材料力學(xué)課程教學(xué)中的幾個(gè)極值問(wèn)題

戴京濤++夏毅銳++孫海霞

摘 要：極值問(wèn)題是材料力學(xué)課程教學(xué)中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。本文對(duì)材料力學(xué)課程教學(xué)中的幾個(gè)極值問(wèn)題進(jìn)行了分析和研究。研究表明，空心圓軸抗扭截面系數(shù)是其外徑的單調(diào)函數(shù)，外徑越大，其抗扭截面系數(shù)就越大；對(duì)于某些截面來(lái)說(shuō)，截去部分材料反而會(huì)使整個(gè)結(jié)構(gòu)的抗彎能力增強(qiáng)；工程上常見(jiàn)的只承受集中載荷的雙向彎曲梁的最大的彎矩只會(huì)出現(xiàn)在集中力作用的截面。教學(xué)實(shí)踐表明，利用學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)物理知識(shí)推導(dǎo)力學(xué)理論和公式，并將這些理論和公式結(jié)合工程實(shí)際進(jìn)行分析，能夠有效地激發(fā)和提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，取得良好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：材料力學(xué) 課程教學(xué) 極值

中圖分類號(hào)：TB301 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）12（c）-0233-02

《材料力學(xué)》作為一門(mén)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，在機(jī)械、機(jī)電等專業(yè)的課程體系中占有重要地位。但由于這門(mén)課概念、定理、公式較多，理論抽象，學(xué)生學(xué)起來(lái)較為吃力。因此，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生輕松學(xué)好力學(xué)，是力學(xué)教學(xué)的當(dāng)務(wù)之急。極值問(wèn)題是材料力學(xué)課程教學(xué)中經(jīng)常遇到的問(wèn)題，圍繞極值問(wèn)題的推導(dǎo)與分析，充分展現(xiàn)問(wèn)題中的力學(xué)之美，能夠有效激發(fā)和提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。下面就材料力學(xué)中的幾個(gè)極值問(wèn)題進(jìn)行討論。

1 面積一定的空心圓截面抗扭截面系數(shù)最大值問(wèn)題

任意截面極慣性矩的定義式[1]為：。顯然，對(duì)于面積固定的空心圓軸來(lái)說(shuō)，外徑D越大，其極慣性就越大。空心圓截面的抗扭截面系數(shù)表達(dá)式為：。從這一定義式看，對(duì)于面積固定的空心圓截面來(lái)說(shuō)，雖然Ip會(huì)隨著外徑D的增大而增大，但從整個(gè)表達(dá)式看，其抗扭截面系數(shù)不一定增大，關(guān)鍵問(wèn)題是看Ip增加得快還是D增加的快。對(duì)于空心軸，，式中：，為內(nèi)外徑之比。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在面積一定的條件下，也就是：（C>0，常數(shù)）條件下，求函數(shù)的極值問(wèn)題。易解得：上式求導(dǎo)得：。

也就是說(shuō)Wt是關(guān)于D的單調(diào)增函數(shù)，所以Wt隨著外徑D增大而增大。當(dāng)然，在截面面積一定的情況下，隨著外徑的增大，圓筒壁厚會(huì)越來(lái)越小，當(dāng)小到一定程度后，空心圓軸的破壞將不再是強(qiáng)度問(wèn)題，而是薄壁圓筒受扭失穩(wěn)問(wèn)題。

2 圓截面的最大抗彎截面系數(shù)

如圖1（a）所示，半徑為r的圓形橫截面，切掉畫(huà)陰影線的部分后，抗彎截面系數(shù)會(huì)如何變化？這樣做對(duì)梁的抗彎剛度又會(huì)有哪些影響呢？

由圖1（b）可以看出，切掉陰影線部分后剩余的面積，是由4個(gè)相同的直角三角形面積和4個(gè)相同的扇形面積之和，一個(gè)直角三角形面積對(duì)水平直徑的慣性矩為：

一個(gè)扇形面積對(duì)水平直徑的慣性矩為：

因?yàn)閳A截面在中性軸附近聚集了較多的材料，而離中性軸遠(yuǎn)處的材料卻較少。當(dāng)切掉適當(dāng)?shù)男」蚊娣e后，使之離中性軸遠(yuǎn)處的材料密集度增大，這樣抗彎截面系數(shù)必增大。

被切去陰影部分后，剩余面積對(duì)水平直徑的慣性矩：

抗彎截面系數(shù)Wx：

顯然，抗彎截面系數(shù)是α的函數(shù)。Wx取得極值時(shí)，Wx對(duì)α的一階導(dǎo)數(shù)為零，則有：

=0

解以上方程得兩個(gè)解（由于上述方程為超越方程，所以只能進(jìn)行數(shù)值求解）：（無(wú)意義，舍去）或，抗彎截面系數(shù)Wx達(dá)到最大值：，此時(shí)。而未切前：，。

從以上比較可知切后抗彎截面系數(shù)增大，而抗彎剛度降低，因而使梁的抗斷裂能力提高，抗彎曲變形能力降低。

通過(guò)以上問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：對(duì)某些截面來(lái)說(shuō)，截去部分材料反而會(huì)使整個(gè)結(jié)構(gòu)的抗彎能力增強(qiáng)。

在工程實(shí)際中，對(duì)于截面上、下端較小的截面，諸如圓形、三角形等截面，都可在截面的上、下端適當(dāng)?shù)亟厝ヒ恍〔糠郑栽龃蠼孛娴膹澢孛嫦禂?shù)，提高梁的彎曲強(qiáng)度。但彎曲截面系數(shù)增大的比例有多大，是否有實(shí)際意義，還應(yīng)根據(jù)不同形狀的截面區(qū)別對(duì)待。對(duì)圓形截面，截面系數(shù)只增大了0.6%，工程意義不大[2，3]。

3 僅作用集中力情況下雙向彎曲梁的最大彎矩截面的確定

雙向彎曲中，水平和鉛垂面內(nèi)同時(shí)發(fā)生彎曲變形，并在軸上產(chǎn)生彎矩My和Mz。對(duì)于傳動(dòng)軸來(lái)說(shuō)，如果要對(duì)其強(qiáng)度進(jìn)行校核，首先需要找到其危險(xiǎn)截面，即要確定出最大彎矩所在的截面。

如圖2所示，對(duì)于AB段，My和Mz曲線均為過(guò)原點(diǎn)的直線，則：

，

顯然合彎矩M是x的一次函數(shù)，M為直線。同理可證DB段彎矩圖也是直線。這種情況下，梁的最大彎矩值只能出現(xiàn)在直線的兩端。

CD段My和Mz一個(gè)為單調(diào)增加函數(shù)，另一個(gè)為單調(diào)減少函數(shù)，如圖所示。顯然，僅僅通過(guò)合彎矩函數(shù)的表達(dá)式無(wú)法直接判斷出最大彎矩值發(fā)生在CD段的哪個(gè)位置。

第一種推導(dǎo)方法：

，

合彎矩：

由上式可見(jiàn)：，所以該段合彎矩圖為凹曲線。因此，該段最大彎矩發(fā)生在閉區(qū)間[C，D]的兩端點(diǎn)處，亦即危險(xiǎn)截面為集中力所在的截面。

第二種推導(dǎo)方法：

顯然，合彎矩圖為雙曲線。由上式可得：

上式中的常數(shù)項(xiàng)：

則有：

這說(shuō)明合彎矩的雙曲線的焦點(diǎn)位于豎直方向，且曲線開(kāi)口向上。所以，該段最大彎矩發(fā)生在閉區(qū)間[C，D]的兩端點(diǎn)處，亦即危險(xiǎn)截面為集中力所在的截面。

經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，利用學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)物理知識(shí)推導(dǎo)力學(xué)理論和公式，并將這些理論和公式結(jié)合工程實(shí)際進(jìn)行分析，能夠有效地激發(fā)和提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，取得良好的教學(xué)效果。材料力學(xué)是一門(mén)藝術(shù)，它給學(xué)生以知識(shí)、以思考、以享受、以探討奧妙的興趣。因而，值得每一位力學(xué)教師認(rèn)真研究，反復(fù)推敲，并巧妙應(yīng)用于教學(xué)實(shí)踐，讓學(xué)生好學(xué)、學(xué)好材料力學(xué)。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉鴻文.材料力學(xué)[M].北京：3版.高等教育出版社，1992.

[2] 孫訓(xùn)方，方孝淑，關(guān)來(lái)泰.材料力學(xué)[M].5版北京：高等教育出版社，2009.

[3] 范欽珊.材料力學(xué)[M].2版.北京：高等教育出版社，2005.endprint