混凝土彈塑性損傷本構(gòu)模型參數(shù)及其工程應(yīng)用

齊 虎，李云貴，呂西林

（1.中國建筑股份有限公司技術(shù)中心，北京101320；2.同濟(jì)大學(xué) 結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)研究所，上海200092）

彈塑性損傷本構(gòu)模型能夠準(zhǔn)確地模擬混凝土非線性本構(gòu)行為［1-4］.目前，學(xué)者們提出了多個(gè)理論完備、計(jì)算準(zhǔn)確度高的混凝土彈塑性本構(gòu)模型［5-7］，但是多數(shù)模型的數(shù)值處理復(fù)雜，計(jì)算過程涉及多次迭代，計(jì)算效率較低、數(shù)值穩(wěn)定性不好，且模型中涉及的參數(shù)較多，參數(shù)的標(biāo)定是一項(xiàng)繁瑣的工作，因此這些模型較難應(yīng)用于實(shí)際工程.齊虎等［8］提出了一個(gè)計(jì)算效率高、數(shù)值穩(wěn)定性好的實(shí)用彈塑性損傷本構(gòu)模型，但仍然存在參數(shù)較多，實(shí)際應(yīng)用困難的問題.本文對彈塑性損傷本構(gòu)模型［8］中各參數(shù)取值進(jìn)行系統(tǒng)研究，并研究各個(gè)參數(shù)對模型計(jì)算本構(gòu)曲線的影響.通過比較計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果，給出模型參數(shù)與混凝土材料單軸抗拉強(qiáng)度、抗壓強(qiáng)度和彈性模量的函數(shù)關(guān)系.從而在使用中只須給定材料抗拉強(qiáng)度、抗壓強(qiáng)度和彈性模量就能方便地確定模型的參數(shù)取值，提高模型的實(shí)用性.

將齊虎等［8］開發(fā)的彈塑性損傷本構(gòu)模型在ABAQUS中進(jìn)行二次開發(fā)，并采用本文提出的方法確定模型參數(shù)取值，對上海浦東香格里拉酒店進(jìn)行數(shù)值模擬.上海浦東香格里拉酒店是由一棟41層、總高度為152.8 m的塔樓和4層裙房組成的超高層框架——剪力墻結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)高度超限且平面布置不規(guī)則.同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室振動(dòng)臺試驗(yàn)室對其進(jìn)行了震振動(dòng)臺試驗(yàn)研究，將模型分析結(jié)果與振動(dòng)臺試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較，以驗(yàn)證本文提出的本構(gòu)模型、參數(shù)確定方法及選用分析模型的有效性和合理性.由于ABAQUS建模工作較為復(fù)雜，本文首先在PKPM中建模，然后借助PKPM-ABAQUS轉(zhuǎn)化程序［9］將模型導(dǎo)入到ABAQUS中進(jìn)行計(jì)算.

1 彈塑性損傷本構(gòu)模型參數(shù)的確定

1.1 控制損傷演化參數(shù)取值的確定

由文獻(xiàn)［8］可知本構(gòu)模型拉、壓損傷變量計(jì)算公式如下：

式中：a±和b±均為控制損傷發(fā)展參數(shù)（上標(biāo)“+”表示受拉參數(shù)，“-”表示受壓參數(shù)）；Y±為損傷能量釋放率；Y±0為損傷能量釋放率閾值，可通過混凝土單軸試驗(yàn)確定.

如果沒有一個(gè)實(shí)用的方法來確定上述6個(gè)參數(shù)的取值，則模型較難應(yīng)用于實(shí)際工程中.

圖1 a和b對損傷的影響Fig.1 Effect of a and b

圖2給出了參數(shù)和的變化對混凝土單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變骨架曲線的影響.從圖2可以看出，參數(shù)對模型極限受壓應(yīng)力影響較大，越小模型計(jì)算極限應(yīng)力越小；參數(shù)主要影響曲線下降段的斜率，越小計(jì)算曲線下降段斜率越小.

通過計(jì)算可得：當(dāng)初始彈性模量一定（=31000 MPa）時(shí)，與混凝土強(qiáng)度存在指數(shù)關(guān)系，如圖3和式（2）所示；當(dāng)一定（fc=31.14 MPa）時(shí)，與（混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范（GB50010-2010）（后文簡稱規(guī)范）表4.5.1范圍內(nèi)）［10］存在線性關(guān)系如圖3和式（3）所示.

圖2 參數(shù)、對模型應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響Fig.2 Effect of a-and b-on model behavior

圖3 a-與f c、E 0 關(guān)系Fig.3 Relationship of，fc and E0

綜合式（2）、（3），得出a-與混凝土抗壓強(qiáng)度fc和初始彈性模量E0之間的關(guān)系如下：

通過以上研究可知，已知fc和E0就可以由式（4）確定a-值.采用式（4）確定a-值，對規(guī)范中各強(qiáng)度混凝土材料進(jìn)行模擬，計(jì)算結(jié)果與混凝土強(qiáng)度設(shè)計(jì)值比較如表1.

表1 模型計(jì)算強(qiáng)度與規(guī)范設(shè)計(jì)值比較Tab.1 Comparison of calculation results and code___

從表1可以看出，對于規(guī)范規(guī)定各強(qiáng)度等級混凝土材料給定材料強(qiáng)度設(shè)計(jì)值和彈性模量，通過式（4）確定a-取值，則模型計(jì)算混凝土強(qiáng)度與混凝土規(guī)范值符合很好.

對于b-在單軸、雙軸加載下，取=0.98［1］，本文建議對于單雙軸加載取為1.對于三軸受壓加載，由于側(cè)向約束作用，主軸應(yīng)力-應(yīng)變曲線與單、雙軸加載情況下相比，曲線的下降段更平緩［3］，如圖4所示，由圖2可知，此時(shí)的取值應(yīng)小于單、雙軸加載情況.在實(shí)際工程中，模型主要用來模擬混凝土材料的單軸、雙軸加載情況，現(xiàn)階段本文只給出單、雙軸加載取值.

圖4 雙軸、三軸加載主軸應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.4 Principal stress-strain curves under 2D，3D loading

a+、b+控制受拉損傷演化，它們影響受拉加載曲線的下降段，如圖5所示，本文參照文獻(xiàn)［1］取a+=7 000，b+=1.1.

為初始損傷閾值，當(dāng)拉、壓損傷能量釋放率小于時(shí)材料處于受拉、受壓彈性階段，當(dāng)損傷能量釋放率超過后材料開始產(chǎn)生拉、壓損傷.

圖5 a+和b+對模型受拉曲線的影響Fig.5 Effect of a+and b+on tensile curve of model

對材料單軸受拉應(yīng)力-應(yīng)變曲線以及受拉損傷演化的影響如圖6（a）、（b）所示.對材料單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線以及受壓損傷演化的影響如圖6（c）、（d）所示.

由圖6可知，決定混凝土材料的抗拉強(qiáng)度，對材料受壓加載應(yīng)力-應(yīng)變曲線存在一定的影響.可由單軸加載試驗(yàn)確定.對于受拉，材料在加載到極限抗拉強(qiáng)度前為彈性，應(yīng)將取為材料單軸受拉加載到抗拉強(qiáng)度時(shí)的損傷能量釋放率；對于受壓，材料在加載到0.25倍抗壓強(qiáng)度前為彈性，應(yīng)將取為材料單軸受壓加載到0.25倍抗壓強(qiáng)度時(shí)的損傷能量釋放率.和的計(jì)算公式如下：

圖6 和對模型的影響Fig.6 Effect of and on model

式中：dε表示對ε取微分；E表示材料彈性模量；為單位有效應(yīng)力張量；參數(shù)βp為控制塑性應(yīng)變大小的參數(shù)，如圖7所示，對于βp各學(xué)者給出了不同的取值［3，11］，本文通過研究發(fā)現(xiàn)βp與加載狀態(tài)有關(guān)：雙軸、三軸受壓加載材料塑性變形比單軸受壓加載大.本文建議對于單軸受壓加載本文建議取βp=0.1，對于雙軸受壓加載βp計(jì)算如下：

1.2 控制塑性應(yīng)變參數(shù)βp取值確定

文獻(xiàn)［8］給出的塑性應(yīng)變計(jì)算公式為

式中：分別表示應(yīng)力的第2、第3主應(yīng)力（在雙軸受壓加載時(shí)第一主應(yīng)力=0）.當(dāng)＞0時(shí)，βp與之間的關(guān)系如圖8所示.

圖7 βp對塑性應(yīng)變的影響Fig.7 Relationship ofβp on plastic strain

圖8 βp 與?σ2/?σ3之間的關(guān)系Fig.8 Relationship betweenβp and?σ2／?σ3

2 試驗(yàn)數(shù)值分析

2.1 單、雙軸加載試驗(yàn)數(shù)值模擬

分別采用本文提出的模型對Kupfer等［12-13］所做的試驗(yàn)進(jìn)行模擬，并將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較（如圖9～11所示，其中圖10表示在雙軸加載的情況下主次方向不同比例加載時(shí)，主加載方向的應(yīng)力／應(yīng)變曲線）.文獻(xiàn)［12-13］中的試驗(yàn)?zāi)M參數(shù)取值：E=31 000 MPa；v=0.2，fc=27.6 MPa；ft=3.5 MPa、a±、b±及的取值按照本文提出的方法確定，分別為a-=28，a+=7 000 MPa-1，b-=1，b+=1.1，βp=0.1+0.45=2.0×10-4，=7.7×10-4.Gopalaratnam試驗(yàn)參數(shù)取值：E=31 800 MPa，v=0.2.ft=3.4 MPa，a+=7 000 MPa-1，b+=1.1=1.8×10-4.

從圖9～11可以看出，本文提出的本構(gòu)模型及參數(shù)取值方法能較好地描述混凝土材料的各種非線性本構(gòu)行為.

圖9 雙軸應(yīng)力作用下的強(qiáng)度包絡(luò)Fig.9 Biaxial strength envelope under action of biaxial stress

圖10 雙軸受壓加載Fig.10 2D compressive test

圖11 單軸受拉反復(fù)加載Fig.11 1D cyclic tensile test

2.2 香格里拉酒店數(shù)值模擬

上海浦東香格里拉酒店擴(kuò)建工程位于上海市浦東陸家嘴經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)，是由一棟總高度為152.8 m的41層塔樓和一幢4層裙房組成的超高層框架——剪力墻結(jié)構(gòu).本工程設(shè)有地下室2層，地面以上37層，另加避難樓層2層（分別位于10～11層和24～25層）.其中，地下一層、二層的層高分別為3.00和4.55 m；地面以上第1～6層的層高分別為6.05、5.00、5.00、6.00、5.00、5.00 m；第7～35層的層高為3.40 m；第36層的層高為5.40 m，第37層的層高為5.00 m；上下避難樓層的層高為4.50 m，工程總建筑面積為36 200 m2，結(jié)構(gòu)高寬比為4.52.該工程結(jié)構(gòu)的1～4層結(jié)構(gòu)平面如圖12（a）所示，塔樓第5層（轉(zhuǎn)換層）結(jié)構(gòu)平面如圖12（b）所示，塔樓5層以上的樓層結(jié)構(gòu)平面如圖12（c）所示.

本工程塔樓部分總高度為152.8 m，頂部鋼桁架局部高度為180 m，結(jié)構(gòu)高度超過了上海市框架——剪力墻結(jié)構(gòu)體系的上限值（140 m）.另外，塔樓結(jié)構(gòu)下部開有寬25.6 m、高23 m的孔洞，結(jié)構(gòu)平面布置不規(guī)則.

圖12 香格里拉酒店典型樓層平面圖Fig.12 Typical floor of Shangri-La Hotel

圖13 單軸本構(gòu)模型滯回加載曲線Fig.13 Uniaxial concrete model proposed by authors

香格里拉酒店在PKPM中所建模型如圖14（a）所示，然后用PKPM-ABAQUS轉(zhuǎn)換程序［9］將PKPM中模型轉(zhuǎn)換生成ABAQUS模型，如圖14（b）所示，在ABAQUS中梁柱構(gòu)件采用纖維模梁單元模擬，剪力墻構(gòu)件采用4節(jié)點(diǎn)減縮積分殼元模擬，一維本構(gòu)模型采用筆者提出的非線性彈性本構(gòu)模型［14］，如圖13所示；二維本構(gòu)模型采用作者建議的彈塑性損傷本構(gòu)模型［8］，參數(shù)取值按本文提出的方法確定.采用顯式積分算法求解，在本構(gòu)材料中考慮了剛度阻尼力，材料阻尼取其第一振型臨界阻尼的3%［15］，在材料中加入阻尼力的算法如下［15］：

只考慮剛度阻尼，無損材料阻尼力表達(dá)式為ˉσvis=βk E0∶˙ε，其中βk為剛度組合系數(shù)，˙ε為ε隨時(shí)間的變化率.

Cauchy黏滯阻尼應(yīng)力σvis可表示為

彈塑性損傷本構(gòu)關(guān)系為

則總應(yīng)力可表示為

圖15給出了ABAQUS計(jì)算模型振型，表2給出了PKPM和ABAQUS的計(jì)算模型振動(dòng)周期T與振動(dòng)臺試驗(yàn)結(jié)果的比較.

圖14 結(jié)構(gòu)數(shù)值模型Fig.14 Numerical model of structure

圖15 香格里拉酒店振型圖Fig.15 Vibration model of Shangri-La Hotel

表2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)周期比較Tab.2 Comparison of vibration period of structure s

從表2可以看出，PKPM計(jì)算模型前4個(gè)振型周期與試驗(yàn)結(jié)果符合較好，說明PKPM數(shù)值模型的準(zhǔn)確性較好；ABAQUS計(jì)算模型前4個(gè)振型周期與PKPM計(jì)算結(jié)果符合較好，證明轉(zhuǎn)換程序能準(zhǔn)確有效地將PKPM模型轉(zhuǎn)換為ABAQUS模型.

為了驗(yàn)證本構(gòu)模型在分析實(shí)際復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)時(shí)的有效性，本文對上述工程進(jìn)行非線性時(shí)程反應(yīng)分析.輸入地震波為上海人工波SHW2，如圖16所示.地震波從χ方向（見圖14）輸入，結(jié)構(gòu)頂層位移時(shí)程計(jì)算結(jié)果與振動(dòng)臺試驗(yàn)結(jié)果比較如圖17所示.

圖16 上海人工波SHW2時(shí)程Fig.16 Shanghai artificial wave SHW2

圖17 頂層x方向位移時(shí)程比較Fig.17 Comparison of roof displacement time history inχdirection

從圖17可以看出頂層位移時(shí)程計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果總體符合較好，位移峰值出現(xiàn)在14 s左右，且試驗(yàn)峰值與計(jì)算峰值十分接近，最大峰值過后試驗(yàn)位移迅速衰減，此后2個(gè)位移時(shí)程峰值試驗(yàn)結(jié)果均小于數(shù)值分析結(jié)果.圖18為典型樓層位移時(shí)程曲線.圖19為樓層位移包絡(luò)圖計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的比較.

從圖19中可以看出，樓層最大位移包絡(luò)圖計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果符合較好，計(jì)算結(jié)果比試驗(yàn)值略大，結(jié)構(gòu)樓層位移在第3層出現(xiàn)明顯拐點(diǎn)表明結(jié)構(gòu)在第3層較為薄弱.圖20為最大層間位移計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的比較.

圖18 主要樓層計(jì)算位移時(shí)程Fig.18 Displacement-time history of main floors

圖19 樓層位移包絡(luò)圖Fig.19 Displacement envelope of floors

為了研究結(jié)構(gòu)的破壞形態(tài)，下面分別給出罕遇地震作用下，結(jié)構(gòu)剪力墻構(gòu)件在不同時(shí)刻的應(yīng)力云圖、受拉損傷云圖及受壓損傷云圖.結(jié)構(gòu)剪力墻構(gòu)件關(guān)鍵時(shí)刻應(yīng)力變化云圖如圖21所示.從圖21可以看出，結(jié)構(gòu)在地震波加載到12.4 s、16.0 s時(shí)頂層位移為正，結(jié)構(gòu)向右偏移，結(jié)構(gòu)右側(cè)應(yīng)力大于左側(cè)應(yīng)力；結(jié)構(gòu)在14.0 s和35.6 s的頂層位移為負(fù)，結(jié)構(gòu)向左偏移，結(jié)構(gòu)左側(cè)應(yīng)力大于右側(cè)應(yīng)力.以上分析結(jié)果與結(jié)構(gòu)實(shí)際受力情況一致.

圖20 層間位移Fig.20 Story drift

圖21 剪力墻結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布圖Fig.21 Stress distributions of shear wall

圖22 某剪力墻結(jié)構(gòu)受拉損傷分布圖Fig.22 Tnsile damage distributions of shear wall

結(jié)構(gòu)剪力墻構(gòu)件受拉損傷云圖如圖22所示.從圖22中可以看出，結(jié)構(gòu)受拉損傷發(fā)展很快，結(jié)構(gòu)在0.4 s產(chǎn)生明顯受拉損傷，此后損傷迅速發(fā)展.受拉損傷最初集中在裙房、裙房與塔樓結(jié)合樓層以及結(jié)構(gòu)右側(cè)剪力墻構(gòu)件，之后逐步蔓延至整個(gè)結(jié)構(gòu).同時(shí)受拉損傷在地震波加載前期主要在左右兩側(cè)剪力墻結(jié)構(gòu)上發(fā)展，之后逐步蔓延至中間部位，在地震波作用后期，除上部少數(shù)樓層，其他部分均存在較大的受拉損傷.

結(jié)構(gòu)剪力墻構(gòu)件受壓損傷云圖如圖23所示.從圖23可以看出，結(jié)構(gòu)剪力墻構(gòu)件在5.2 s時(shí)裙房和塔樓結(jié)合產(chǎn)生明顯受壓損傷，此后受壓損傷迅速發(fā)展，到34.8 s結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大受壓損傷.同時(shí)結(jié)構(gòu)在下部裙房以及裙房和塔樓結(jié)合處受壓損傷較大.結(jié)構(gòu)在34.8 s和44.4 s受壓損傷云圖比較接近，可見到34.8 s結(jié)構(gòu)大部分受壓損傷發(fā)展完成，此后受壓損傷發(fā)展緩慢.

圖23 剪力墻結(jié)構(gòu)受壓損傷分布圖Fig.23 Compressive damage distribu t ion of shear wall

3 結(jié) 論

（1）使用本文提出的參數(shù)確定方法，實(shí)際使用中只須給定材料抗拉、抗壓強(qiáng)度和彈性模量就能方便地確定全部參數(shù)的取值，便于在實(shí)際建筑結(jié)構(gòu)的分析中使用.

（2）分析結(jié)果與振動(dòng)臺試驗(yàn)結(jié)果在結(jié)構(gòu)自振頻率、振型形態(tài)、最大樓層位移及頂層位移時(shí)程等匹配較好，說明本文提出的本構(gòu)模型及選用的構(gòu)件分析模型和分析方法是有效的，適合實(shí)際復(fù)雜高層建筑結(jié)構(gòu)的非線性分析.

（3）在實(shí)際建筑結(jié)構(gòu)的分析中，彈塑性損傷本構(gòu)模型不但可以得到結(jié)構(gòu)在外力作用下的應(yīng)力和位移響應(yīng)，而且可以同時(shí)得到不同狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的損傷分布.這種損傷過程被實(shí)時(shí)地反映在結(jié)構(gòu)的非線性分析過程中，便于分析者直觀地把握結(jié)構(gòu)的破壞形態(tài).

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