部分相干雙曲余弦-高斯光束通過像散透鏡的光束參數變化

李長偉,馮 浩

(瓊州學院 理工學院,海南 三亞 572022)

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部分相干雙曲余弦-高斯光束通過像散透鏡的光束參數變化

李長偉,馮 浩

(瓊州學院 理工學院,海南 三亞 572022)

研究了部分相干雙曲余弦-高斯(ChG)光束通過像散透鏡的光束參數變化,并對像散和空間相干參數對束寬、束腰位置及遠場發散角的影響做了重點分析.結果表明,受像散影響,部分相干ChG光束在x、y方向束寬、束腰位置和遠場發散角表現不同;束寬相對誤差隨空間相干參數的增大而增大,在幾何焦面兩側出現一大一小兩個峰值;在幾何焦面處,x、y方向的束寬相對誤差變化規律相同;x方向遠場發散角相對誤差隨像散的增大而增大,當達到峰值之后進而隨像散的增大減小;y方向遠場發散角相對誤差隨像散增大近似呈線性增大.

部分相干雙曲余弦-高斯光束；像散；相對誤差

部分相干光的傳輸和變換規律,有重要理論和現實意義[1-2].對于實際的成像系統而言,傍軸條件常常不能滿足,點物形成一彌散斑,物體不能生成清晰的像.當光束在非軸對稱光學系統中傳輸時,會產生像散[ 3-4].厄米正弦類高斯光束,如雙曲正(余)弦高斯光束等是在近軸近似下波動方程的解[5],對厄米正弦類部分相干光通過理想光學系統的研究較多,但對其通過有像差光學系統的研究較少[6-7].因此分析研究像散對部分相干光光束參數的影響具有實際應用意義.本文以部分相干雙曲余弦-高斯(ChG)光束為例,對其通過像散透鏡后的光束參數變化做了深入研究,重點分析了空間相干參數和像散對束寬、束腰位置、束腰寬度以及遠場發散角相對誤差的影響,并作了數值計算和討論.

1 理論模型

部分相干ChG光束在入射面z=0處,可用交叉譜密度函數表示為[8]

(1)

其中:空間相關長度表示為σ,入射光束高斯部分束腰寬度對應為w0,Ω0為與雙曲余弦項有關的參量,I0為一光強常數.

設z=0處有一像散透鏡,焦距為f,由于像散引入的相位因子可表示為[4]

exp[-ikC6(x′2-y′2)]，

(2)

式中,k為波數,且k=2π/λ,C6為像散系數.將上述兩式代入部分相干光的傳輸公式,經過繁冗積分,得部分相干ChG光束通過像散透鏡后在出射面z處的光強為[7]

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8a)

(8b)

令C6=0,由(8)式可得部分相干光束ChG通過理想無像散透鏡的束寬

(9)

部分相干ChG光束通過像散透鏡后的束寬相對誤差表示為[10]

(10)

將(8)、(9))式代入上式,整理可得出射面處x、y方向束寬的相對誤差為

(11a)

(11b)

上式表明,x、y方向束寬的相對誤差變化取決于離心參數a,像散系數C6,空間相干參數β、菲涅耳數Nw以及傳輸距離z,且像散使得x、y方向束寬相對誤差出現差異.將z=f代入(8)和(11)式,分別可得幾何焦面處x、y方向的束寬公式及束寬相對誤差公式為

(12)

(13)

由?wx/?z=0,求得x方向束腰位置

(14a)

類似地,y方向束腰位置為

(14b)

(14)式表明,x方向和y方向束腰位置受像散的影響不再重合.對于理想透鏡C6=0,有

(15)

由(8)和(14)式得x、y方向束腰寬度為

(16a)

(16b)

x、y方向的遠場發散角可分別求得為[11-12]

(17a)

(17b)

對于理想透鏡,有

(18)

遠場發散角的相對誤差可表示為

(19)

將(17)、(18)式代入(19)式,分別可得部分相干光束ChG光束x、y方向遠場發散角的相對誤差為

(20a)

(20b)

(20)式表明,x、y方向遠場發散角相對誤差受像散的影響表現不同,且隨離心參數a,像散系數C6,空間相干參數β的不同取值發生變化.

2 數值計算與討論

以下數值計算中取部分相干ChG光束λ=1.06μm,w0=1 mm,f=200 mm.圖1為不同空間相干參數β的部分相干ChG光束通過像散透鏡后,x、y方向束寬相對誤差ηwx,ηwy隨傳輸距離z的變化.圖中參數為：a=1,C6=1×10-4mm-1.由圖1知,束寬相對誤差隨空間相干參數的增大而增大,且隨傳輸距離發生變化.在幾何焦面兩側出現一大一小兩個峰值.在遠離幾何焦面處,相對誤差隨空間相干參數的變化并不明顯.

圖1 空間相干參數β取不同值時x、y方向束寬相對誤差ηwx，ηwy隨傳輸距離z的變化

圖2 空間相干參數β取不同值時幾何焦面上束寬相對誤差ηfw隨像散系數C6的變化

圖2為透鏡幾何焦面處空間相干參數取不同值時束寬相對誤差ηfw隨像散C6的變化.由圖可知x方向和y方向的相對誤差變化規律相同,與文中(13)式對應,幾何焦面處x、y方向束寬相對誤差ηfw隨像散系數增大而增大,且隨空間相干參數的增大而增大.

圖3為空間相干參數取不同值時遠場發散角的相對誤差ηθx,ηθy隨像散的變化曲線.圖3表明, 圖3為空間相干參數取不同值時遠場發散角的相對誤差ηθx,ηθy隨像散的變化曲線.圖3表明, 受像散的影響,x、y方向遠場發散角的相對誤差一般不相等,表現出差異,且偏差程度受相干參數的影響.x方向相對誤差隨像散的增大而增大,當達到峰值之后進而隨像散的增大減小.y方向相對誤差隨像散增大近似呈線性增大.

圖3 空間相干參數β取不同值時遠場發散角的相對誤差ηθx，ηθy隨像散系數C6的變化

3 結語

本文以部分相干ChG光束為例,推導出其通過像散透鏡后的束寬、束腰位置、束腰寬度、遠場發散角等,并詳細研究了其通過像散透鏡后光束參數的變化.像散使部分相干ChG光束在x和y方向束寬、束腰位置和遠場發散角不同.束寬相對誤差隨空間相干參數的增大而增大,在幾何焦面兩側出現一大一小兩個峰值.在幾何焦面處,x方向和y方向的相對誤差有相同的變化規律,相對誤差隨像散系數增加而變大,隨空間相干參數的增大而增大.x方向遠場發散角相對誤差隨像散的增大而增大,當達到峰值之后進而隨像散的增大減小.y方向遠場發散角相對誤差隨像散增大近似呈線性增大.數值計算表明,束寬及遠場發散角相對誤差亦受離心參數的影響,且隨離心參數的增大而增大,波形不發生變化.本文從光束空間相干性及像散兩個方面對光束相對誤差做了分析研究,對部分相干光通過像散透鏡的光束變化有了進一步的認識,所得結果對設計合適的激光光學系統有實際應用意義.

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Changes in The Beam Parameters of Partially Coherent Cosh-Gaussian Beams after The Passage Through An Astigmatic Lens

LI Chang-wei, FENG Hao

(College of Science and Technology, Qiongzhou University, Sanya Hainan 572022, China)

The changes in the beam parameters of partially coherent cosh-Gaussian (ChG) beams through an astigmatic lens are studied and the effect of astigmatism and spatial coherence parameter on the beam widths, waist positions and far-field divergence angles are stressed. The results show that the astigmatism in a difference between the beam widths, waist positions and far-field divergence angles in thexandydirections. Relative errors of the beam widths increases with the coherence increases and take on a large and a small peaks on both side of the geometrical focal plane. Relative errors of the beam widths in thexandydirections have the same variation at the geometric focal plane. Relative errors of the far-field divergence angles in thexdirection increases as the coherence increases but decreased after the peak value. In theydirection, relative errors of the far-field divergence angles Increases linearly with the increase of astigmatism.

partially coherent cosh-Gaussian (ChG) beam; astigmatic; relative errors

2014-12-09

三亞市院地科技合作項目(2014YD28)

李長偉(1981-),男,河南平頂山人,瓊州學院理工學院講師,研究方向為激光傳輸與變換.

O435

A

1008-6722(2015) 02-0052-05

10.13307/j.issn.1008-6722．2015．02．12