涉及公共值和公共值集的亞純函數的正規族?

李效敏， 王凱梅， 郎 濤

(中國海洋大學數學科學學院，山東 青島 266100)

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涉及公共值和公共值集的亞純函數的正規族?

李效敏， 王凱梅， 郎 濤

(中國海洋大學數學科學學院，山東 青島 266100)

2007年劉曉俊與龐學誠首先研究了亞純函數及其導函數分擔1個具有3個元素的公共值集的正規族問題。 2011年劉曉毅與常建明推廣了劉曉俊與龐學誠的相應結果。 本文將在劉曉毅與常建明的有關結果基礎上, 進一步研究亞純函數及其導函數分擔公共值集的正規族問題。 本文結果進一步推廣了劉曉俊與龐學誠以及劉曉毅與常建明的有關結果。

亞純函數 ；公共值；公共值集 ； 正規族

0 引言及主要結果

定理1 假設F是定義在區域D內的亞純函數族，S1?C與S2?C是2個非空的有限集合。假 設f(z)∈S1并且z∈D,當且僅f′(z)∈S1并且z∈D。 如果下述條件之一成立， 那么F在區域D內正規：

(a) |S1|≥5; (b) |S1|≥3, 并且 |S2|≥3 ；(c) |S2|≥10。

本文將推廣上述定理1,證明下述3個定理。

定理2 假設F是定義在區域D內的亞純函數族，S1?C與S2?C是2個非空的有限集合。假設f(z)∈S1并且z∈D, 當且僅f(k)(z)∈S1并且z∈D, 其中k≥2， 并且對任意a1∈S1,f-a1的每個零點重數≥k。如果|S1|≥4，那么F在區域D內正規。定理3 假設F是定義在區域D內的亞純函數族，S1?C與S2?C是2個非空的有限集合。假設f(z)∈S1并且z∈D, 當且僅f(k)(z)∈S1并且z∈D, 其中k≥2， 并且對任意a1∈S1,f-a1的每個零點重數≥k。如果|S1|=3和|S2|≥3，那么F在區域D內正規。定理4 假設F是定義在區域D內的亞純函數族，S1?C與S2?C是2個非空的有限集合。假設f(z)∈S1并且z∈D, 當且僅f(k)(z)∈S1并且z∈D,k≥2， 并且對任意a1∈S1,f-a1的每個零點重數≥k。如果|S2|≥10, 那么F在區域D內正規。

1 幾個引理

本節將給出證明本文主要結果所需要的一些引理。假設f是復平面內的1個非常數的亞純函數。 并假定讀者熟悉Nevanlinna理論的基本概念和記號[3-4]，例如

下述引理是著名的Nevanlinna第二基本定理[3-4]：

引理3 假設F是區域D內的1個亞純函數族，k≥2是1個正整數， 再設S?C是1個有限復數集，且滿足|S|≥4。若對任意f∈F,當f∈S時有|f(k)(z)|≤M， 其中M是1個正常數，并且對任意a∈S,f(z)=a在D上的每個解(如果存在)的重數≥k，那么F在區域D內正規。

注意到ζ0作為g(ζ0)=0的解的重數≥k≥2， 于是ζ0作為g(ζ0)=0的解的重數≥k+1≥3。假設a1,a2,a3,a4是S中4個判別的元素， 則由引理2可得：

即T(r,g)=S(r,g), 這與g為非常數的亞純函數矛盾。引理3獲證。

引理4 假設R是1個 非常數的有理函數，S是1個有窮復數集合。如果R(z)=0當且僅當R(k)(z)∈S, 這里k≥1是1 個正整數，那么R是1個次數≥k的多項式， 并且|S|≤k+1。

證明 由該引理條件可知，S是1個 有限集。

(1)

為一個多項式。注意到

(2)

其中c1,c2,…cq是復常數，于是(1)改寫為

(3)

再由(3)和條件R(z)=0當且僅當R(k)(z)∈S可知，R也是多形式， 且不恒為常數， 于是

R(z)=czp(1+o(1)),z→∞

(4)

其中：c≠0是常數；p是某個正整數。由于R(k)(z)不恒為常數，所以p≥k+1，于是由(1)可知A不恒等于零，而且A不恒等于常數。 事實上，若A=b1，其中b1為非零常數，則由(1)可得

RR(k+1)=b1(R(k)-a1)(R(k)-a2)…(R(k)-aq)

(5)

由(4), 比較(5)兩邊的次數可得

p+(p-k-1)=q(p-k)，

即：

(q-2)p=qk-k-1

(6)

再由(6)，p≥k+1和假設q≥k+2 可得矛盾，所以A是非常數的多項式。再由(3)，(4)以及對數導數引理，經計算可知， 當z→∞有

(7)

其中b2≠0為常數。 由(1)，(4)和(7)可得

A(z)=cb2zp-1(1+o(1))，z→∞

(8)

另一方面，注意到R(z)=czp(1+o(1)),由(4)可知， 當z→∞時， 有

R(k)(z)=cp(p-1)…(p-k+1)zp-k(1+o(1))

(9)

和

R(k+1)(z)=cp(p-1)…(p-k+1)

(p-k)zp-k-1(1+o(1))

(10)

將(4)，(9)和(10)代入(1)得

A(z)=b3zq(k-p)+2p-k-1(1+o(1)),z→∞

(11)

其中b3≠0是某個常數。最后比較(8)和(11)可得p-1=q(k-p)+2p-k-1，由此得p=k，這與前面得到的結論p≥k+1矛盾。引理4獲證。

下述引理是由Hayman-Miles[6]得出的重要結果， 對本文主要結果的證明起重要作用：

引理5[6]假設f是1個復平面上的超越亞純函數，K>1是1個給定的正常數， 則存在1個僅與K有關的子集M(K)?(0,+∞)， 其上對數密度不超過δ(K)=min{(2eK-1-1)-1,(1+e(K-1))exp(e(1-K))}，使得對每一個正整數k， 有：

2 定理的證明

定理2的證明 假設 |S1|≥4。

gn(ζ)=fn(zn+ρnζ)-a1→g(ζ)

(12)

相應地

(13)

和

fn(zn+ρnζ)-a3=gn(ζ)+a1-a3→g(ζ)+a1-a3

(14)

證明 0是g，g+a1-a2和g+a1-a3的Picard例外值， 從而由引理2可知，g退化為常數，這與前面得到的g為非常數的亞純函數矛盾。首先證明0是g的Picard例外值。事實上，假設存在一點ζ0∈C，使得

這里

(15)

hn(ζ)→h(ζ)

(16)

或者

hn(ζ)→∞

(17)

其中h(ζ)是復平面C上的非常數的亞純函數，并且不恒等于∞。注意到g不恒為常數，由Huiwitz定理知，存在點列ζn使得gn(ζn)=0并且ζn→ζ0， 于是

(18)

由(18)可知，(16)成立，但(17)不成立。

下面證明下述2個斷言： (i)G在復平面C上的零點個數是有限的；(ii)G(ζ)=0當且僅當G(k)(ζ)∈S2。

斷言(i)的證明 假設ζ0是g的m0≥1重零點，那么G在 復平面C上的零點個數不超過m0。事實上，假設G在復平面C上有m0+1個判別的零點ξ1,ξ2,…,ξm0,ξm0+1，那么由Huiwitz定理知，存在點列ξnj→ξj(1≤j≤m0+1)使得對充分大的正正整數n，有Gn(ξnj)=0，結合(19)可知gn(ζn+ηnξnj)=0。注意ζn+ηnξnj→ζ0，1≤j≤m0+1，再由(19)和Huiwitz定理可知，ζ0作為g的零點的重數≥m0+1， 這與前面假設矛盾。斷言(i)獲證。

斷言(ii)的證明 假設G(ξ0)=0，ξ0∈C。注意到G不恒為常數，由Huiwitz定理可知，存在點列ζn的某個子序列， 不妨設它本身， 使得ζn→ξ0并且Gn(ξn)=0，即

gn(ζ)=fn(zn+ρn(ζn+ηnξn))-a1=0，

由定理3的條件可知

(20)

再證

(21)

事實上，假設G(k)(ξ0)=b1∈S2，ξ0∈C。首先G(k)不恒等于b1， 否則G(k)=b1， 當b1=0時，G是次數≤k-1的多項式， 這與G是非常數的亞純函數，并且G的每個零點重數≥k矛盾;當b1=0時，G是次數等于k的多項式， 即

(22)

其中τ0是某個有窮復數。

由(22)可得

(23)

由此結合定理3的條件可得

fn(zn+ρn(ζn+ηnξn))=s1∈S1，

其中s1是S1中的某個元素。若s1≠a1, 則由前面得到的結論：按球距

gn(ζ)=fn(zn+ρnζ)-a1→g(ζ),

可知

(24)

另一方面

a1∈S1

(25)

由(24)和(25)可得矛盾。

若s1=a1， 類似于(24)可得G(ξ0)=0，于是(21)得證。

最后由(20) 和(21)可得斷言(ii)。由上面的斷言(i)和(ii)完成定理3的證明， 為此分以下2種情形討論：

T(r,G(k))+S(r,G(k))，

即

(|S2|-2)T(r,G(k))≤S(r,G(k))

(26)

由(26)和條件|S2|≥3可得T(r,G(k))=S(r,G(k))， 這與G(k)為非常數的亞純函數矛盾。

T(r.G)+S(r,G)，

由此得T(r,G)=S(r,G)， 于是G退化為常數， 這是不可能的。

綜上所述，0是g的Picard例外值。同理可證：

0也是g+a1-a2和g+a1-a3的Picard例外值。于是由引理2可知g退化為常數，這是不可能的。

定理3證畢。

定理4的證明 若|S1|≥3， 由定理2和定理3可知，定理4的結論成立。以下假設1≤|S1|≤2，取a1∈S1。 并假設F在D內不正規，從而在某點z0∈D不正規。 不妨設z0=0，F在|z|<1內不正規。 類似于定理3 的證明，由引理1可得 (12)和(15)。于是任意ζ∈C，有

(27)

以及

(28)

(29)

其中ε為任意給定的正數。由(29)可得3|S2|≤4+(9e+9eε)，這與|S2|≥10的假設矛盾。定理4證畢。

[1] 劉曉俊, 龐學誠. 分擔值與正規族 [J]. 數學學報, 2007, 50(2): 409-412.

[2] 劉曉毅, 常建明. 分擔集合的亞純函數正規族 [J]. 數學學報 2011, 54(6): 1049-1056.

[3] Yang L. Value Distribution Theory [M]. Berlin: Springer-Verlag, 1993.

[4] Hayman W K. Meromorphic functions [M]. Oxford：The Claredon, 1964.

[5] Schwick W. Sharing values and normality [J]. Arch Math J, 1992, 59: 50-54

[6] Hayman W K， Miles J. On the growth of a meromorphic function and its derivatives [J]. Complex Variables, 1989, 12: 245-260.

[7] Pang X C， Zalcman L. Normal families and shared values [J]. Bull London Math Soc, 2000, 32: 325-331.

AMS Subject Classifications: 30D35; 30D30

責任編輯 陳呈超

Normal Families of Meromorphic Functions Concerning Shared Values and Shared Sets

LI Xiao-Min, WANG Kai-Mei, LANG Tao

(School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100, China )

Liu Xiaojun and Pang Xuecheng firstly study the question of normal families of meromorphic functions sharing a set consisting of three finite values with their derivatives in 2007. In 2011, Liu Xiaoyi and Chang Jianming extended the corresponding results by Liu Xiaojun and Pang Xuecheng. Based upon the corresponding results by Liu Xiaoyi and Chang Jianming, we deeply studied the question of normal families of meromorphic functions sharing sets with their derivatives in the present paper. Moreover, the results in this paper extend the corresponding results given by Liu Xiaojun and Pang Xuecheng and by Liu Xiaoyi and Chang Jianming.

meromorphic functions; shared values ; shared sets; normal families

國家自然科學基金項目 (11171184; 40776006);山東省自然科學基金項目 (Z2008A01; ZR2009AM008；ZR2014AM011)資助

2013-07-16；

2014-05-20

李效敏(1967-), 男, 副教授。 E-mail : xmli01267@gmail.com

O174.52

A

1672-5174(2015)02-138-05

10.16441/j.cnki.hdxb.20130220