三自由度混合磁軸承轉子位移智能自檢測

朱志瑩，孫玉坤，李祖明，周云紅，王正齊

(南京工程學院，南京211167)

0 引 言

三自由度混合磁軸承(以下簡稱3 - DOF -HMB)集徑向磁軸承和軸向磁軸承雙重功能，同時利用永磁體提供偏置磁通，具備結構緊湊、體積小、功耗低等優點［1-5］，在高速、超高速場合中具備獨特應用價值［6］。

位移檢測環節是3 -DOF-HMB 系統的重要組成部分，位移信息實時精確獲取直接決定其穩定懸浮功能的實現。目前國內外實際應用中多是直接利用電渦流式、電感式、光電式及電容式等各種位移傳感器，這些傳感器的存在，不僅使系統結構復雜，軸向尺寸變大，降低系統的動態性能;而且由于機械結構的限制，位移傳感器與磁軸承不能共點安裝，導致系統的控制方程彼此耦合，大大增加了控制系統設計的復雜性;同時，3 -DOF -HMB 采用差動檢測需要6 個位移傳感器，每個傳感器價格昂貴，且易受環境干擾，致使磁軸承系統的總體價格高，可靠性低。這些問題都大大限制了基于位移傳感器檢測的3 -DOF-HMB 系統的實際推廣應用［7］。因此，探索無位移傳感器的3 -DOF -HMB 轉子位移自檢測方法，對簡化系統結構、降低成本、提高系統可靠性具有重要意義。

為實現磁軸承轉子位移自檢測，國內外學者相繼提出了高頻信號注入法［8］、凸極追蹤［9］、占空比補償［10］、狀態觀測［11］、卡爾曼濾波器［12］等多種方法。這些方法各有特點，其中高頻信號注入、凸極追蹤和占空比補償法需要附加電路和特殊信號處理技術才能實現位移的估計;而狀態觀測、卡爾曼濾波等方法依賴精確模型，且對控制器要求非常高，加之3 -DOF-HMB 本質非線性和參數不確定性，這些方法的實際應用效果不理想，存在魯棒性差、動態性能低和信噪比不高等問題。為此，部分學者提出利用神經網絡來實現位移自檢測［13］，但是神經網絡還存在依賴樣本數據、易陷入局部極值等缺陷。近年來，由Vapnik V 等人［14］提出的支持向量機(support vector machine，SVM)是繼神經網絡之后的新型機器學習方法，該方法基于統計學習理論，具有不依賴對象模型，結構簡單，泛化能力強等優點，非常適合解決小樣本、非線性及高維函數擬合問題。最小二乘SVM 將標準SVM 的學習問題轉化為求解一組線性方程，從而進一步提升了算法速度［15-16］。目前已被廣泛用于模式識別［17］與時間序列預測［18-20］，并在磁軸承位移預測建模［21］與電機轉子位置估計［22-23］中也得到研究，且獲得了較高的預測精度。

本文從3 -DOF-HMB 基本工作原理和精確數學模型出發，研究了基于最小二乘SVM 的3 -DOF- HMB 轉子位移智能自檢測方法。該方法通過輸入輸出變量確定和有效樣本數據的獲取，離線訓練最小二乘SVM 獲得3-DOF-HMB 位移自檢測模型，針對模型參數選取問題，采用自適應遺傳算法進行自動尋優，以提高自檢測模型精度。最后通過仿真和實驗對自檢測模型進行研究，驗證了方法的有效性。

1 3 -DOF-HMB 基本原理與數學模型

1.1 基本原理

圖1 給出了3 -DOF -HMB 結構示意圖，它主要由永磁體、徑軸向定子、轉子、徑軸向控制線圈等構成。徑向定子上均勻設置3 個磁極，定子鐵心采用硅鋼片疊壓而成，永磁體采用釹鐵硼制成。

工作時3 -DOF-HMB 通過調節徑軸向控制線圈中的電流，改變徑、軸向氣隙處的磁場強度，從而在轉子上產生不平衡的徑向電磁力和軸向電磁力，實現對轉子徑向兩自由度和軸向單自由度的懸浮控制。徑向充磁的永磁體為徑軸向懸浮力的產生提供靜態偏置磁通，當徑向和軸向都穩定懸浮時，轉子在靜態偏置磁場作用下處于參考位置。當轉子因擾動而偏離參考位置時，軸向控制線圈通直流電實現轉子軸向懸浮調節，沿圓周120°均勻分布的A，B，C三個徑向控制線圈通以三相交流電，產生可旋轉的合成磁通實現轉子徑向懸浮調節。

1.2 數學模型

3 -DOF-HMB 因其電磁非線性與參數不確定性，使其電磁模型難用解析表達式進行精確描述。傳統基于泰勒展開在平衡位置附件線性化的模型難以反映磁軸承大氣隙范圍內的實際動態特性。三維有限元法能考慮磁飽和與端部漏磁等實際特性，可準確獲得電磁力關于電流、位移的非線性關系，是目前磁軸承電磁分析計算較為實用的方法。本文為此首先利用三維有限元法測定不同位移與電流下懸浮力。圖2 以軸向為例，給出了懸浮力Fz與位移z，電流iz之間的關系。

為使懸浮力模型充分考慮大氣隙范圍內非線性特性，進一步采用變剛度系數法獲取不同位移和電流下的位移剛度kz和電流剛度kiz，然后基于變剛度系數kz和kiz構建大氣隙范圍內懸浮力模型［24］:

式中:Fx，Fy，Fz為轉子三自由度懸浮力;x，y，z 為轉子三自由度偏心位移;kdx，kdy，kdz為三自由度位移剛度;kix，kiy，kiz為三自由度電流剛度;ix，iy，iz為懸浮控制電流。

其中ix，iy由三相交流電iA，iB，iC變換得到:

在非線性電磁力基礎上，根據轉子動力學理論可知3 -DOF-HMB 轉子運動方程:

式中:m 為轉子質量，fx，fy和fz為轉子三自由度所受外部干擾力。

式(1)～式(3)構成3 -DOF-HMB 數學模型，由于該模型考慮了轉子偏心與電流的影響，因而能夠較好地反映出3 -DOF-HMB 在大氣隙范圍內非線性懸浮力-電流-位移關系。

2 3 -DOF-HMB 轉子位移自檢測建模

2.1 SVM 回歸建模原理

已知輸入輸出樣本數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，根據最小二乘SVM 基本理論，其擬合問題可以轉化為對式(4)求解:

式中:γ 為正則化參數;ei表示第i 個樣本的誤差。進而用拉格朗日法求解式(4)優化問題:

式中:αi是拉格朗日乘子。根據優化條件，對式(5)求偏導，將優化問題轉化為求解線性方程:

式中:y=［y1，…，yn］T，1ν=［1，…，1］T，α=［α1，…，αn］T，K =［kij］n×n，kij=K(xi，xj)，I是單位矩陣，K(·)為核函數，此處選用徑向基函數:

式中:σ 為核寬度。相應地得到最小二乘SVM 的非線性模型:

2.2 基于SVM 的位移自檢測模型

基于最小二乘SVM 的3 -DOF -HMB 轉子位移自檢測，就是利用式(8)為3 -DOF -HMB 建立一個有效的映射結構，通過磁軸承電氣信號(電壓或電流)的檢測，所建立的SVM 自檢測模型能夠正確估計出轉子位移。3 -DOF -HMB 是通過調節控制電流實現對轉子位移的控制，因此可以初步確定徑向控制電流iA，iB，iC和軸向控制電流iz是影響轉子位移變化的主要因素，而徑向控制電流iA，iB，iC可由兩相靜止坐標系下的電流ix，iy經C2/3變換得到。因此，最終確定最小二乘SVM 自檢測模型的輸入和輸出為電流(ix，iy，iz)與位移(x，y，z)。另外，考慮到最小二乘SVM 多用于解決單變量回歸問題，因而需要對每個自由度位移分別建立自檢測模型，限于篇幅，本文以軸向位移自檢測為例進行說明。

輸入輸出數據的獲取是SVM 自檢測模型建模的前提。由于3 -DOF-HMB 是一個負剛度和零阻尼系統，開環控制無法穩定工作，因此在PID 閉環控制下采集輸入輸出樣本數據［21］。同時為了使樣本能充分反映3 -DOF -HMB 的非線性，選取幅值為0.3 mm 的正弦信號疊加幅值為0.1 mm 的隨機信號作為激勵，其中正弦信號用于揭示系統內部非線性特性，隨機信號用以模擬外部擾動;采樣頻率設為100 Hz，總采樣時間0.5 s，共采集5 000 組樣本數據。這5 000 組數據是轉子偏離平衡位置±0.4 mm范圍運動的數據，因此涵蓋了動態起浮和穩態懸浮情況。考慮到SVM 小樣本學習特點，本文對5 000組數據進行預處理，選取其中300 組作為訓練集，200 組作為測試集，分別用于構建和驗證SVM 自檢測模型。圖3 給出了軸向位移SVM 自檢測模型拓撲。

2.3 自檢測模型參數優化

最小二乘SVM 理論上已經證明可以在有限樣本學習下任意精度地逼近高維非線性函數，然而實踐表明SVM 的正則化參數γ 和核參數σ2影響模型的精度。本文為提高SVM 精度，實現3 - DOF -HMB 轉子位移的高性能自檢測控制，采用自適應遺傳優化算法對模型參數進行自動尋優。該算法在進化過程中，變異概率和交叉概率隨種群適應度自動調整，可避免傳統遺傳算法早熟和不易收斂等問題［25］。

針對SVM 待優化的參數，算法的適應度函數選取為實際值與模型預測值的均方誤差(以下簡稱MSE)，其計算公式:

式中:ui和分別為期望輸出和模型輸出;n 為測試數據的總組數。

考慮到只有γ 和σ2兩個參數需要優化，因而采用簡潔的二進制編碼方式;自適應交叉概率Pc和自適應變異概率Pm:

式中:Pc1=0.9，Pc2=0.6，Pm1=0.1，Pm2=0.001，fc為兩交叉個體適應度較大值，fm為變異個體的適應度，favg和fmax為群體的平均適應度和最大適應度。

圖4 為模型參數的優化流程，表1 給出了自適應遺傳算法相關參數設置，圖5 給出了自適應遺傳算法優化過程中適應度隨進化代數的變化曲線。

圖4 自適應遺傳算法優化SVM 參數流程圖

圖5 適應度隨進化代數變化曲線

表1 自適應遺傳算法參數設置

2.4 自檢測模型評價

為了說明自適應遺傳優化SVM 自檢測模型的有效性，將其與常規遺傳算法以及文獻［21］中的粒子群優化算法模型進行比較。對比研究中，三種優化算法的進化代數、種群規模、終止精度以及參數γ和σ2的尋優范圍均相同，如表1 所示。采用式(9)均方誤差MSE 和式(12)絕對誤差(以下簡稱AE)作為評價指標來衡量模型優劣。

式中:ui和分別是轉子位移的實測值和模型輸出值;n 為測試樣本個數。

表2 給出了三種優化方法所獲得的參數優化結果、優化時間以及MSE 性能指標。由表2 可見，本文所述自適應遺傳算法優化耗時為1.299 4 s，訓練誤差為1.166 6 μm，測試誤差為1.167 1 μm;相比常規遺傳算法，優化速度提高了近10 倍，訓練和測試誤差降低了7 倍;相對文獻［21］所提粒子群算法，優化耗時多0.2 s，但訓練精度和測試精度分別提升了3 ～4 倍。

表2 參數優化結果

圖6 給出了文獻［21］粒子群算法和本文算法所建自檢測模型誤差AE 值曲線。由圖6 可見，兩種算法所建SVM 自檢測模型的擬合和預測誤差AE值均較小，這表明SVM 模型克服了神經網絡的過擬合缺陷，達到了擬合和泛化能力的折中;同時，比較圖6 可見，文獻［21］所建自檢測模型的擬合誤差和預測誤差的最大值分別為7 μm 和10 μm，而本文所建模型的擬合和預測誤差的最大值分別降低到了1.2 μm 和1.8 μm，這進一步表明本文算法在擬合和泛化精度上的優越性。

3 轉子位移自檢測控制

為了驗證理論分析的有效性，對所建SVM 自檢測模型開展位移自檢測控制仿真與實驗研究。仿真和實驗中，3 -DOF -HMB 相關參數詳見文獻［3］。圖7 給出了3 -DOF -HMB 自檢測控制系統框圖，整個控制系統分為懸浮控制模塊和自檢測模塊兩個部分。其中自檢測模塊將檢測到的徑向三相交流電流{iA，iB，iC}經過3s/2s 變換為{ix，iy}與軸向電流iz一起輸入到SVM 位移自檢測模型，位移自檢測模型根據輸入電流信息實時準確預測出轉子位移{x，y，z}，并與參考位移{x*，y*，z*}進行比較。懸浮控制模塊將參考位移與自檢測位移比較得到的差值送入PID 控制器，PID 控制器調節得到轉子懸浮所需懸浮力指令值，再利用懸浮力模型調制出懸浮繞組電流的指令值，徑向線圈電流通過2s/3s 變換后輸入到電流跟蹤型逆變器，軸向線圈電流送入線性功放，通過逆變器和線性功放輸出控制電流，繼而實現3 -DOF-HMB 轉子位移自檢測控制，從而避免了位移傳感器的使用，達到無位移傳感器運行目的。

圖8 給出了3 -DOF-HMB 起浮和懸浮時軸向位移實測值、預測值與預測誤差曲線。從圖8(a)可以看出，基于本文所提位移自檢測算法能夠準確、快速預測出轉子的實際位移，并最終穩定懸浮在平衡位置處。從圖8(b)預測誤差曲線可以看出，轉子起浮階段的預測誤差比穩定懸浮階段預測誤差大，這主要是由于懸浮力建模中忽略了各自由度耦合力的影響，尤其是轉子起浮時，耦合力相對較大，使位移自檢測模型和實際系統存在一定的誤差，同時最小二乘SVM 回歸計算消耗一定時間，導致了預測位移滯后于實際位移。但是從圖8 可以看出，整個過程自檢測模型的最大預測誤差僅為0.012 mm，遠小于氣隙長度0.5 mm。

圖9 給出了自檢測控制下3 -DOF-HMB 轉子起浮過程中徑向質心軌跡。從圖9 可以看出，轉子在初始偏心下，所提自檢測方法能使轉子快速穩定到平衡位置處，且轉子起浮過程中，質心軌跡相對比較平滑，這表明自檢測方法具有較好的起浮性能。

圖10 給出了自檢測控制和傳統有位移傳感器控制下的轉子位移波形。其中圖10(a)為轉子軸向靜態懸浮時位移波形，圖10(b)為轉子軸向受到沖擊干擾下的位移波形，圖10(c)為轉子1 400 r/min時軸向位移動態實驗波形。由圖10 可見，在轉子靜態懸浮、沖擊干擾和恒速旋轉下，所建自檢測模型輸出值均能較好地跟蹤位移傳感器檢測值，這表明本文所提自檢測算法具有較高的檢測精度，可為3 -DOF-HMB 轉子懸浮控制提供準確的位移信息。

4 結 語

本文分析了3 -DOF -HMB 非線性電磁力特性，構建了考慮磁飽和與轉子偏心的數學模型，重點研究了一種基于自適應遺傳優化支持向量機的3 -DOF-HMB 轉子位移智能自檢測方法，并開展了對比仿真和實驗研究。得到如下結論:

1)變剛度系數構建的電磁力模型能夠有效表達3 -DOF -HMB 大氣隙范圍內非線性特性，可為SVM 位移自檢測模型構建提供有效的學習樣本;

2)基于支持向量機的自檢測模型能夠映射出輸入電流與輸出位移的關系;采用自適應遺傳算法優化模型參數，可有效提高自檢測模型的擬合和泛化精度;

3)位移自檢測控制方案簡化了3 -DOF -HMB檢測和控制系統結構，可實現位移傳感器的消去，為磁軸承的高性能控制提供了一種新的方法;

4)3-DOF -HMB 各自由度之間存在一定耦合，影響模型精度和控制效果，后續研究中需進一步考慮各自由度耦合影響，并設計相應的解耦控制策略。

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