數學教學設計的新視角

數學教學設計的評價標準的維度非常多，但其中依據學生的認知方式是其最為重要的標準之一。只有依據學生認知方式的教學設計才可能是有效的，才能實現數學課程目標，因而，教師要充分理解具體的學生發生具體的數學知識的心理活動環節，以此依據適應學生的認知方式展開數學教學設計。

認知方式 數學教學 教學設計

數學教學設計是一項結構系統性的整體工程，它的構成要素體現于互相關聯的三個側面：理解所要傳授的具體數學知識所呈現的環節及其聯結中介的組成序列（簡稱“教材分析”）；把握學生生成數學知識環節及其聯結中介的心理活動環節及其過渡性中介（簡稱“學情分析”）；通過創造性工作找到關聯這兩方面組成環節之間的切合點（可以溝通的元素），實現兩者之間的貫通（簡稱“關聯分析”）（如框架圖1所示[1]）。本文主要探討適應學生認知方式的數學教學設計的實現途徑。

圖1 數學教學設計環節框架圖

一、發生數學知識認知方式的涵義

學習心理學將認知方式與認知風格等價。施良方先生寫道，認知風格這一術語，一般用來描述學生加工信息（包括接受、儲存、轉化、提取和使用信息）時習慣采用的不同方式[2]?！冬F代漢語詞典》（商務印書館，第五版）將“方式”釋義為“談話做事所采取的方法和形式”，由此，我們可以將認知方式界定為，主體發生認識所采用的方法和形式。認知方式具有三項特征：1.它們是學生學習時發生心理活動環節的理智傾向性；2.它們所描述的是那些在時間上相對穩定的過程；3.學生在完成類似的任務時始終表現出這種穩定性。

不同的人的認知方式可能處于兩個極端，但是，認知方式沒有先進與落后之分。例如，有些人偏于求異思維的認知方式，另一些人偏于求同思維的認知方式，對此，我們不能說哪一種就好些，因為，某些問題的解決可能求異思維好些，另一些問題的解決可能求同思維要好些。大多數人在不同情況下，會從多種不同的認知方式中選擇某種來解決他面對的有特定性質的問題。

在數學教學設計中，教師需要特別注意學生發生具體數學知識時的特定認知方式。教師只有把握學生的數學認知方式，才能由此模擬學生在特定認知方式發生作用時的心理活動途徑來設計出合適的發生數學知識的教學流程，才能通過教學活動的實現優化原有的或構建新的認知方式，進而幫助學生生成更有活力的數學知識結構，從而有效地將發生具體知識時生成的數學活動基本經驗與認知方式遷移到應對新的問題情境中去。

學生是學習的主體。教師只有準確地認識、把握與辨別學生運用某種認知方式發生特定數學知識的有效性程度是高、還是低的，萌生的數學觀念是清晰正確、還是模糊錯誤的，取得的數學活動經驗是成熟、還是素樸的等，在教學設計時才能揚長避短，針對學生發生數學知識的心理環節及其過渡性的中介，選擇適宜的教學策略，設計有效的教學流程，促進學生正確理解所要學習的內容，生成具有活力的、動態的數學活動基本經驗等。

學生的認知方式的標識包括：學生學習數學知識是容易的、還是困難的；學生在哪種層次（如是素樸的生活概念層次、還是規范的數學概念層次等）上發生并理解數學知識；發生數學知識的心理環節轉、承、啟、合的大致路徑中哪些是接近正確的運行程式，哪些是典型錯誤的運行方式；是什么使學生學習具體數學知識產生了困難、或產生了錯誤理解等。教師據此進行教學設計才具有針對性，從而提高教學效率，對于學生容易理解的內容就可以少講、甚至讓學生自學，難于理解或容易造成誤解的內容要進行更為精致的教學設計。

學生的認知方式不是先天的、惟一的，而是在實踐中建構、發展與完善起來的，這為發揮知識不同層級教育價值提供了發生學上的依據，也是教學設計存在的關鍵依據。在具體數學知識的教學設計時，學生發生數學知識的途徑決定著學生認知方式的優化或生成，從而決定了數學知識的不同等級層次的教育價值。如果數學知識的教育價值總是客觀的、僵死不變的，那就沒有必要研究學生認知方式，也沒有必要進行教學設計。

因此，有的教學設計發生知識可能離學生合適的認知方式近些，有的可能遠些，從而對優化學生認知方式的效果會大相徑庭；有的教學設計針對學生的具體認知方式可能更為合理些因而更有價值些，它有利于促進學生形成更具活力、更具適應性的認知方式，也有利于萌生優秀的心理品質，反之，就會阻礙這些實現。在具體數學知識的教學設計中，教師應做好預判發生數學知識的基本條件：學生在發生知識之前，需要產生學習動機，形成學習心向；在知識發生過程中，需要提供動力，維持認知活動的延伸；在知識發生之后，需要引導學生通過反思感悟自己的認知方式有效性發生的條件，以利于認知方式遷移到新情境中去。

二、例示適應學生發生數學知識認知方式的教學設計

教師分析與選擇學生發生數學知識的認知方式進行教學活動的取向在于：是否有利于學生正確理解數學知識而避免錯誤理解，是否有利于學生激活原有的數學知識的活力，是否有利于為學生發生新數學知識起到鋪墊或導引作用，是否有利于學生將素樸的數學概念轉化為規范的數學概念，是否有利于加強學生所學的新數學知識與原有的數學知識間的聯系，是否有利于促進學生將剛剛學習所掌握的數學知識運用到新的問題情境中去，是否有利于學生在問題解決過程中的思維活動的展開與維持，等等。

例1已知：如圖2，在△ABC中，∠ADC=∠BAC。求證：∠CAD=∠CBA。

教師甲一節課共講了四道題，時間有富余。他對例1作了簡要的分析，然后規范性地板書了證明，實錄他的分析過程如下。

要證明∠CAD=∠CBA，因為∠ADC=∠CBA+∠BAD，∠BAC=∠CAD+∠BAD，由∠BAD為公共角，希望證明∠ADC=∠BAC，這正是已知。

教師乙一節課只講了這道題，時間較緊迫。將其課堂教學設計的主要片段比較詳細地實錄如下（說明，下文的省略號表示學生思維環節中斷之處）。

師：請用不同標識在圖2中標示出所求結論與已知條件中各存在的一對相等角。

生1：在圖3中，已知條件∠ADC=∠BAC中的∠BAC被AD分割開來，圖形的覆蓋影響了探索問題的思路。首先解決覆蓋問題，使我們容易看清圖形本質，……

師：這是一個好建議！大家動手試一試。

學生活動：首先把圖3中的△ADC平移出來，得到了圖3與圖5，其次，根據已知條件∠ADC=∠BAC①和要證明的結論∠CAD=∠CBA②，把圖4變換成圖5的位置形態。學生成功地運用標識標示出圖3中的兩對相等角，即①，②兩個等式。

師：大家做得非常好！請對比圖4與圖5，有新發現嗎？

生2：比較圖4和圖5中的這兩個三角形之間角的關系可得（教師精心設計板書）：

已知條件是∠ADC=∠BAC①，

所求結論是∠CAD=∠CBA②，

還有公共角∠ACD=∠BCA③。

這三個等式中，①和③成立，②是求證的結論，應該成立。……

生3：應用“三角形的內角和等于180°”，……

生4：①，②，③三個等式的左邊的三個角是△DAC的三個內角，右邊的三個角是△ABC的三個內角。于是，我們把這三個角的等式左、右兩邊分別相加就得到了這兩個三角形各自的內角和，都等于180°，即

∠DAC+∠ADC+∠DCA=180°，

∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，……

生5：兩個等式的右邊相等（180°），知∠DAC+∠ADC+∠DCA=∠ABC+∠BAC+∠ACB④。將④的左、右兩邊分別對應地減去①與③的左、右兩邊，就可得到②成立[3]。

三、適應學生認知方式的教學設計結果分析

教師的教學設計要遵循不拂逆學生思考某一問題時心理活動展開的路徑，即充分理解認識學生展開自己的認知方式，做到因勢利導；即使在學生思維走勢的分叉口，也不能輕易地告知學生思維延伸的標志物，而是啟發學生自己去發現某種標志。這種啟發的過程，不一定就是教師將自己的思考擺在學生面前，而是通過選擇學生經由活動已經生成的材料，選擇恰如其分的表征形式表征這些材料，學生感受這種表征形式，從中得到啟發，促進自己思維的延伸。通過如此教學設計，使學生充分認識到自己內在能力的發揮，從而形成情感體驗。

教師甲的教學設計基于平面幾何證明的邏輯過程的認知方式，它的特點是洗盡鉛華、褪去塵滓，簡練到一塵不染。但是，按巴洛的觀點，邏輯性是由對事物的內在秩序的猜測所組成的——但只有當確實有一種明確無誤的內在秩序可作猜測時。我們打一個比方，邏輯的過程仿佛已經淘去砂粒而留下金子，而不把淘沙那種艱難的過程展示在琳瑯滿目的黃金展示臺上。邏輯是論題的一種屬性而非精神過程的屬性，也即猜測不論在心算中還是在創造性思維中都是最本質的東西[4]。證明的表達已經將發現這一邏輯過程的種種心理猜想活動的曲折過程略而不計，我們讀下去很可能感到某種令人信服的力量，但是，可能不知道我們自己是否也可以獲得這種說服他人的力量。

因此，教師甲的這種教學設計，只是將自己組織題設條件信息的精致結果告訴了學生，至于這種結果是如何得來的，大多數學生可能不得而知。這種教學設計的缺陷就在于教師甲沒有通過學情分析，充分認識與理解學生發生這一證明邏輯過程的認知方式。其實，除了少數學生，絕大多數學生不可能立即就想到∠ADC=∠CBA+∠BAD，∠BAC=∠CAD+∠BAD這兩個等式，教師估計學生的認知方式的主要支點就是追問這兩個等式是如何從心理上產生的。

事實上，教師甲幾乎沒有考慮學生發生數學知識的心理活動環節，遑論對知識脈絡與學生心理線索聯結過程的思考。他只是將自己的發現思路整理成了精致的邏輯過程，在課堂上將這一過程展示給了學生，學生可以讀懂這一過程，但是，必須要有記憶的幫助代償了這一尋找的過程。艾芙·居禮說，“第一句叫學生記憶意義不明的知識，或者第一件叫他盲從地接受而不讓他理解其意義的事物，就是毀滅學生理解力與判斷力的開始?！盵5]如此，教師甲的這種設計不可能實現數學新課程所設計的目標，也很難發揮數學知識的教育價值。

教師乙的教學設計充分利用平面圖形的直觀性、可操作性，通過要求學生從標識“圖3中的兩對相等的角”出發，鼓勵學生對題設條件信息進行有序觀察、比較，啟發學生對圖形進行操作、變換與定位，幫助學生利用圖形中已知明確的兩項信息①、②組構成“支點式”信息。再由圖形直觀生成外圍信息③，“支點式”信息①、②與外圍信息③組構成了信息結構輪廓（教師乙用非常合適的表征突出了它），學生由此確定了知識框架。從教學過程中發現，這不是一件容易的事，是經過許多學生的接力思考與不懈努力，對信息不斷地發掘與調整而得到。如此，學生對解決問題時如何確定這個知識框架體驗深刻，必將生成深度數學經驗[6]。

對教師乙設計的這一整套過程，我們聽課者為之動容。這奠基于教師乙透徹理解學生發生知識的心理環節，特別是誘導學生萌生關聯分散信息的心理動力的設計與執行，令人拍手叫絕！通過恰如其分的板書設計（傳統媒體：黑板與粉筆），得到有利于學生思維發揮作用的表征形式的提示——板書等式①、②、③成規則形態的排列很有效值，它恰到好處地幫助學生生成了信息結構輪廓。這些看上去似乎是教師乙的不經意行為，其實正是他匠心獨運之處，充分展示了他的教學設計能力，從而誘發學生萌生信息關聯的內在動力，生發了完形心理內驅力（“格式塔”的經典理論[2]），引導學生運用“三角形內角和定理”完滿地解決了問題。

教師乙嚴格還原學生發生知識的心理環節，依據學生的認知方式，在此基礎上，將這道題的證明思路發現過程的主體部分放手交給學生，讓學生自己去做，使他們探究問題的各種手段都得到充分地發揮，利用學生通過自己的操作、觀察、比較、類比、聯想、想象與思維等要素的展開認識活動。教師通過設計合適的表征形式表征學生生成對形成問題思路有價值的材料（教師經由選擇），由此表征提示學生思維延伸的方向與走勢，而不是將思維前進的可借助的條件材料直接奉獻給學生。

教師甲沒有充分尊重學生，利用學生的認知方式展開思維過程；教師乙充分依據學生的認知方式，在證明思路的發現中，步步按照學生思維展開路徑的提示。從這個例子中，盡管沒有某種意義上的標準，我們還是可以感受到，教師乙的設計優于教師甲的設計。

數學教學所要傳授的知識相對固定（其最低限度已經寫入課程標準）。但是，通過何種方式來傳授這種已經設定了的知識，卻隨著教師的教學理念不同，預設的教學目標不同，持有的教學觀念不同，獲得的教學經驗不同，理解特定數學知識性質不同，揣摩發生特定知識的學生認知方式不同，估計發生知識時學生現場心理活動意向不同，存在多種選擇。不同的教學設計對發揮數學知識的教育價值、促進學生素質發展的結果迥然有別。在不同理念指導下的教學設計中，適應學生認知方式的教學設計是一種基礎性的要求。

參考文獻

[1] 張昆，曹一鳴.完善數學教師教學行為的實現途徑[J].數學教育學報，2014（3）.

[2] 施良方.學習論·學習心理學的理論與原理[M].北京：人民教育出版社，1994.

[3] 張昆.整合數學教學設計的取向：基于知識發生的邏輯取向與心理取向研究[J].中國教育學刊，2011（6）.

[4] [美]威廉·卡爾文.大腦如何思維：智力演化的今昔[M].楊雄里，梁培基，譯.上海：上?？茖W技術出版社，1996.

[5] [法]艾芙·居禮.居禮夫人傳[M].左明徹，譯.北京：商務印書館，1980.

[6] 張昆.高考答卷惜時如金：問題與出路[J].數學通報，2011（1）.

【責任編輯 郭振玲】