趣主動思考并查閱知識，在指導書上先預設了若干個引子，之后才提出了一些問題供學生思考，并在適當的位置給出提示和知識點講解，或者先提出適當開放的問題鼓勵學生預習時上網預先查詢，或上課時利用實驗室開放的Wifi環境即時上網，以期讓學生養成了主動查閱知識掌握原理的好習慣，而不是被動地被灌輸知識.

在指導材料的引子中談到了“音樂之神奇”[4]：“提起音樂, 大家都會感受到它的無窮魅力. 有人說‘音樂是一種美妙的宇宙語言’，它能描述出世間萬物傳達出萬種情感，它很容易讓你‘感染’上喜怒悲傷，緊張和放松，讓你體會到雄偉與悲壯，感受到纏綿和無奈，甜美和苦澀；‘它是一只神奇的魔筆’，它能給你以形象，描繪出一個場景，展示出一幅畫卷，讓你‘看到’事物美與丑，剛與柔，它能展示出氣勢的恢弘與凄涼，讓你感受陽光的明媚以及黑暗的陰森和恐怖. 它讓人徘徊在夢幻與現實之間，可給人以壓抑、或者引起亢奮、亦或是緊張感，它也會給人以無盡的向上力量……. 音樂是個樂音的集合體，它發自不同樂器和我們喉嚨，不同高低、不同強弱、不同時長的樂音按著一定順序如詩一般的流淌. 有時它可以是涓涓溪流，有時它可以是奔騰怒吼的大江. 那音樂的魅力到底來自何處?……”. 我們相信這樣就敘述就比較適于引導學生以自然的非生硬有文彩的方式接觸實驗專題.

在小知識點提示里，我們談到了畢達哥拉斯，談到了數學與音樂的和諧，談到了信號的頻譜理論，談到傅里葉和亥姆霍茲在物理學和生物醫學方面對音樂的貢獻[5-6]，談到了中國古人在音樂方面對世界文明的偉大貢獻，談到了“五度相生律”和“十二平均律”，談到了《管子》和《呂氏春秋》中記載過的用“三分損益法”來生樂音制蕭事情，我們也給出了特定音調的一個八度音程內各個音符的頻率定義，進而為后續學生測量樂器發出音響的音準和比較各音的關系埋下伏筆.

如談及中國古代的“三分損益法”發明：“中國春秋戰國時期的《管子》、《呂氏春秋》記載過古人研究過如何用此法制備竹管樂器[4，7]. 他們以一根長約8寸的發音竹管為標準，記為‘黃鐘’音(相當于Do)，再截取長約為其2/3(長約5.2寸)的另一竹管，可以吹出另一個高五度的音，記為‘林鐘’(相當于Sol)，再將這5.2寸的竹管接上其1/3對應長度約7寸的竹管吹響可以得到比‘林鐘’低四度‘太簇’音(相當于Re)，如此循環操作，做1/3比例的‘損’和‘益’，便可以得到在一個八度內幾乎所有樂音(Do，Re，Mi，Fa，……)”.

上課時給出“三分損益法”示意圖(原理見圖2)，從中可讓學生總結出各個音的近小整數比關系，因為學生知道管長決定樂音頻率的道理. 從而引起學生對多樂音組合(如和弦)和諧動聽的理解或猜想，并為指導學生后續自制排簫奠定原理基礎.

圖2　“三分損益法”生樂音原理圖

5教學過程控制

先學會示波器的使用，如通過了解已知頻率的周期信號如何在示波器上正確顯示的過程，讓學生學會如何使信號穩定，并能得到如信號幅度、周期，進而得到頻率等信息，并和信號源顯示的信息(或已選好的頻率值)對照，以期增加學生的自信心.

讓學生觀察由樂器產生的樂音信號在示波器上的形態，首先了解到了樂音的(準)周期性，讓學生看到不同樂器音色在波形上體現出的差別，讓學生看到樂音的長短和時間上的穩定對顯示難易的差別. 學生很容易分辨出管樂(如長笛)與弦樂(如小提琴)的樂音信號波形的持續穩定性，以及鍵盤樂器(如鋼琴)的聲音的脈沖特性，同時看到了各種樂器波形(偏離正弦波)的非對稱性或不規則性，進而適時引出頻譜成分的概念.

針對管腔發音的結構，如可吹響的試管或豎笛，研究樂音的組成，讓學生看到它實際是由一套純音(單一頻率正弦波)按比例組合而成的，一般被稱之為主音(principal tone)與泛音(overtone)的組合，又被稱為與倍頻音(multiplied tones)或諧音(harmonic tones)的組合，了解主音和泛音之間的頻率成倍關系，進而理解為何越“純凈”的音越好聽的道理. 也引申出傅里葉頻譜分析與合成的原理，以及了解亥姆霍茲是怎樣通過研究樂音的成分與相互作用開創性地研究樂音對人類生理與心理施加影響的.

可讓學生先用注水的方式得到有不同空氣柱高度的試管，然后吹出八度音階，分別比較其(主音)間的頻率關系.

適時引出自行設計的適宜頻域分析的LabVIEW界面，對發出的聲音觀察頻域上的頻譜特征. 可故意制造噪音，觀察其頻譜形態，然后可用試管發聲比較前后信號的頻譜變化，進而佐證為何純音好聽的說法. 再觀察單弦拉動和吹試管所發聲音的頻譜特點，進而總結出倍頻關系，從而聯想到固定長度的腔或弦共振時可支持多種可能頻率波的駐波的物理原理解釋.

可讓學生由塑料吸管制作發音簧片，研究其前端預留長度與可吹出音的高低關系；可研究笛子或簫的孔的排布位置，以及放開和按住哪些孔組合對發出聲音高與低的影響；可研究和弦和諧原理，如Do，Me，Sol構成的大三和弦的和諧道理，讓學生發現其單獨各個音倍頻之間周期性重疊的關系；由Do，Me和Re，Ti 4個音彈奏樂段，讓學生感受貝多芬“命運交響曲”引起的從快樂到壓抑的情緒產生的原理.

6教學效果與學生反饋

事實證明，此次教改是成功的，學生熱情高漲，爭搶著選擇上“樂音研究”實驗，甚至不顧有否成績也要旁聽. 教學效果極好，學生受益頗多. 從抽取的部分學生反饋意見中也能看到這些.

有學生在報告后寫到：“我以前聽音樂，只是出于對音樂的那種動人的感覺，并未意識到其背后與頻率的關系，雖然小的時候，也會用藥瓶子加些水吹出一些簡單的音，但并未深入地了解過背后所蘊藏的科學原理. 和諧之音其實就是在人耳可聽到的范圍內，幾個單音的公共頻率越多，那聲音就更和諧. 而噪音則是由太多頻率不同的音，尤其是相位無規律的音合起來的音，這樣無規律的組合使聲音變得噪. 音階也是如此，音調的高度與頻率跨度的關系，仿佛是種巧合卻又是種必然，讓人越發地感到科學的神秘力量和魅力. 我們可以利用頻率不同的單音，制造出更美妙的和弦，這一藝術與科學的結合是如此神奇，而又如此美妙……”

另一位學生寫到：“今天我‘看見了’樂音！我一直很喜歡音樂，初中的時候也了解了樂音的本質是機械波，可它是書本上的知識，沒有親手實踐過，這次實驗對我的沖擊很大. 第一次使用示波器(以前只見過插圖)，在老師的指導下我看到了一列列的正弦波，它們就是能陶冶情操的音樂呀！和信號源的組合，我看到了一個個的李薩如圖形在顯示屏上變化，十分有趣. 老師還以“命運交響曲”為例講了和弦伴音的秘密，我聽得很入神. 不僅老師講，我還親自實踐自己造琴，在同學的幫助下我完成了對琴的測量，很有成就感. 發現實驗原來也可以這樣做，好奇什么就做什么，不懂什么就自己探索，十分開放、引人探索，只是一節課時間太短，關于樂音也只是了解了初步，音樂不僅是音樂，還是物理，還是數學，音樂的美使我看到了數理的美……”.

7結束語

新開設實驗的成功與教學目的把握、教學理念的正確建立、具體實驗內容的精心再設計、實驗教學過程的精確把控、教學各種技巧的靈活使用等各環節密不可分. 其中學生興趣的提升與保持是教學成敗的至關重要的因素之一. 這要求設計者和任課教師，既要有扎實的專業功底，還要有對事物的敏銳洞察力及寬泛的知識面，兼有融會貫通的能力.

參考文獻：

[1]方興安,胡建華. 文科大學物理實驗開設的實踐與思考[J]. 物理實驗，2004，24(7):21-23.

[2]馬世紅,童培雄,趙在忠. 文科物理實驗[M]. 北京：高等教育出版社,2007.

[3]耿完楨,趙海發,金恩培，等. 大學物理實驗[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社,2008.

[4]蔡天方，佘守憲. 簡單與和諧——談談樂音、音程與和弦[J]. 現代物理知識,2001，13(6)：3-7.

[5]Parker B. Good vibrations-the physics of music[M]. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2009.

[6]Fauvel J, Flood R， Wilson R. Music and mathematics:from pythagoras to fractals [M]. Oxford: Oxford University Press, 2006.

[7]戴念祖.“三分損益法”的起源[J]. 自然科學史研究，1992，11(4)：325-332.

[責任編輯：尹冬梅]

Let the students feel the beauty of music in view of physics and mathematics: Design and implementation of physics experiment for liberal arts students via study on musical sounds

LI Jun-qing， LIU Jian-long， FANG Guang-yu， LIN Shan， ZHAO Hai-fa

(Department of Physics，Harbin Institute of Technology， Harbin 150001, China)

Abstract:Based on the practices of a new course “study on the musical sounds” in university physics experiments for the liberal arts students, this paper emphasized the design philosophy, goals and design method. This interesting course could help the students to differentiate noise and musical sounds, be familiar with the characteristics of musical sound as a special mechanical vibration in time and frequency domain, understand the principle of harmony and consonance of its sounding pleasing to the ear, master the usage of oscilloscope and LabVIEW by showing the frequency relation among the musical notes, summarize and deduce the law of the twelve-tone equal temperament, and finally construct an panpipes by using the addition or subtraction method of one-third. By this experiment, students could experience the scientific principle of physics and mathematics behind the musical sounds.

Key words:musical sound; noise; oscilloscope; LabVIEW

中圖分類號：G642.423

文獻標識碼：A

文章編號：1005-4642(2015)02-0018-05

作者簡介：李俊慶(1963-)，男，黑龍江哈爾濱人，哈爾濱工業大學物理系教授，博士，從事物理光學及物理實驗教學與研究.

收稿日期：2014-05-04；修改日期：2014-07-18

“第8屆全國高等學校物理實驗教學研討會”論文

資助項目：黑龍江省高等教育教學改革項目(No.JG2012010151);“985工程”哈爾濱工業大學本科生2014教學改革建設項目(No.HITBKJG2014-phys)