解題思想策略在平面向量案例解答運用初析

張志華

【摘 要】本文作者簡要論述了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)或方程、分類討論以及轉(zhuǎn)化等思想策略在平面向量案例解答中的運用。

【關(guān)鍵詞】平面向量;問題案例;解題思想策略;運用初探

解題思想策略是學(xué)習(xí)對象系統(tǒng)化、條理化觀察、探究、分析問題案例的方法手段。筆者認(rèn)為，解題思想策略應(yīng)用廣泛、意義深刻，在高中數(shù)學(xué)每一章節(jié)案例解析中都不同程度滲透和運用到解題思想策略。教者應(yīng)強化解題思想策略內(nèi)涵、應(yīng)用等方面的教學(xué)。本人先結(jié)合平面向量案例解答活動，對解題思想策略運用進(jìn)行簡要論述。

一、抓住平面向量外在形象性，運用數(shù)形結(jié)合解題思想策略

平面向量兼具了數(shù)字精確性的“數(shù)”特點和圖形直觀性的“形”特點，是“數(shù)”與“形”融合的統(tǒng)一體。平面向量案例解析中，利用平行四邊形、三角形法則、模的幾何意義、向量的方向（夾角）幾何圖形等進(jìn)行探析，其中滲透了數(shù)形結(jié)合解題思想策略。

問題1：已知△ABC中，AB=a，AC=b。對于平面ABC上任意一點O，動點P滿足OP=OA+λa+λb，λ∈[0，+∞）。在動點P的運行軌跡中是否存在某一個定點？說出你的理由。

分析：該問題是要求出動點P的軌跡是否過某一個定點的內(nèi)容，解析問題條件發(fā)現(xiàn)，僅從問題表面進(jìn)行猜想和思考分析較難開展，需要利用平面向量的相關(guān)知識，結(jié)合問題的“OP=OA+λa+λb，λ∈[0，+∞）”條件，構(gòu)造圖形，作出如圖所示的圖形，通過數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行問題案例解析活動，從而確定出動點P的軌跡特征。

二、抓住平面向量內(nèi)涵豐富性，運用函數(shù)或方程解題思想策略

在解析平面向量案例過程中，應(yīng)該利用平面向量與相關(guān)函數(shù)知識點之間關(guān)系，將解析平面向量問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)方面案例，或采用構(gòu)建方程（組）形式進(jìn)行分析。

問題2：已知O為原點，點A、B的坐標(biāo)分別為（a，o），（0，a），其中a為正數(shù)，點P是線段AB上的一點，如果 =t （0≤t≤1），試求出 · 的最大值是多少？

解析：根據(jù)題意可知，該問題是有關(guān)數(shù)量積與函數(shù)方面綜合應(yīng)用的問題。需要運用向量的數(shù)量積坐標(biāo)公式解答，可以利用向量與函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)最值的問題。已知 =t ，由此得到 = + = +t = +t（ - ）=（a，O）+t[（0，a）-（a，0）]=（a-at，at），得到 · 的值為a2（1-t）.由于此公式是一次函數(shù)關(guān)于t方面的解析式，切t∈[0，1]上減函數(shù)，因此得到 · 的最大值是a2。

評注：利用向量的運算將向量，借助于函數(shù)的知識進(jìn)行解題分析探究活動。

問題3：現(xiàn)在分別以原點和點A（5，2）作為頂點，作等腰△OAB，已知∠B=90°，那么點B和 的坐標(biāo)為多少？

分析： 本題是向量的數(shù)量積綜合運用方面的問題案例，主要是關(guān)于向量的性質(zhì)和坐標(biāo)表示三角形中的應(yīng)用。通過分析問題條件可以知道，本題解答的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確求出B的坐標(biāo)。根據(jù)題意，設(shè)B（x，y），由 | 并且 = ，可以列出關(guān)于xy之間的方程組，通過解方程組從而得到x，y的值，從而求出 的坐標(biāo)值。

評注：在解三角形方面的問題時，要認(rèn)真分析問題條件內(nèi)容，掌握條件中已知的三角形邊和角的特征，如遇到直角與垂直方面的聯(lián)系，等腰和等距方面聯(lián)系，就要通過方程思想策略，構(gòu)建方程組進(jìn)行解答。

三、抓住平面向量解題嚴(yán)密性，運用分類討論解題思想策略

由于平面向量的特殊性，需要對平面向量問題進(jìn)行逐一分類，認(rèn)真甄別，討論研究，加以解決， 如因向量的方向不確定、向量的位置關(guān)系不確定、向量問題的敘述不明確、參數(shù)的最優(yōu)值不明確等情況時，運用分類討論解題思想策略。

問題4：如圖所示，已知在一個平面上有三個坐標(biāo)分別是A（-2，1）、點B（-1，3）、點C（3，4）。如果使ABCD四個點成為一個平行四邊形的四個頂點，試確定D的坐標(biāo)值。

分析：本題要求出點D的坐標(biāo)，并且由ABCD四個點成為平行四邊形ABCD的四個頂點。但通過對問題條件的研析發(fā)現(xiàn)，該問題未能明確頂點的順序，此時就需要進(jìn)行分類討論的方法， 分別從以AC為對角線作平行四邊形ABCD1、以BC為對角線作平行四邊形ACD2B、以AB為對角線作平行四邊形D3ACB等三種情況進(jìn)行討論，如圖所示。

評注：本問題是關(guān)于平面向量共線的充要條件與向量坐標(biāo)運算之間的案例，主要培養(yǎng)學(xué)生向量的坐標(biāo)理解和運用能力。當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時，較為容易想到，但問題條件中未能指出其D點的位置，以及平行四邊形的順序，需要通過分類討論解題思想進(jìn)行討論。

四、抓住平面向量外延廣闊性，運用轉(zhuǎn)化解題思想策略

平面向量與其他知識點之間有著密切深刻的聯(lián)系，在分析解答問題案例時，可以將平面向量問題案例通過問題情境、特殊與一般、等價轉(zhuǎn)化等形式，轉(zhuǎn)變?yōu)榻馕銎渌R點的問題。如在平面向量的夾角、向量的平行、向量的垂直關(guān)系等案例解析中，都要運用到轉(zhuǎn)化解題思想策略。

問題5：在水平的路面上，王洪和李明同時拉車，王洪用45N的力F1向東拉車。小明用60N的力向北拉這輛車，試求他們兩個人的合力F是怎樣？

分析：通過對本題條件以及解題要求等內(nèi)容的分析，可以發(fā)現(xiàn)，該問題主要是考查向量的加法運算。本題看似是一道物理方面的案例，實際是關(guān)于向量合成的問題。需要通過轉(zhuǎn)化手段，把物理方面問題變?yōu)閿?shù)學(xué)方面問題，根據(jù)向量平行四邊形法則以及解三角形等方面的知識進(jìn)行問題的求解。

評注：解答該案例時，應(yīng)該利用平面向量的平行四邊形法知識，將其轉(zhuǎn)化成解三角形方面的案例。

值得注意的是，解題思想策略實際運用過程中，不是孤立、單獨的存在，而是相互融合，滲透于同一問題案例解析之中，需要高中學(xué)生在實際解析實踐中認(rèn)真研究、深刻探析。

（作者單位：江蘇省海門中學(xué)證大校區(qū)）