因式分解的方法

□鄒興平

因式分解的方法

□鄒興平

因式分解是初中代數中一種重要的恒等變形，是處理數學問題重要的手段和工具，因式分解的方法多種多樣，有提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等基本方法，根據多項式的具體結構特征，靈活選用一些特殊的方法和技巧，這樣不僅可使問題化難為易，化繁為簡，而且有助于培養同學們探索求新的學習習慣，提高同學們的數學思維能力.

一、提公因式法

如果一個多項式的各項都含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.

例1分解因式：2m2＋10m＝________.

解析：因2m2和10m有公因式2m，則提取公因式，得2m2＋10m＝2m（m＋5）.

方法指導：在因式分解時，首先應該想到是否有公因式可提.將各項系數的最大公約數和相同字母的最低次冪的積作為公因式提出來，并且公因式要提凈，使留下的式子再沒有公因式可提取.應注意各項的符號，而且千萬不要漏掉一項.

二、應用公式法

由于分解因式與整式乘法有著互逆的關系，如果把乘法公式逆用，那么就可以把某些多項式分解因式.

例2分解因式：x3-4x2y+ 4xy2＝證明_______.

解析：先提公因式x得x（x2－4xy＋4y2），再套用完全平方公式得x（x－2y）2.

方法指導：根據多項式特點先提各項系數公因式，再用公式法分解.因式分解一般有以下要求：①（一提）有公因式，先提公因式；②（二套）再利用公式（平方差公式、完全平方公式）分解；③能分解則分解，分解要分解到不能分解為止.

能用平方差公式分解因式的多項式應滿足條件是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反；能用完全平方公式分解因式的多項式應符合a2±2ab+b2的形式，是三項式，兩項都能寫成平方的形式且符號相同，另一項是這兩個數乘積的2倍.

三、分組分解法

要把多項式am＋an＋bm＋bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，并提出公因式a，后兩項分成一組，并提出公因式b，從而得到a（m＋ n）＋b（m＋n），又可以提出公因式（m＋n），從而得到（a＋b）（m＋n）.

例3分解因式：m2＋4nmn－4m＝________.

解析：原式＝m2－mn－4m＋4n

＝m（m－n）－4（m－n）

＝（m－n）（m－4）.

方法指導：分組后能找到各組之間的公因式或能再用公式法分解因式是解題的關鍵.

四、十字相乘法

對于mx2＋px＋q形式的多項式，如果a×b＝m，c×d＝q，ac＋bd＝p，則多項式可因式分解為（ax＋d）（bx＋c）.

例4多項式ax2－4ax－12a因式分解正確的是（）.

A.a（x－6）（x＋2）

B.a（x－3）（x＋4）

C.a（x2－4x－12）

D.a（x＋6）（x－2）

解析：首先提取公因式a，進而利用十字相乘法分解因式.

ax2－4ax－12a＝a（x2－4x－12）＝a（x－6）（x＋2）.故選A.

方法指導：正確理解運用十字相乘法分解因式是解本題的關鍵.

五、配方法

對于那些不能直接利用公式法的多項式，有的可以先將其中一部分配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解.例5分解因式：x2＋2x－63＝

.

解析：原式＝x2＋2x＋1－64＝（x＋1）2－82

＝（x＋1＋8）（x＋1－8）

＝（x＋9）（x－7）.

方法指導：配成一個完全平方式，然后再用公式法，是解本題的關鍵.

六、換元法

有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然后進行因式分解，最后再轉換回來.

耿利飛 男，1984年1月出生，河北贊縣人.2012年獲軍械工程學院武器系統與運用工程專業博士學位，現為中國洛陽電子裝備試驗中心工程師.主要從事電磁環境效應試驗及評估、電磁仿真方面的研究.

例6分解因式（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）－120.

解析：若先去括號再分解顯然很麻煩，但注意到原式＝（x2－5x＋ 4）（x2－5x＋6）－120，故以（[x2－ 5x＋4）＋（x2－5x＋6）]＝x2－5x＋5為輔助元進行轉化就很簡單.

設y＝x2－5x＋5，

原式＝（y－1）（y＋1）－120

＝y2－121

＝（y－11）（y＋11）

＝（x2－5x－6）（x2－5x＋16）

＝（x＋1）（x－6）（x2－5x＋16）.

方法指導：選擇恰當的某個代數式當作一個新的變元來實行變量替換是關鍵.

七、拆項法

在某些多項式的因式分解過程中，若將多項式的某一項（或幾項）適當拆成幾項的代數和，再用基本方法分解，會使問題化難為易，迎刃而解.

例7因式分解：a2－b2＋4a＋2b＋3＝.

解析：根據多項式的特點，把3拆成4＋（－1），

則a2－b2＋4a＋2b＋3

＝a2－b2＋4a＋2b＋4－1

＝（a2＋4a＋4）－（b2－2b＋1）

＝（a＋2）2－（b－1）2

＝（a＋b＋1）（a－b＋3）.

方法指導：拆項分組后，能用公式法，是關鍵.

八、添項法

在某些多項式的因式分解過程中，若在所給多項式中加、減相同的項，再用基本方法分解，也可謂方法獨特，新穎別致.

例8因式分解：x 4＋4y4＝___.

解析：根據多項式的特點，在x4＋4y4中添上4x2y2、－4x2y2兩項，

則x4＋4y4

＝（x4＋4x2y2＋4y4）－4x2y2

＝（x2＋2y2）2－（2xy）2

＝（x2＋2xy＋2y2）（x2－2xy＋2y2）

方法指導：添項分組后，能用公式法，是解題的關鍵.