函數極值思維在企業營銷中的應用

趙澤福

（昭通學院，云南 昭通 657000）

數學作為研究現實世界空間形式與數量關系的一門科學，具有很強的邏輯性與抽象性.數學知識賦予了數學原型更為深刻的內涵，現實生活中，我們可以找到很多的數學原型.在快速發展的社會經濟時代，經濟現象越來越復雜，只靠經驗來認識經濟活動遠遠不夠，還需要更為科學的方法對經濟現象進行分析.人們把高等數學中的函數極值思維應用到企業中，可對企業營銷中的市場需求、資金投入、最大收益及庫存管理等經濟活動進行科學地分析，理清各項參數間的關系，根據已出現的情況進行分析，以獲取相關信息，幫助企業營銷進行最合理的安排.

2 函數極值的相關知識

2.1 函數極值概念

假設函數f(x)在x0某鄰域之內有定義，對鄰域中的任一點x且x≠x0，有f(x)＜f(x0)，此時，稱f(x0)為函數f(x)中的一個極大值.若對該鄰域中的任一點x且x≠x0，有f(x)＞f(x0)，那么稱f(x0)為函數f(x)中一個極小值.其函數極小值與極大值可統稱之為函數極值，讓函數獲得極值點的x0可稱之為極值點.

2.2 函數極值存在的條件

在函數極值運算中，包含必要條件與充分條件.其中，必要條件為：如果函數f(x)在鄰域點x0處可導，并且能取得極值，那么f'(x0)=0.充分條件為：假設函數f(x)在鄰域點x0處是連續的，其左右鄰近是可導的，那么具有下列兩種情況，如果在x0左側鄰近位置，f'(x0)＜0，而x0右側鄰近位置，f'(x0)＞0，那么x0可稱為函數的極小值點；如果在x0左側鄰近位置，f'(x0)＞0，而x0右側鄰近位置，f'(x0)＜0，那么x0可稱為函數的極大值點.在實際問題當中，如果已經斷定函數f(x)的定義區間存在最大值或者最小值，并且f'(x0)=0的定義區間中，只存在一個根x0值，則能斷定在x0處，f(x)能獲得最大值或者最小值.通常在企業營銷中，涉及二元函數極值思維的問題較多，二元函數極值通常包含無條件極值與條件極值，其中，無條件極值所指的是二元函數當中的兩變量是互相獨立的，也就是不受其他條件的約束，其極值可稱為無條件的極值，被簡稱為極值.而條件極值問題所指的是在二元函數f(x,y)當中，自變量x、y間，滿足一定的條件，即函數ψ(x,y)=0，并且該函數稱為約束方程或者約束條件，所求極值是條件極值，兩變量間的線性規劃問題就是條件極值的問題.因此，運用函數C=f(x,y)中的偏導數及其他方法，可求得函數極值，解決其最大值及最小值在營銷中的應用問題.

2 函數極值思維在企業營銷中的應用

2.1 市場需求中函數極值思維的應用

通常市場對于企業商品需求，不僅會隨著價格變化而變化，還會隨著其他因素的變化而發生變動，若將消費者收入當作主要的因素，將其他因素當作固定因素，那么商品的需求量則會根據消費者的收入變化而發生變動，并呈現出一定的函數關系，人們把這種函數關系稱為恩格爾函數.在企業營銷當中，若某商品中的恩格爾函數呈現單調遞增的趨勢，那么此商品是正常商品；若該商品呈現單調遞減趨勢，那么該商品則是劣等商品.例如，設定市場中某商品A和人們收入x之間存在恩格爾函數關系，即A(x)=.那么在人們收入x減少時，產品市場需求有這樣的趨勢：A'(x)=，A'>0,得出產品的市場需求量隨著人們收入的減少而減少，這種產品就屬于正常商品；當人們收入x=0時，產品的市場需求量為零，市場對產品的飽和需求量為5.再比如，某制鞋廠皮鞋的市場需求量B和當地人們收入x之間的恩格爾函數關系為B(x)=，那么B'(x)=,B"(x)=<0,B(0)=-6,B(3)=0,當人們收入x=0時，人們不會購買這種鞋子；當人們收入x>3時，會有對這種鞋子的需求.通過這樣的恩格爾函數與極值的分析，可以幫助企業了解到某種商品在市場需求中的飽和程度，從而調節產品的生產線與庫存，更好的促進企業發展.

2.2 企業資金投入中的函數極值思維應用

一些企業與投資商想通過高效率的資源運作來獲得最大經濟利潤，在這些企業與投資商投資之前，需要對將要實施的投資機遇進行一些論證，這就需要有系統的體系對投資過程的各項參數進行分析，以了解資金投入后可能取得的利益與付出的成本，然后再根據這些數據信息進行投資，從而科學合理地做出投資決策，獲得較高的投資回報率.

2.3 最大收益問題中的函數極值思維應用

2.3.1 進貨量和最大收益間的關系

隨著我國經濟不斷發展，企業的經濟觀念不斷增強，加強成本核算，搞好生產經營，并有效提高企業效益，已成為企業營銷當中必須考慮的問題.在當前企業經營當中，影響經營參數的因素較多，有些因素對于營銷能否成功是至關重要的，例如，某商店的進貨量問題，因商品存放需要費用，若進貨量多了，其成本就會增加，而利潤相應減少，并且存在積壓現象.可進貨量太少，則需要多次進貨，其勞務費就會增加，因此，尋找恰當的臨界點，才能獲得最大的利潤.

例如：某商店經營銷售某品牌的洗衣粉，其年銷售量是6千包，而每包進價為2.8元，但銷售價為3.4元，若全年分成若干次進貨，則每次進貨為n包，每次進貨的運輸勞務費是62.5元，而全年的報關費用是1.5n元，將此商店營銷的洗衣粉利潤L表示成每次進貨量n的函數，同時，指出了函數定義域，那么為了讓收益最大，其每次進貨量為多少包？

解：假設每次洗衣粉進貨為n包，其全年總收益則為L=6000×（3.4-2.8）-(375000/n+3n/2)=-3/2()2+2100，其函數定義域為[0,6000]，并且n為6000約數，因此，要讓L值最大，也就是n=500時，Lmax=2100元，為了獲取最大收益2100元，其每次進貨量應該為5000包.

2.3.2 商品價格和最大收益間的關系

商品銷售當中，商品的銷售量通常與價格是緊密聯系的，如果價格太高，盡管每件產品利潤較高，但其銷售量卻比較低；若商品價格定得過低，那么企業就無利可圖.在這兩者之間存在臨界點，臨界點價格，能讓企業獲取最大收益，怎樣找出此臨界點，需要運用函數極值思維的方法進行分析處理，對前期銷售的信息進行分析，獲取最佳的銷售價格.收益通常所指的是生產者所出售的商品收入，而總收益則是指一定量的產品出售之后，獲得的全部收入，其總收益可記為Y，總收益Y是銷售數量x與銷售價格n的乘積，以營銷量x作為自變量，Y為因變量，那么Y和x間的關系式為Y=Y(x)=n.x為總收益的函數，因銷售量越大，其收入就會越多，因此，最大收益所指的是總收益的函數Y=Y(x)=n.所求問題為當x值是多少的時候，Y值是最大的.

例如：某商場所批發的某商品進價是80元/個，零售價是100元/個.為了更好地促進銷售，嘗試采取買此商品就贈送小禮品的方法，一個商品就贈送一個禮品，通過試驗可知，此禮品的價格是1元時，其銷售量能增加10%，而且在一定的范圍中，禮品的價格若每增加1元，其銷售量就能增加10%，假設沒有贈送禮品的時候，其銷售量是x件.求禮品價值是m元時，其所獲收益Y與m之間的函數式，并求出禮品價值為多少時，其獲得的收益最大.

解：所獲收益Y與m之間的函數式為：Y=x(10%+1)m(20-m).若收益最大，則需要同時滿足下列關系式：x·1.1m(20-m)≥x·1.1m+1(20-m-1)，x·1.1m(20-m)≥x·1.1m-1(20-m+1)；通過解兩方程式可知，當x=9或者x=10的時候，其Y值最大，因這是實際的應用問題，因此，其禮品價值是9元時，可獲取最大收益.

2.4 庫存管理中函數極值思維的應用

通常企業為了能完成一定生產任務，確保生產的正常進行，需要準備一定的材料.當總需求量不變的情況下，其訂購的次數越少，批量越大，訂購的費用就會越小，但保管費用就會相應的增加.總需求量不變，訂購的費用越大，其報關費用就會越小.如何確定訂購的批量，才能讓總費用變得最少，這已成為庫存管理中值得商榷的問題.通過對整批間隔的進貨狀況進行研究，也就是某物質庫存量下降至零時，那其訂購、庫存量與到貨等就會由零逐漸恢復至最高的庫存量，同時每天確保等量供應的生產需求，可保證不出現缺貨現象.

例如：某企業為汽車裝配廠，其輪胎每年需用量是2.4萬個，單個輪胎價格是400元，而平均每次的訂貨費用之和是640元，每年的保管費用率是12%，求最優的訂購批量與訂購次數，并求出最優的訂購周期與最小的總費用.

解：假設訂購批量是Y，訂購的次數是x，訂購的周期是N，總費用是M.那么全年總共的訂購次數是24000/Y，其訂購的費用是24000×640/Y，而全年的平均庫存量是1/2Y，保管費用是400×1/2×12%Y=24Y，而總費用M=24000×640/Y+24Y，總費用M與訂購批量Y之間存在函數關系，要讓總費用最省，可令dM/dY=0，也就是-24000×640/Y2+24=0，因此，最優的訂購批量Y=800個/批，其最優的訂購次數：x=2.4萬/800=30批；而最優的進貨周期：N=360/30=12d；所以，最小的費用M=24000×640/800+24×800=3.84萬元.

5.生產成本及利潤關系中的函數極值思維應用

在實際的生產當中，會遇到此類問題，當生產條件一定的情況下，怎樣生產才能讓成本最低，企業獲取的利潤最大，這也需要用到函數極值方法.

例：某企業在生產某產品時，其固定成本是5千元，每生產百臺產品所直接消耗的成本會加大2.5千元，如果市場對此產品年需求量是500臺，那么銷售收入函數是Q(n)=5n-1/2n2，且0＜n＜5，n為產品售出數量，那么Q(n)是收入，將利潤L表示成年產量函數，那么年產量是多少的時候，企業獲得的利潤是最大的？

解：利潤L為生產數量n售出后的總收入Q(n)和總成本M(n)間的差.它們需要同時滿足下列兩個方程式：L=5n-(1/2+1/4n)-1/2n2，且0≤n≤5；L=(5×5-52×1/2)-(1/4n+1/2)，且n＞5.通過解方程式可知，n=b/2a=475臺時，Lmax=10.78萬元.因此，當企業生產475臺的時候，能夠獲取的利潤是最大的.

3 結語

在社會經濟生活當中，函數極值思維應用非常廣泛，尤其是在企業營銷當中，函數極值思維對于資本投資與最大收益獲取等方面具有重要影響作用.通過合理運用函數極值思維，可有效解決企業資金投入、商品價格和最大收益、庫存管理及生產成本和利潤之間的關系等問題，更合理的利用投資數據，從而促使企業獲得良好的投資回報，做出準確的投資決策，提高企業的市場競爭能力.

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