飽和土體中襯砌隧道在移動(dòng)荷載下的動(dòng)力響應(yīng)

曾 晨，孫宏磊，蔡袁強(qiáng)，3，曹志剛

（1.浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心，浙江 杭州310058；2.浙江大學(xué) 軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州310058；3.溫州大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，浙江 溫州325035）

隨著地鐵建設(shè)的快速發(fā)展，由地鐵運(yùn)營(yíng)引起的振動(dòng)及噪聲問(wèn)題日益嚴(yán)重，因此，亟需適當(dāng)?shù)恼駝?dòng)評(píng)估方法來(lái)應(yīng)對(duì)這些問(wèn)題.

對(duì)于地鐵引起的環(huán)境振動(dòng)問(wèn)題，目前已有許多分析模型和計(jì)算方法.Balendra等［1］利用二維有限元分析模型建立了“地鐵-地基土-結(jié)構(gòu)”體系，計(jì)算分析了一幢銀行建筑在地鐵振動(dòng)下的穩(wěn)態(tài)振動(dòng).Gardien等［2］開(kāi)發(fā)了隧道振動(dòng)的三維有限元模型，模型中包含3個(gè)子模型，考慮了從振動(dòng)產(chǎn)生到向外傳播的整個(gè)過(guò)程.Sheng等［3］采用“離散波數(shù)法”建立了一個(gè)預(yù)測(cè)模型，計(jì)算成層土中的圓形隧道（有襯砌或無(wú)襯砌）中作用固定或移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載所引起的動(dòng)力響應(yīng).Forrest等［4-5］提出了Pipe-in-pipe（PiP）模型，并結(jié)合雙梁無(wú)渣軌道模型，用解析的方法研究了全空間中隧道的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題，考慮了軌道系統(tǒng)、襯砌結(jié)構(gòu)與地層三者的耦合.Clouteau等［6］建立了三維模型計(jì)算地鐵引起的自由場(chǎng)振動(dòng)，用有限元和邊界元分別模擬隧道和土體，研究了隧道和土體間的動(dòng)力相互作用.Gupta等［7］比較了PiP模型和周期性有限元-邊界元耦合模型，分別用這兩種模型分析全空間中襯砌隧道的動(dòng)力響應(yīng)，所得結(jié)果的一致性很好.劉維寧等［8］建立“車輛-軌道基礎(chǔ)-襯砌結(jié)構(gòu)-地層系統(tǒng)”的三維有限元分析模型，對(duì)地鐵列車引起地面振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算分析.謝偉平等［9］利用有限元方法分析了地鐵運(yùn)行時(shí)土體的波動(dòng)特性，簡(jiǎn)化了列車荷載，并且考慮了地基土性質(zhì)不同帶來(lái)的影響.Bian等［10］采用2.5維有限元模型分析隧道與周圍土體的相互作用，通過(guò)與半解析解的對(duì)比驗(yàn)證了本文模型的正確性；計(jì)算了地鐵列車引起的土體振動(dòng)，并分析了移動(dòng)荷載振動(dòng)頻率對(duì)地表處波衰減的影響.以上各研究無(wú)論采用數(shù)值模擬還是解析方法，都是將土體用單相介質(zhì)來(lái)模擬進(jìn)行研究的.然而，富水地區(qū)地下水位較高，很多時(shí)候地鐵隧道位于地下水位以下，將土體視為飽和兩相介質(zhì)更接近實(shí)際情況.已有的移動(dòng)荷載動(dòng)力響應(yīng)的研究表明，當(dāng)荷載移動(dòng)速度接近地基土Rayleigh波波速時(shí)，用單相介質(zhì)模擬飽和土體將帶來(lái)較大的誤差，無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)整個(gè)體系的動(dòng)力響應(yīng)［11］.

其他一些學(xué)者則用飽和多孔介質(zhì)模型來(lái)模擬土體，考慮流、固耦合作用，研究隧道結(jié)構(gòu)與飽和土體的動(dòng)力相互作用.Senjuntichai等［12］引入Biot飽和多孔介質(zhì)模型，通過(guò)Laplace變換得到了全空間飽和多孔彈性介質(zhì)中無(wú)限長(zhǎng)隧道（無(wú)襯砌）內(nèi)表面作用軸對(duì)稱荷載的瞬時(shí)響應(yīng)解答.Hasheminejad等［13］假設(shè)襯砌與周圍飽和土體不完全連結(jié)，研究了軸對(duì)稱環(huán)形移動(dòng)荷載作用下的無(wú)限長(zhǎng)圓形襯砌及周圍土體的動(dòng)力響應(yīng)，并重點(diǎn)研究了襯砌與土體不完全連結(jié)帶來(lái)的影響.劉干斌等［14］引入一種黏彈性本構(gòu)模型，研究了無(wú)限黏彈性飽和多孔介質(zhì)中圓柱孔洞（有襯砌）內(nèi)表面受軸對(duì)稱簡(jiǎn)諧荷載和流體壓力作用時(shí)的頻域響應(yīng)問(wèn)題.Lu等［15］研究了飽和土中隧洞（無(wú)襯砌）內(nèi)表面作用移動(dòng)軸對(duì)稱荷載時(shí)的動(dòng)力響應(yīng)，并討論了移動(dòng)荷載的速度對(duì)隧洞動(dòng)力響應(yīng)的影響.黃曉吉等［16］通過(guò)引入勢(shì)函數(shù)，研究了飽和土中圓形襯砌隧洞在環(huán)形移動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)，計(jì)算并比較了3種隧洞模型的動(dòng)力響應(yīng).雖然以上研究中都將土體視為飽和多孔介質(zhì)，但都是使用軸對(duì)稱或者平面應(yīng)變模型進(jìn)行分析，顯然采用三維模型來(lái)模擬地鐵隧道和周圍土體的動(dòng)力響應(yīng)更符合實(shí)際.

本文采用無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼模擬襯砌，采用Biot飽和多孔介質(zhì)模型［17-18］模擬襯砌周圍土體，以解析方法研究了飽和土體全空間中圓形襯砌隧洞在沿軸向移動(dòng)的徑向單位點(diǎn)荷載作用下的三維動(dòng)力響應(yīng).引入兩類勢(shì)函數(shù)來(lái)表示土骨架和孔隙水的位移，在不同環(huán)向模態(tài)下利用修正Bessel方程來(lái)求解各勢(shì)函數(shù)，結(jié)合邊界條件，得到頻率-波數(shù)域內(nèi)位移及孔隙水壓力的解答.最后進(jìn)行雙重Fourier逆變換得到時(shí)間-空間域內(nèi)的響應(yīng)解.計(jì)算了隧道襯砌及周圍土體響應(yīng)的空間分布及頻譜曲線等，并根據(jù)結(jié)果分析了荷載速度、土體滲透性等對(duì)土體和襯砌位移響應(yīng)及土體孔壓的影響.

1 襯砌結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程

采用無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼模擬襯砌，襯砌的三維模型以及所采用的圓柱坐標(biāo)系統(tǒng)見(jiàn)圖1，襯砌在軸向χ、環(huán)向y、徑向z的振動(dòng)方程如下［4，19］：

式中：E、ρ、ν分別為襯砌的彈性模量、密度、泊松比；a為襯砌圓柱殼中面的半徑；h為襯砌厚度；θ為環(huán)向角度（圖1）；u、υ、w為襯砌中面沿χ、y、z方向的位移；qχ、qy、qz表示襯砌中面沿χ、y、z方向的凈應(yīng)力，等于作用在襯砌內(nèi)、外表面荷載所產(chǎn)生應(yīng)力的差值.位移及應(yīng)力分量的正方向見(jiàn)圖1.

當(dāng)荷載作用線位于θ=0平面內(nèi)時(shí)，各應(yīng)力、位移分量可以展開(kāi)成如下求和形式［4，20］：

定義函數(shù)f（χ，t）關(guān)于坐標(biāo)χ和時(shí)間t的雙重Fourier變換及其逆變換為

將式（2）、（3）代入式（1a）～（1c），并使用式（4a）進(jìn)行雙重Fourier變換，可得頻率-波數(shù)域內(nèi)不同環(huán)向模態(tài)n下振動(dòng)方程的矩陣形式：

式中：~Qχn、~Qyn、~Qzn、~Un、~Vn、~Wn是式（2）、（3）中各變量在頻率-波數(shù)域內(nèi)的對(duì)應(yīng)量，A為3×3的矩陣.

2 飽和土體運(yùn)動(dòng)方程

本文認(rèn)為襯砌周圍土體為均質(zhì)飽和多孔介質(zhì)，引入Biot波動(dòng)理論［17-18］：

式中：ui、wi分別為土骨架位移分量和流體相對(duì)于土骨架的位移分量；¨ui、¨w i表示對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)；λ、μ為土骨架的Lamé常數(shù)；α、M為表征土顆粒和流體壓縮性的常數(shù)；b=η／kp為反映黏性耦合的參數(shù)，其中η、kp分別為流體的動(dòng)力黏滯系數(shù)和土的動(dòng)力滲透系數(shù)；ρb=n0ρf+（1-n0）ρs，其中n0為土體的孔隙率，ρf、ρs分別為流體密度和土骨架密度；m=ρf／n0.

均質(zhì)飽和多孔介質(zhì)的物理方程為

根據(jù)矢量場(chǎng)的Helmholtz分解定理，可以把式（6a）、（6b）中土骨架位移u和流體相對(duì)于骨架的位移w用標(biāo)量勢(shì)和矢量勢(shì)表示為

將式（8）代入波動(dòng)方程（6a）、（6b），并對(duì)時(shí)間t做Fourier變換，可以得到

由式（9a）、（9b）可得如下 Helmholtz方程：

式中：kf、ks和kt分別代表飽和土中快縱波、慢縱波和橫波的復(fù)波數(shù)，可表達(dá)為

利用式（9）～（13），經(jīng)推導(dǎo)整理，頻域內(nèi)的各勢(shì)函數(shù)可表達(dá)為

式中：

其中：

襯砌周圍的全空間飽和土體三維模型及所采用的圓柱坐標(biāo)系統(tǒng)見(jiàn)圖2，土體的內(nèi)徑為2a（與圖1中襯砌匹配），外徑無(wú)窮大，并且沿軸向無(wú)限延伸.

在圓柱坐標(biāo)系統(tǒng) （r，θ，z）中，式（10）、（11）中的Laplace算子可表達(dá)為［4］

圖2 襯砌周圍飽和土體的三維模型Fig.2 Three-dimensional model for saturated soil surrounding liner

式中：er、eθ、ez分別是沿圓柱坐標(biāo)系主方向r、θ、z的單位向量，是的分量.

展開(kāi)式（8），再利用式（14）可將土骨架沿r、θ、z方向的位移分量用勢(shì)函數(shù)表達(dá)為

為了求解方程（10）、（11），類似于式（2）、（3），可設(shè)各勢(shì)函數(shù)具有如下形式：

將式（15）、（16）、（18）代入式（10）、（11），做關(guān)于坐標(biāo)z的Fourier變換，在不同模態(tài)n下可得

式（19a）中的求導(dǎo)符號(hào)表示對(duì)r求偏導(dǎo).

式（19a）中的第1、2、5式為n階修正Bessel方程，而式（19b）為n+1階修正Bessel方程，這4個(gè)方程的解具有如下形式：

將式（18）代入式（17），對(duì)坐標(biāo)z做Fourier變換，并注意到~gθn=-~g rn，不同模態(tài)n下各位移分量可進(jìn)一步表達(dá)為

對(duì)物理方程（7a）、（7b）取關(guān)于時(shí)間t的Fourier變換，變換后對(duì)其中2項(xiàng)進(jìn)行如下操作：

使用圓柱坐標(biāo)系下的幾何方程，得孔壓和各應(yīng)力表達(dá)式：

將式（18）、（21）代入式（23），對(duì)坐標(biāo)z做Fourier變換，孔壓和各應(yīng)力在不同模態(tài)n下可進(jìn)一步表達(dá)為

將式（20）分別代入式（21）、（24）中，利用修正Bessel函數(shù)的遞推關(guān)系［4］進(jìn)行整理，可得不同模態(tài)n下，飽和土體的土骨架位移及總應(yīng)力在頻率-波數(shù)域中的矩陣表達(dá)式：

式中：U和T均為3×8的矩陣，這2個(gè)矩陣中第i行、第j列的元素分別為u ij、tij；

比較式（25）、（26）與式（2）、（3）可知，~un和~σn的各分量在不同的環(huán)向模態(tài)數(shù)n下可表達(dá)為

3 襯砌與周圍飽和土體的相互作用

為研究隧道襯砌與周圍飽和土體的相互作用，引入如下的邊界條件［4，13］：

1）襯砌殼體的凈應(yīng)力等于荷載引起的襯砌內(nèi)、外表面應(yīng)力的合應(yīng)力；

2）襯砌與飽和土體接觸面處位移、應(yīng)力連續(xù)；

3）襯砌與飽和土體接觸面完全不透水；

4）距離荷載作用點(diǎn)無(wú)限遠(yuǎn)處的位移衰減為0.

如圖1所示，在襯砌內(nèi)表面的θ=0（仰拱）處作用一個(gè)沿χ正方向移動(dòng)的、幅值恒定的徑向單位點(diǎn)荷載.該荷載移動(dòng)速度為v0，在t=0時(shí)位于χ=0位置，它在χ、y、z方向產(chǎn)生的分量表達(dá)如下：

式中：δ（·）為狄拉克δ函數(shù).

將式（28）中的δ（θ）／a展開(kāi)為 Fourier余弦級(jí)數(shù)［4］，并做關(guān)于χ和t的雙重Fourier變換，得不同模態(tài)n時(shí)該荷載在頻率-波數(shù)域內(nèi)的各分量為

根據(jù)第1個(gè)邊界條件，由式（5）有，在襯砌與飽和土體接觸面處

比較圖1和圖2所采用的圓柱坐標(biāo)系，根據(jù)第2個(gè)邊界條件，得到如下關(guān)系：

式中：σzχ、σzy、σzz分別為圖1坐標(biāo)體系下的應(yīng)力，不同模態(tài)n時(shí)它們?cè)陬l率-波數(shù)域內(nèi)對(duì)應(yīng)的量即為

同時(shí)利用式（31）、（32），可得襯砌與飽和土體接觸面處的位移、應(yīng)力表達(dá)如下：

將式（33）、（34）代入式（30）中，有

結(jié)合式（32），展開(kāi)式（24）中~pfn的表達(dá)式，在不同模態(tài)n下有

式中：G0及G均為1×4的矩陣.根據(jù)第3個(gè)邊界條件，有

聯(lián)立式（35）、（38），有

再聯(lián)立式（33）、（36），解得不同的環(huán)向模態(tài)數(shù)n下r=R（R≥a）處的位移、孔壓：

最后進(jìn)行關(guān)于ξ和ω的雙重Fourier逆變換，可得飽和土體中點(diǎn)（r，θ，z）處在時(shí)間-空間域內(nèi)的土骨架位移分量、孔壓表達(dá)式

當(dāng)r=a時(shí)，u r、uθ、u z同時(shí)也表示襯砌中面的位移.

由式（29）、（39）可知，待定系數(shù)矩陣F中各元素均含有一個(gè)相同的項(xiàng)2πδ（ω+ξv0），若令~P zn=，進(jìn)行類似操作，式（41）可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

令z0=z-v0t，則式（42）中所求各分量變成與時(shí)間無(wú)關(guān)的量.也就是說(shuō)，在隨點(diǎn)荷載一起移動(dòng)的坐標(biāo)系（r，θ，z0）下，本文研究的問(wèn)題變成了一個(gè)穩(wěn)態(tài)問(wèn)題.

4 算例與分析

4.1 與以往解析解的對(duì)比

為驗(yàn)證本文方法的正確性，采用本文方法計(jì)算了文獻(xiàn)［13］中荷載移動(dòng)速度v0=10 m／s、土體為硬土（Stiff soil）時(shí)的徑向位移ur.文獻(xiàn)［13］中襯砌內(nèi)作用的是一個(gè)恒定的環(huán)形移動(dòng)荷載，因此，在計(jì)算時(shí)，將環(huán)形荷載等效成180個(gè)沿圓周均勻分布的點(diǎn)荷載，將每個(gè)點(diǎn)荷載在考察點(diǎn)處引起的位移進(jìn)行疊加，所得結(jié)果見(jiàn)圖3.從圖3可以看出，二者結(jié)果吻合得很好，驗(yàn)證了本文方法的正確性，同時(shí)也說(shuō)明采用圓柱殼來(lái)模擬隧道襯砌的精度是足夠的.

圖3 本文與Hasheminejad等[13]的結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison between present work and Hasheminejad's［13］work

4.2 參數(shù)分析

本節(jié)各算例中所采用的模型參數(shù)為：襯砌參數(shù)來(lái)自文獻(xiàn)［4］，取E=5×1010Pa，ρ=2 500 kg／m3，ν=0.3，a=3 m，h=0.25 m；飽和土體參數(shù)則參考了文獻(xiàn)［21］，取Lamé常數(shù)λ=3×107Pa，μ=2×107Pa，ρf=1 000 kg／m3，ρs=2 600 kg／m3，n0=0.4，α=1.0，M=5×109Pa，b=106～1010N·s／m4.移動(dòng)荷載的幅值為1 N.

圖4給出了當(dāng)土體b值不同時(shí)，移動(dòng)荷載作用點(diǎn)以及正下方3 m處（即r=3 m和6 m，θ=0，z0=0）的徑向位移ur隨荷載移動(dòng)速度v0變化的曲線.為了比較，圖4中還給出了單相彈性土體中對(duì)應(yīng)的位移曲線，計(jì)算時(shí)將飽和土體參數(shù)ρf、b、α、M、m取為10-4，使得飽和土體退化為單相彈性土體［22］.

從圖4可以看到，與地面交通系統(tǒng)類似［11］，飽和土體中襯砌隧道系統(tǒng)也存在臨界速度（臨界速度即為圖中各曲線峰值所對(duì)應(yīng)的v0值）.當(dāng)v0＜30 m／s時(shí)，各條曲線均比較平緩，位移ur隨v0變化的影響很小，此后ur隨v0增大而迅速增大，并在達(dá)到峰值后又迅速減小.圖4中的各條曲線均在v0=102 m／s附近時(shí)達(dá)到峰值，與土體中的S波波速（彈性土體及無(wú)滲流的飽和土體的S波波速均為vs=101 m／s）非常接近.圖4（a）中各曲線明顯大于其在圖4（b）中對(duì)應(yīng)的曲線.由圖4（a）可知，飽和土體中荷載作用點(diǎn)處的ur隨著土體b值的增大（土體滲透性變差）而減小，并且均小于相應(yīng)的彈性土體中的ur.圖4（b）中，荷載正下方3 m處的飽和土體ur則隨著土體b值的增大而增大，3個(gè)b值相對(duì)應(yīng)的u r曲線中僅有b=106N·s／m4時(shí)的ur小于彈性土體中的u r.

圖4 不同b值時(shí)荷載下方兩點(diǎn)的u r隨v 0變化的曲線Fig.4 ur of two points varied with v0 for different b

鑒于圖4中2點(diǎn)的位移ur受b值變化影響的規(guī)律不同，圖5給出了當(dāng)v0=105 m／s時(shí)荷載正下方處（θ=0，z0=0）的土體響應(yīng)沿徑向坐標(biāo)r的分布曲線.圖5（a）中各條ur曲線均隨著r的增大而迅速減小.在襯砌附近（r＜4.5 m）的土體中飽和土體ur隨著土體b值的增大而減小，并且均小于彈性土體ur；當(dāng)r＞4.5 m時(shí)，飽和土體ur隨著土體b值的增大而增大，并且b值較大（土體滲透性較差）時(shí)的飽和土體ur大于彈性土體u r.本文的公式推導(dǎo)中認(rèn)為襯砌與土體接觸面完全不透水，接觸面處流體與土骨架的運(yùn)動(dòng)是完全一致的，由于流體的壓縮模量很大，襯砌附近飽和土體的壓縮剛度大于相應(yīng)彈性土體的剛度，因此，襯砌附近飽和土體ur小于彈性土體u r.

本研究中的點(diǎn)荷載沿著軸向移動(dòng)，其所引起的整個(gè)系統(tǒng)的響應(yīng)不是關(guān)于z0=0平面對(duì)稱（靜止荷載引起的響應(yīng)才是對(duì)稱的），因此，荷載正下方土體骨架的軸向位移u z并不為0.u z沿徑向r的分布曲線見(jiàn)圖5（b），隨著r的增大，各u z曲線均先增大后減小.土骨架u z隨著土體b值的增大而迅速減小，當(dāng)b=1010N·s／m4時(shí)，u z已基本接近0，但是仍然大于彈性土體的u z.移動(dòng)荷載下方飽和土骨架的軸向位移要大于彈性土體中的軸向位移，若采用彈性模型來(lái)模擬隧道周圍土體會(huì)低估此處軸向位移.

圖5 v0=105 m/s時(shí)荷載正下方處的響應(yīng)沿r的分布曲線Fig.5 Response of points under moving load varied with r when v0=105 m／s

根據(jù)圖5（c），隨著r的增大，各pf曲線呈現(xiàn)減小趨勢(shì)，在r＞9 m后基本重合.孔壓pf隨著b值的增大而增大，滲透性差的土體在荷載作用點(diǎn)附近會(huì)產(chǎn)生較大的孔壓.

圖6給出了v0=10 m／s和v0=105 m／s時(shí)隧道仰拱（r=3 m，θ=0）以及仰拱下方3 m（r=6 m，θ=0）處的徑向位移ur沿軸向坐標(biāo)z0的分布.圖中仍然給出了單相彈性土體中對(duì)應(yīng)的曲線.可以看到，由于v0=105 m／s更接近臨界速度，此時(shí)的ur曲線大于v0=10 m／s時(shí)的ur曲線.各條ur曲線的形狀類似，均在荷載作用平面（z0=0）附近出現(xiàn)峰值，基本呈現(xiàn)對(duì)稱的分布.仰拱處ur曲線的形狀更為尖銳，并且要遠(yuǎn)大于仰拱下方3 m處的曲線.

圖6 不同b值時(shí)隧道仰拱以及仰拱下方3 m處的ur沿的分布曲線Fig.6 ur of tunnel invert and points 3 m under the invert varied with z0 for different b

與圖4（a）類似，由圖6（a）、（b）可以看到，飽和土體中的仰拱位移ur隨著土體b值的增大而減小，并且均小于彈性土體中的ur.在圖6（c）、（d）中，靠近z0=0平面的飽和土體的土骨架位移ur隨著b值的增大而增大，|z0|增大后則隨著土體b值的增大而減小；在z0=0平面附近，仰拱下方3 m處彈性土體的ur小于b=108N·s／m4時(shí)的ur.隨著|z0|的增大，位移ur中由S波引起的部分所占的比例也在增大，飽和土體中流體的存在使得飽和土體中S波衰減的更快，因此，正如圖6中所見(jiàn)，彈性土體ur又大于飽和土體u r了.

圖7給出了當(dāng)v0=10 m／s和v0=105 m／s時(shí)隧道仰拱下方3 m（r=6 m，θ=0）處的軸向位移u z沿軸向坐標(biāo)z0的分布，各條曲線基本呈現(xiàn)反對(duì)稱的分布.當(dāng)v0=105 m／s時(shí)的uz曲線略大于v0=10 m／s時(shí)的u z曲線，但增大幅度不如圖6（c）、（d）中的ur曲線.飽和土體uz隨著土體b值的增大而增大，并且均大于彈性土體u z.隨著|z0|的增大，各條u z曲線先增大后減小，減小的同時(shí)有重合的趨勢(shì).

結(jié)合圖6、7可以看到，b=108N·s／m4時(shí)的曲線與b=1010N·s／m4時(shí)的曲線很接近，荷載高速移動(dòng)（v0=105 m／s）時(shí)更是基本重合，說(shuō)明當(dāng)襯砌周圍土體是滲透性較差的黏性土?xí)r，b值的變化對(duì)位移響應(yīng)的影響很小.此外，圖6、7的各位移分布曲線中，彈性土體曲線的對(duì)稱性（包括反對(duì)稱性）最好，b=106N·s／m4曲線的對(duì)稱性最差；當(dāng)v0=105 m／s時(shí)位移分布對(duì)稱性比v0=10 m／s時(shí)差.飽和土體和彈性土體中的位移響應(yīng)區(qū)別明顯，飽和土體位移場(chǎng)的對(duì)稱性受荷載速度、土體滲透性影響較大.

圖7 不同b值時(shí)隧道仰拱下方3 m處的uz沿z 0的分布曲線Fig.7 uz of points 3 m under the tunnel invert varied with z0 for different b

圖8給出了當(dāng)v0=10 m／s和v0=105 m／s時(shí)隧道仰拱下方3 m（r=6 m，θ=0）處的土體孔壓pf沿軸向坐標(biāo)z0的分布，可以看到孔壓最大值基本出現(xiàn)在荷載作用平面處.當(dāng)b=106N·s／m4增大到b=108N·s／m4時(shí)，pf迅速增大，之后增大趨勢(shì)減小.圖8中當(dāng)b=106N·s／m4時(shí)的2條曲線在z0=0附近及z0＞0區(qū)域內(nèi)均大于0，而在z0＜0區(qū)域內(nèi)小于0.可見(jiàn)在滲透性較好土體中，恒定移動(dòng)荷載下方及下前方區(qū)域內(nèi)孔壓為正，下后方區(qū)域內(nèi)孔壓為負(fù)；滲透性較差的土體內(nèi)則主要是正孔壓，分布比較對(duì)稱.當(dāng)v0從10 m／s增大到105 m／s，b=106N·s／m4時(shí)的孔壓曲線顯著增大，而當(dāng)b=108N·s／m4與b=1010N·s／m4時(shí)的曲線變化不大.滲透性較好土體的孔壓受荷載移動(dòng)速度v0的影響比較明顯.

圖8 不同b值時(shí)隧道仰拱下方3 m處的p f沿z0的分布曲線Fig.8 pf of points 3 m under the tunnel invert varied with z0 for different b

圖9給出了當(dāng)v0=10 m／s和v0=105 m／s時(shí)隧道仰拱下方一點(diǎn)（r=6 m，θ=0，z=0）處徑向位移ur的頻譜曲線，在t=0時(shí)刻移動(dòng)荷載位于z=0平面上，頻率f=ω／（2π）.可以看到，各條曲線均隨著頻率f增大而減小，v0的變化對(duì)頻譜曲線的影響很大：v0=10 m／s時(shí)的頻譜曲線比v0=105 m／s時(shí)減小得更快，v0=105 m／s時(shí)頻譜分布的頻率范圍更大；當(dāng)f較小時(shí)，v0=10 m／s的頻譜值比v0=105 m／s時(shí)的大，當(dāng)f超過(guò)一定值（約為0.35 Hz）后，v0=105 m／s的頻譜值更大.

b值不同引起的u r頻譜曲線的差別主要分布在低頻范圍，頻率f越大各曲線越接近.在圖9（a）、（b）的各條飽和土ur頻譜曲線中，b=106N·s／m4的頻譜值在低頻時(shí)最大，隨著f增大逐漸變成最小.在f較小時(shí)彈性土體中u r的頻譜值大于飽和土體中u r的頻譜值，f增大后則小于飽和土體中u r的頻譜值.

圖9 不同b值時(shí)一點(diǎn)處u r的頻譜曲線Fig.9 Frequency spectrum of ur of a point for different b

5 結(jié) 論

本文用無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼來(lái)模擬襯砌，用Biot飽和多孔介質(zhì)模型來(lái)模擬土體，以解析方法研究了飽和土體全空間中圓形襯砌隧道在移動(dòng)點(diǎn)荷載作用下的三維動(dòng)力響應(yīng).計(jì)算了隧道襯砌及周圍土體響應(yīng)的空間分布和頻譜曲線等，并根據(jù)結(jié)果分析了荷載速度、土體滲透性等對(duì)位移響應(yīng)及土體孔壓的影響.得到如下結(jié)論：

（1）與地面交通系統(tǒng)類似，飽和土體中襯砌隧道系統(tǒng)也存在臨界速度.臨界速度與無(wú)滲流飽和土體的S波波速基本一致.

（2）飽和土體中的位移及孔壓分布受荷載速度、土體滲透性影響較大.襯砌及襯砌附近（徑向坐標(biāo)r較小）的飽和土體骨架位移隨耦合性參數(shù)值增大（土體滲透性變差）而減小；而離襯砌稍遠(yuǎn)處的飽和土體位移受耦合性參數(shù)值變化影響的規(guī)律較為復(fù)雜，還與荷載移動(dòng)速度、觀察點(diǎn)到荷載作用平面（z0=0）的軸向距離等有關(guān).土體孔壓隨耦合性參數(shù)值增大而增大.但當(dāng)襯砌周圍土體為滲透性較差的黏性土?xí)r，耦合性參數(shù)值的變化對(duì)土體位移、孔壓的影響比較小.

（3）襯砌附近飽和土體的位移小于彈性土體中的位移，而離襯砌稍遠(yuǎn)區(qū)域中荷載作用平面附近的飽和土體位移則大于彈性土體中的位移.荷載的移動(dòng)性對(duì)飽和土體位移場(chǎng)對(duì)稱性的影響要大于對(duì)彈性土體的影響，飽和土體和彈性土體中的位移響應(yīng)區(qū)別明顯，在富水地區(qū)研究地鐵隧道及周圍土體的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)采用與實(shí)際情況更接近的飽和多孔介質(zhì)模型模擬土體.

（4）荷載移動(dòng)速度變化對(duì)土體位移頻譜的影響很大，當(dāng)速度由低速增大到接近臨界速度時(shí)，頻譜曲線分布的頻率范圍增大，高頻成分明顯增多，但低頻時(shí)的頻譜值明顯變小.

（

）:

［1］BALENDRA T，CHUA K H，LO K W，et al.Steadystate vibration of subway-soil-building system［J］.Journal of Engineering Mechanics，1989，115（1）：145- 162.

［2］GARDIEN W，STUIT H G.Modelling of soil vibrations from railway tunnels［J］.Journal of Sound and Vibration，2003，267（3）：605- 619.

［3］SHENG X，JONES C J C，THOMPSON D J.Ground vibration generated by a harmonic load moving in a circular tunnel in a layered ground ［J］.Journal of Low Frequency Noise，Vibration and Active Control，2003，22（2）：83- 96.

［4］FORREST J A，HUNT H E M.A three-dimensional tunnel model for calculation of train-induced ground vibration［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，294（4）：678- 705.

［5］FORREST J A，HUNT H E M.Ground vibration generated by trains in underground tunnels［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，294（4）：706- 736.

［6］CLOUTEAU D，ARNST M.，AL-HUSSAINI T M，et al.Freefield vibrations due to dynamic loading on a tunnel embedded in a stratified medium ［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，283（1／2）：173- 199.

［7］GUPTA S，HUSSEIN M F M，DEGRANDE G，et al.A comparison of two numerical models for the prediction of vibrations from underground railway traffic［J］.Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2007，27（7）：608- 624.

［8］劉維寧，夏禾，郭文軍.地鐵列車振動(dòng)的環(huán)境響應(yīng)［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，1996，15（增刊）：586- 593.LIU Wei-ning，XIA He，GUO Wen-jun.Study of vibration effects of underground trains on surrounding environments［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，1996，15（S）：586- 593.

［9］謝偉平，孫洪剛.地鐵運(yùn)行時(shí)引起的土的波動(dòng)分析［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2003，22（7）：1180- 1184.XIE Wei-ping，SUN Hong-gang.FEM analysis on wave propagation in soils induced by high speed train loads［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2003，22（7）：1180- 1184.

［10］BIAN X C，JIN W F，JIANG H G.Ground-borne vibrations due to dynamic loadings from moving trains in subway tunnels ［J］.Journal of Zhejiang University-SCIENCE A：Applied Physics and Engineering，2012，13（11）：870- 876.

［11］CAI Y Q，CAO Z G，SUN H L，et al.Dynamic response of pavements on poroelastic half-space soil medium to a moving traffic load ［J］.Computers and Geotechnics，2009，36（1／2）：52- 60.

［12］SENJUNTICHAI T，RAJAPAKSE R K N D.Transient response of a circular cavity in a poroelastic medium［J］.International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，1993，17（6）：357- 383.

［13］HASHEMINEJAD S M，KOMEILI M.Effect of imperfect bonding on axisymmetric elastodynamic response of a lined circular tunnel in poroelastic soil due to a moving ring load［J］.International Journal of Solids and Structures，2009，46（2）：398- 411.

［14］劉干斌，謝康和，施祖元.黏彈性飽和多孔介質(zhì)中圓柱孔洞的頻域響應(yīng)［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，2004，36（5）：557-563.LIU Gan-bin，XIE Kang-he，SHI Zu-yuan.Frequency response of a cylindrical cavity in poro-viscoelastic saturated medium ［J］.Acta Mechanica Sinica，2004，36（5）：557- 563.

［15］LU J F，JENG D S.Dynamic response of a circular tunnel embedded in a saturated poroelastic medium due to a moving load［J］.Journal of Vibration and Acoustics，2006，128（6）：750- 756.

［16］黃曉吉，扶名福，徐斌.移動(dòng)環(huán)形荷載作用下飽和土中圓形襯砌隧洞動(dòng)力響應(yīng)研究［J］.巖土力學(xué)，2012，33（3）：892- 898.HUANG Xiao-ji，F(xiàn)U Ming-fu，XU Bin.Dynamic response of a circular lining tunnel in saturated soil due to moving ring load［J］.Rock and Soil Mechanics，2012，33（3）：892- 898.

［17］BIOT M A.Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid.I.Low-frequency range［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1956，28（2）：168- 178.

［18］BIOT M A.Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid.II.High-frequency range［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1956，28（2）：179- 191.

［19］FLüGGE W.Stresses in Shells（second edition）［M］.Berlin：Springer，1973.

［20］JONES S，HUNT H.Voids at the tunnel-soil interface for calculation of ground vibration from underground railways［J］.Journal of Sound and Vibration，2011，330（2）：245- 270.

［21］SHI L，SUN H L，CAI Y Q，et al.Validity of fully drained，fully undrained andu-pformulations for modeling a poroelastic half-space under a moving harmonic point load［J］.Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2012，42：292- 301.

［22］SENJUNTICHAI T，MANI S，RAJAPAKSE R K N D.Vertical vibration of an embedded rigid foundation in a poroelastic soil［J］.Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2006，26（6／7）：626- 636.