基于空間可能度的區(qū)間粗糙數(shù)多屬性決策方法

張芳馨，呂躍進(jìn)（.廣西大學(xué)　電氣工程學(xué)院，廣西　南寧　530004；.廣西大學(xué)　數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院）

基于空間可能度的區(qū)間粗糙數(shù)多屬性決策方法

張芳馨1，呂躍進(jìn)2
（1.廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院，廣西南寧530004；2.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院）

摘要：首先利用二維直角坐標(biāo)系定義了一種區(qū)間粗糙數(shù)的空間可能度，說(shuō)明了其幾何意義并證明了相關(guān)的性質(zhì).該定義全面直觀地比較了兩個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)的大小，并準(zhǔn)確地將區(qū)間粗糙數(shù)的大小比較轉(zhuǎn)化為區(qū)間數(shù)可能度的計(jì)算.其次給出了一種基于空間可能度的區(qū)間粗糙數(shù)多屬性決策方法.最后通過(guò)實(shí)例說(shuō)明該方法的有效性與實(shí)用性.

關(guān)鍵詞：區(qū)間粗糙數(shù)；空間可能度；多屬性決策；二維空間

多屬性決策是考慮在多個(gè)屬性或指標(biāo)下，從多個(gè)備選方案中選出最佳方案或?qū)溥x方案進(jìn)行優(yōu)劣排序的決策問(wèn)題.多屬性決策是決策科學(xué)的重要方法之一，其可應(yīng)用在投資決策、評(píng)估項(xiàng)目、工程選址、部門(mén)綜合評(píng)價(jià)等諸多領(lǐng)域及項(xiàng)目中.由于事物都存在著人為的或客觀的不確定性，因此不確定理論具有極大的學(xué)術(shù)價(jià)值及發(fā)展前景，近年來(lái)，對(duì)不確定信息問(wèn)題的處理也引起了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注.在多屬性決策中，有時(shí)屬性值的信息難以用確切的數(shù)值[1]來(lái)表達(dá)，文獻(xiàn)[1-3]中的屬性值用區(qū)間數(shù)來(lái)表示，直覺(jué)模糊數(shù)[4]、區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)[5]、三角模糊數(shù)[6，7]、梯形模糊數(shù)[8，9]等也都曾被當(dāng)做屬性值的不確定形式給出.區(qū)間粗糙數(shù)是一種不確定型數(shù)值的表達(dá)方式，通過(guò)給定上近似和下近似的區(qū)間值，確定數(shù)值的最大范圍和最可能范圍，最大程度地保留了完整的數(shù)值信息.這種形式的屬性值可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)計(jì)算得到.區(qū)間粗糙數(shù)將信息控制在一個(gè)大區(qū)間的同時(shí)，又以極大的概率屬于一個(gè)小區(qū)間中，將可用信息充分利用.2010年曾玲等首先給出屬性值為區(qū)間粗糙數(shù)的基本定義及運(yùn)算法則，并構(gòu)建了優(yōu)先序信息的多屬性決策模型.文獻(xiàn)[11]給出了基于理想點(diǎn)的區(qū)間粗糙數(shù)比較方法，但其比較公式實(shí)際意義有所不足，文獻(xiàn)[12]給出了基于可能度的區(qū)間粗糙數(shù)比較方法，但其可能度公式并沒(méi)有給出理論依據(jù).本文針對(duì)屬性值為區(qū)間粗糙數(shù)的多屬性決策問(wèn)題進(jìn)行了研究，首先利用二維直角坐標(biāo)系，定義了區(qū)間粗糙數(shù)的空間可能度，根據(jù)區(qū)間粗糙數(shù)落入不同區(qū)間的概率不同，全面的考慮了任意情況下區(qū)間粗糙數(shù)的大小.然后針對(duì)屬性值為區(qū)間粗糙數(shù)，屬性權(quán)重已知情況，給出了一種基于空間可能度的排序方法，并購(gòu)建立以此為基礎(chǔ)的多屬性決策模型，使其具有可行性及有效性.

1　基本概念

定義1[10]區(qū)間粗糙數(shù)是下近似和上近似均為區(qū)間的粗糙集，記為（[a，b]，[c，d]），其中c≤a≤b≤d.

定義2[10]設(shè)ξi=（[ai，bi]，[ci，di])（i=1，2)為兩個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)，k為實(shí)數(shù)，則有

定義3[10]設(shè)ξ=（[a，b]，[c，d])為區(qū)間粗糙數(shù)，則ξi的期望值為

定義4[10]設(shè)ξi=（[ai，bi]，[ci，di])（i=1，2)為兩個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)，則它們的相離度定義為

2　區(qū)間粗糙數(shù)的空間可能度定義

區(qū)間粗糙數(shù)可以看做一種特殊的區(qū)間數(shù)，目前諸多文獻(xiàn)都給出了關(guān)于區(qū)間數(shù)的比較方法，文獻(xiàn)[13]根據(jù)二維空間給出區(qū)間數(shù)的可能度公式如下.

定義5[13]設(shè)區(qū)間數(shù)a=[a-，a+]和區(qū)間數(shù)b=[b-，b+]，則a≥b的可能度P（a≥b)的定義為

利用定義5，本文構(gòu)造了區(qū)間粗糙數(shù)的空間可能度.根據(jù)區(qū)間粗糙數(shù)的基本定義，可知區(qū)間粗糙數(shù)ξ=（[a，b]，[c，d])只可能在區(qū)間[c，d]中，在區(qū)間[a，b]中是一定可接受的，故設(shè)定ξ=（[a，b]，[c，d])落入?yún)^(qū)間[c，a]概率為λ1，落入?yún)^(qū)間[a，b]的概率為λ2，落入?yún)^(qū)間[b，d]的概率為λ3，且滿足λ1+λ2+λ3=1，其中λ2≥0.6.

定義6設(shè)區(qū)間粗糙數(shù)ξ1=（[a1，b1]，[c1，d1])與ξ2=（[a2，b2]，[c2， d2])，則稱(chēng)為ξ1≥ξ2的空間可能度，其定義為：

a1，b1，c1，d1，a2，b2，c2，d2將ξ1與ξ2圍成的矩形分割成9個(gè)部分，如圖2-1所示.其中S1為以（c1，c2)，（c1，a2)，（a1，c2)和（a1，a2)為頂點(diǎn)的矩形的面積，其幾何意義為ξ1=（[a1，b1]，[c1，d1])落入[c1，a1]時(shí)，同時(shí)ξ2=（[a2，b2]，[c2，d2])也落入[c2，a2]，在此概率下ξ1與ξ2所構(gòu)成的矩形，則此時(shí)ξ1≥ξ2的可能度為：

其中X1=（c1，a1]，Y1=[c2，a2].為方便計(jì)算，同時(shí)令X2=（a1，b1]，X3=[b1，d1]，Y2=（a2，b2]，Y3=[b2，d2].

圖2-1

由此可得在ξ1與ξ2落入其他區(qū)間的可能度（1≤i≤9)如下：

定義6全面的考慮了ξ1與ξ2在任何情況下的比較，根據(jù)空間可能度公式，可將區(qū)間粗糙數(shù)的大小比較轉(zhuǎn)換為區(qū)間數(shù)的大小比較，利用區(qū)間數(shù)可能度的二維定義進(jìn)行計(jì)算.定義6的理論依據(jù)及幾何意義解釋如下：

區(qū)間粗糙數(shù)ξ1=（[a1，b1]，[c1，d1])與ξ2=（[a2，b2]，[c2，d2])分別表示在二維直角坐標(biāo)系的X軸與Y軸上，畫(huà)一條直線y=x，此時(shí)ξ1與ξ2圍成的概率面積可被切割為兩大部分，如圖2-2所示.

圖2-2

由此可知：

設(shè)區(qū)間粗糙數(shù)ξ1=（[a1，b1]，[c1，d1])與ξ2=（[a2，b2]，[c2，d2])，根據(jù)兩個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)的上近似[c1，d1]與[c2，d2]在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出一個(gè)矩形，其四個(gè)頂點(diǎn)分別為（c1，c2)，（c1，d2)，（d1，c2)和（d1，d2)，記其概率加權(quán)面積為S總.直線y=x將矩形分成兩個(gè)部分，落入下半部分的概率加權(quán)面積記為S下，落入上半部分的概率加權(quán)面積時(shí)記為S上，則稱(chēng)ξ1≥ξ2的可能度為：

由圖2-2易知此定義的幾何含義：由下近似[c1，d1]與[c2，d2]所圍成的矩形被直線y=x分成S上與S下兩部分，S下區(qū)域由所有ξ1≥ξ2的點(diǎn)所構(gòu)成，S上區(qū)域?yàn)樗笑?≥ξ1的點(diǎn)構(gòu)成，而在直線y=x上的點(diǎn)則為ξ1=ξ2.因此可知本定義合理有效，并且其直觀簡(jiǎn)練的表達(dá)出了區(qū)間粗糙數(shù)空間可能度的意義.

定義6滿足如下性質(zhì)：

性質(zhì)1設(shè)ξi=（[ai，bi]，[ci，di])（i=1，2)，則

當(dāng)且僅當(dāng)d2≤c1（3）當(dāng)且僅當(dāng)d1≤c2

由定義6，易證（1），（2），（3），由文獻(xiàn)13中給出的定義

5的性質(zhì)易證（4），（5），在此不再贅述，現(xiàn)對(duì)性質(zhì)（6）進(jìn)行證明.

①當(dāng)a3≤c1時(shí)，P（X1≥Z1)=1，根據(jù)區(qū)間數(shù)可能度的性質(zhì)可知0≤P（Y1≥Z1)≤1，故P（X1≥Z1)≥P（Y1≥Z1)得證.

②當(dāng)c3≥a2時(shí)，P（Y1≥Z1)=0，根據(jù)區(qū)間數(shù)可能度的性質(zhì)可知0≤P（Y1≥Z1)≤1，故P（X1≥Z1)≥P（Y1≥Z1)得證.

③當(dāng)c3≤a2≤c1≤a3時(shí)，

P（X1≥Z1)-P（Y1≥Z1)=1-

因?yàn)閍3-c1≤a3-c3且a3-c1≤a1-c1，故

又因?yàn)閍2-c3≤a3-c3且a2-c1≤a1-c1，

綜上，P（X1≥Z1)≥P（Y1≥Z1)成立，則（ξ2≥ξ3)成立，同理可得為正整數(shù)），故得證.所以P（X1≥Z1)-P（Y1≥Z1)≥0

3　建立基于空間可能度的多屬性決策模型

區(qū)間粗糙數(shù)的多屬性決策問(wèn)題：給定m個(gè)方案，n個(gè)獨(dú)立的屬性，屬性權(quán)重信息已知且為實(shí)數(shù).設(shè)S={S1，S2，…，Sm}為方案集，Q={Q1，Q2，…，Qn}為指標(biāo)集，W={w1，w2，…，wn}為評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重的向量，其中wj表示指標(biāo)Qj的權(quán)重，滿足wj≥0，且.方案Si關(guān)于屬性Qj的屬性評(píng)價(jià)值ξij=（[aij，bij]，[cij，dij])（i=1，2，：m;j=1，2，…，n)為區(qū)間粗糙數(shù)，因此構(gòu)成了區(qū)間粗糙數(shù)決策矩陣A=（ξij)m×n，目標(biāo)是在多個(gè)方案中找出最優(yōu)的方案.

步驟一：某些指標(biāo)的屬性值越大越好，稱(chēng)為效益型指標(biāo);有些指標(biāo)的屬性值越小越好，稱(chēng)為成本型指標(biāo);這些屬性不便于直接從數(shù)值大小判斷備選方案的優(yōu)劣，因此需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，使性能越優(yōu)的屬性值越大.可采用下列極差比例轉(zhuǎn)換法[10]：

（1）對(duì)于收益型屬性，可根據(jù)公式轉(zhuǎn)換為

（2）對(duì)于成本型屬性，可根據(jù)公式轉(zhuǎn)換為

步驟二：設(shè)mij為第i個(gè)方案Si在第j個(gè)屬性Qj下規(guī)范化后的屬性值，wj為第j個(gè)屬性的權(quán)重，則通過(guò)對(duì)規(guī)范化后的指標(biāo)值求得綜合評(píng)價(jià)值M（Si):

步驟三：利用定義6的區(qū)間粗糙數(shù)空間可能度的公式，計(jì)算得出各個(gè)方案的綜合屬性值M（Si)之間的空間可能度Pij=P（M（Si)≥M（Sj)）（i，j∈N），并構(gòu)建空間可能度集合以進(jìn)行比較.

步驟四：利用方法FPSM中的公式，求得空間可能度矩陣的排序向量，Z=（z1，z2，z3，z4，z5)，根據(jù)其數(shù)值大小得到最優(yōu)的備選方案，排序公式如下：

4　實(shí)例分析

某單位計(jì)劃投資一個(gè)項(xiàng)目，初步選取了5個(gè)備選項(xiàng)目（i=1，2，3，4，5），并構(gòu)建了4項(xiàng)指標(biāo)：投資額（Q1)，期望收益（Q2)，風(fēng)險(xiǎn)盈利（Q3)，風(fēng)險(xiǎn)損失（Q4)，這里期望收益（Q2)和風(fēng)險(xiǎn)盈利（Q3)為效益型屬性，投資額（Q1)和風(fēng)險(xiǎn)損失（Q4)為成本性屬性.備選方案的指標(biāo)值全部以區(qū)間粗糙數(shù)的形式給出，如表1所示.

利用轉(zhuǎn)換公式（11)、（12)對(duì)屬性值進(jìn)行規(guī)范化處理，表2為規(guī)范化決策矩陣.

表1決策屬性值表

本文引用文獻(xiàn)[10]中各個(gè)屬性的權(quán)重值（ω1=0.3771，ω2=ω3=0.3071，ω4=0.0487），利用公式（13）求出5個(gè)投資項(xiàng)目的綜合屬性值M（Si)（i=1，2，3，4，5)：

M（S1)=（[0.45，0.55]，[0.31，0.71]），

M（S2)=（[0.65，0.71]，[0.56，0.84]），

M（S3)=（[0.51，0.61]，[0.36，0.75]），

M（S4)=（[0.53，0.63]，[0.43，0.74]），

M（S5)=（[0.43，0.51]，[0.35，0.63]）

表2規(guī)范化決策矩陣

利用定義8的區(qū)間粗糙數(shù)空間可能度的公式，計(jì)算得出各個(gè)方案的綜合評(píng)價(jià)值的空間可能度，并建立空間可能度的比較矩陣，P=（pij)m×n，且設(shè)定λ2=0.6，λ1=λ3=0.2.

取T=2（n-1)，利用式（14）求得空間可能度比較方案P的排序向量如下：

Z=（0.1595，0.2844，0.2016，0.2175，0.1372)由上述公式及過(guò)程求出的空間可能度的數(shù)值，可以得到5個(gè)備選方案的優(yōu)劣排序結(jié)果如下:

故應(yīng)優(yōu)先選擇項(xiàng)目S2進(jìn)行投資.

5　結(jié)論

本文將區(qū)間粗糙數(shù)放置到二維直角坐標(biāo)系中進(jìn)行比較，基于此直觀的給出了一種區(qū)間粗糙數(shù)空間可能度的定義，并證明了相關(guān)的性質(zhì).此定義通過(guò)考慮區(qū)間粗糙數(shù)分別以不同的概率落入不同區(qū)間時(shí)的大小變化來(lái)定義的，因此相對(duì)于區(qū)間粗糙數(shù)可能度的定義考慮更全面，更有理論依據(jù).最后，通過(guò)實(shí)例證明了算法的可行性，實(shí)例結(jié)果與文獻(xiàn)[10]中的排序結(jié)果完全相同，證明了算法的有效性.

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基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(71361002)；廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(2013GXNSFAA019016)

中圖分類(lèi)號(hào)：O21；C934

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2015）07-0001-04