調(diào)和Bergman空間上以擬奇次函數(shù)和徑向函數(shù)為符號(hào)的Toeplitz算子的交換性

楊靜宇，王曉英（赤峰學(xué)院　數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古　赤峰　024000）

調(diào)和Bergman空間上以擬奇次函數(shù)和徑向函數(shù)為符號(hào)的Toeplitz算子的交換性

楊靜宇，王曉英
（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

摘要：本文主要研究調(diào)和Bergman空間上分別以擬奇次函數(shù)和徑向函數(shù)為符號(hào)的兩個(gè)Toeplitz算子的交換性.關(guān)鍵詞：調(diào)和Bergman空間；擬奇次函數(shù)；徑向函數(shù)；Toeplitz算子；Mellin變換；交換性

1　引言

構(gòu)成的Hilbert空間.Bergman空間L2a（D)是由L2（D，dA)中所有在D上解析的復(fù)值函數(shù)構(gòu)成的閉子空間，是一個(gè)再生Hilbert空間，再生核是

調(diào)和Bergman空間L2h（D)是L2（D，dA)中所有在D上調(diào)和的復(fù)值函數(shù)構(gòu)成的閉子空間，且與Bergman空間L2a（D)有如下關(guān)系：

其中L- 2a（D)={ f-|f∈L2a（D)，f（0)=0}.顯然，L2h（D)是一個(gè)再Hilbert空間.它的再生核是

設(shè)Q表示L2（D，dA)到L2h（D)上的正交投影，那么

（Qφ)（z)=〈φ，Rz〉，?φ∈L2（D，dA)

同理，若P表示L2（D，dA)到L2a（D)上的正交投影，那么

（Pφ)（z)=〈φ，Rz〉，?φ∈L2（D，dA)

由（1）式，有

設(shè)φ∈L∞（D)，那么以φ為符號(hào)的Toeplitz算子Tφ定義為

其中f∈L2h（D)，z∈D.

作為比Bergman空間更廣泛的空間，調(diào)和Bergman空間上的Toeplitz算子也得到了人們的關(guān)注.但由于調(diào)和Bergman空間自身不是個(gè)代數(shù)，這使得對(duì)此空間上Toeplitz算子的研究變的困難.如：[6]刻畫了符號(hào)為調(diào)和函數(shù)且其中一個(gè)為多項(xiàng)式的兩個(gè)Toeplitz算子的交換性.特別的，文中證明了只有符號(hào)函數(shù)線性相關(guān)的兩個(gè)解析Toeplitz算子才是交換的，但在Bergman空間上兩個(gè)解析Toeplitz算子本身就是交換的.

受文獻(xiàn)[4]，[6]的啟發(fā)，本文考察了調(diào)和Bergman空間上分別以徑向函數(shù)和擬奇次函數(shù)為符號(hào)的兩個(gè)Toeplitz算子的交換性.受調(diào)和Bergman空間代數(shù)結(jié)構(gòu)的影響，本文未能對(duì)符號(hào)函數(shù)都是擬奇次函數(shù)這種一般情況下兩個(gè)Toeplitz算子的交換性進(jìn)行討論.

2徑向函數(shù)的Mellin變換與Mellin卷積

Mellin變換是本章所需的重要工具之一，函數(shù)φ∈L1（[0，1]，rdr)的Mellin變換φ^定為：

根據(jù)上述定義，Mellin變換φ^在{z:Rez≥2}上是有定義的，并且在半平面{z:Rez＞2}上解析.如果存在一個(gè)（nk)k≥0?N，使得

那么，通過Muntz-Szasz理論[7]，有φ=0.

若φ∈L1（D，dA)且滿足φ（z)=φ（|z|)（?z∈D)，則稱φ為徑向函數(shù).函數(shù)f稱為度為k的擬奇次函數(shù)，如果f能表示為

f（reiθ)=eikθφ（r)

其中φ為徑向函數(shù).

引理1[8]設(shè)p∈z且φ是一個(gè)有界徑向函數(shù)，那么對(duì)任意的n∈p，有

引理2[9]設(shè)f在{z:Rez＞0}上解析，并且在點(diǎn)z1，z2，z3…上的值為零，其中z1，z2，z3…滿足

1）inf{|zn|}＞0

則f在{z:Re＞0}上恒為零.

3 Toeplitz算子的交換性

定理1設(shè)φ是一個(gè)有界徑向函數(shù)，eipθ?是一個(gè)度為p的有界擬齊次函數(shù)，其中p＞0，如果在L2h（D)上有

那么?=0或φ是一個(gè)常數(shù).

證明由于TφTeipθ?=Teipθ?Tφ在調(diào)和Bergman空間成立，所以我們有

對(duì)等式（2），根據(jù)引理1直接計(jì)算得

2（1+n+p)?^（2n+p+2)φ^（2n+2p+2)=2（1+n)?^（2n+p+2)φ^（2n+2)

很顯然，點(diǎn)列{（2n+2)}n∈Ec滿足

（a）inf{（2n+2)}n∈Ec＞0

因此有

由上述有，對(duì)任意n0≥0，有

因此φ恒等于CC^.

所以當(dāng)（2）式成立時(shí)，我們推知?=0或φ是一個(gè)常數(shù).

類似的，運(yùn)用引理1對(duì)等式（3）進(jìn)行直接計(jì)算得

當(dāng)n≥p時(shí)，有

與上面的證明類似，由于{（2n+2-2p)}n∈Mc滿足

（a）inf{（2n+2-2p)}n∈Mc＞0

所以由（5）式可以推出

進(jìn)一步推知，對(duì)任意n0≥0，有

令n0φ^（n0)=B，那么有

因此φ恒等于BC^.

當(dāng)n＜p時(shí)，有

這樣推出φ是常值函數(shù).

綜上所述，由等式（3）可以推出?=0或φ恒等于常數(shù).所以當(dāng)TφTeipθ?=Teipθ?Tφ時(shí)有?=0或φ恒等于常數(shù).

參考文獻(xiàn)：

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〔9〕R. Remmert，Classical Topics in complex Function Theory，Graduate Texts in Methematics，{f 172} Springer，New York，1998.

基金項(xiàng)目：內(nèi)蒙古教育廳高等學(xué)校科學(xué)研究項(xiàng)目（NJZY13298）

中圖分類號(hào)：O177

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2015）10-0001-03