競賽數學中“存在性”問題的一種解法

趙澤福

（昭通學院 數學與統計學院，云南 昭通 657000）

所謂存在性問題是相對于中學數學課本中有明確結論的封閉型問題而言的，這類試題的知識覆蓋面較大，綜合性較強，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎、構思精巧，具有相當的深度和難度.它側重考查學生的分析、探索能力和思維的發散性，因此對學生分析問題和解決問題的能力要求較高.

相當多的數學問題研究的是關于某種性質的數學對象是否存在，或一數學對象是否存在某種特定性質.因此存在性問題是指涉及到的某種數學對象是否存在的問題.在數學問題中常以：一定存在；一定不存在；是否存在等三類形式出現.

一、“一定存在”型，即有適合某種條件或符合某種性質的對象，題目中常含有“至少有”、“一定有”、“存在”、“必然有”等詞語，其結論只要求存在，不必確定.對于這類問題，無論用什么方法,只要找出一個，問題就足以解決.這就要求學生必須有扎實的基礎知識和思維敏捷、推理嚴密、聯想豐富等素質，因此是中學數學競賽的難點之一，常出現在代數、數論、幾何等問題中.處理此類問題，多數時候是根據問題的性質特征，分別以抽屜原理、極端原理等為理論基礎，構造相應的抽屜或者具體實例，使研究的數學對象及其特征的存在得以肯定即可.

（一）、抽屜原理俗稱鴿籠原理，最先是由19世紀德國數學家狄利克雷運用于解決數學問題，所以又稱狄利克雷原理.該原理的應用常常與反證法思維結合在一起.

適合應用抽屜原理解決的數學問題具有的特征是：新給的元素具有任意性，如n+1個蘋果放入n個抽屜，可以隨意地一個抽屜放幾個，也可以讓一些抽屜空著.問題的結論是存在性問題.對于具體的可以應用抽屜原理解決的數學問題，應搞清楚三個問題：1什么是“蘋果”？2什么是“抽屜”？3蘋果、抽屜各是多少？

用抽屜原理解題的基本思路是根據問題的自身特點，弄清楚對哪些元素進行分類，找出規律，從而構造合適的抽屜.一般來說，剩余類、數的分組、平面圖形的劃分、染色等，都可作為構造抽屜的依據.當然這一簡單的思維方式，在解題過程中卻演變出許多奇妙的變化和頗具匠心的精彩畫面，值得我們去欣賞體會，因此在數學競賽會經常見到它的蹤影.

例1 證明任意6個人中至少存在3個人或是互相認識，或是互相不認識.（匈牙利，1947）

證明 在這六個人中任意取定一個人P，設A、B兩集合分別為：A={與P認識的人}，B={與P不認識的人}.根據抽屜原理，剩余的 5個人 a、b、c、d、e中至少有3個人同屬于集合A或者集合B，不妨設 a、b、c同屬于集合 A.則對 a，b，c三個人來說，若他們彼此不認識，則問題得證.否則若a，b，c中有兩個人互相認識，不妨假設這兩個人是a和b，則P，a，b三個人互相認識.問題也得證.

例 2 對任意正實數a、b、c均有：(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ac)（美國奧林匹克試題，2004）

解析 由于不等式左邊展開式中含有a2,b2,a2b2…等項，構造含a2,b2,a2b2…的不等式就成為解決問題的關鍵.因為 a、b、c∈R+，現把區間(0,+∞)分割成 A=(0,1]，B=[1,+∞)兩個區間，由抽屜原理知，三個正實數a、b、c中必有兩個同屬于一個區間A或者 B.不妨設正實數 a、b∈A，則有(a2-1)(b2-1)≥0成立，從而 a2b2+1≥a2+b2圳2a2+2b2+a2b2+4≥3a2+3b2+3圳(a2+2)(b2+2)≥3(a2+b2+1)，即有(c2+2)(a2+2)(b2+2)≥3(a2+b2+1)(c2+2)=3(a2+b2+1)(1+1+c2)，由柯西不等式3(a2+b2+1)(1+1+c2)≥3(a+b+c)2，現就只需 3(a+b+c)2≥9(ab+bc+ac)成立，即需(a+b+c)2≥3(ab+bc+ac)成立，即需 a2+b2+c2≥ab+bc+ac……（※）成立.由均值不等式（※）是容易證得的.

評析：在有些數學問題中會隱藏著“存在性”的已知條件，這并不是簡單隨意增加已知條件，而是客觀存在的.因此我們對所研究的問題要敏銳洞察善于挖掘，從而得到其精髓所在.

（二）、由于極端原理與大量“存在性”問題有著密切的關系，因此極端原理也是解決存在性問題的利器.

以數字必須絕對準確為其特征的數學，也常常要在極端的條件下使用數字，當然這不是一種“容許”的夸張，而是要在如果“不容許”的情況下，看它會發生什么后果，以幫助我們發現問題的本質.

數學家在解決數學問題時，經常要先從下面一些角度考慮問題：諸如“假如一個都沒有”、“假如每一個都有”、“假如每一個至少有”、“假如每一個最多有”、“如果只有唯一的一個”、“如果是最特殊(如最大、最小、最長、最短、最多、最少、最左、最右等)的一個”等極端情況，在這種極端的狀態下，往往能使問題的關鍵節點暴露出來，所暴露出來的關鍵節點，就可以幫助我們找到解題的途徑.這種思想，在數學中稱為極端原理思想.

極端原理的理論基礎是最小數原理，最小數原理I：設M是正整數集的一個有非空子集，則M中必有最小數；最小數原理Ⅱ：設M是實數集的一個有限的非空子集，則M中必有最小數；推論：設M是實數集的一個有限的非空子集，則M 中必有最大數.用極端原理解題，就是重點放在所研究問題的極端情況.

例3 已知平面上有2n+3個有限點，其中無三點共線，也無四點共圓.求證：存在三點，過這三點的圓使其余2n個點一半在圓內，一半在圓外.

分析：求解此題時，不妨先考慮n=1這種極端情形.此時平面上有5個點，在這五個點中，可找到兩點 A、B，使其余三點 P1、P2、P3都在直線 AB的同側，由于任意四點不共圓，則P1、P2、P3對線段AB的張角 θ1、θ2、θ3必互相不等，不妨設為 θ1<θ2<θ3，這時過 A、B、P2三點作圓，則 P1在圓外，P3在圓內.于是便得到此問題的證明思路了.

評析：在準備求解不熟悉的復雜問題時，我們不妨用滿足題目條件的某些極端（或特殊）情形進行試探，常常會探得有效的、意外的解題途徑，最后打開解題思路.這種思想方法在競賽數學中非常常見.

例 4 設集合A1,A2… An與 B1,B2…Bn均是集合M的一個分劃，已知對任意兩個不交的集合Ai,Bj(1≤i,j≤n)均有 |Ai∪Bj|≥n，求證：|M|≥n2/2

證明 由最小數原理I，必存在一整數k，使得k=min{|Ai|,|Bj|,(1≤i,j≤n)}，不妨設|A1|=k.（i）若k≥n/2，則由若k2k，及n-k>k>0，則有|M|=，問題得證.

評析：從|Ai|與|Bj|的最小值出發，較好地把握了其他集合的元素個數，是處理此問題的關鍵.

例5 求證：存在1996個連續的正整數，它們之中恰有一個素數.

證明 （仿效歐幾里得“素數個數無窮多個”的證明方法）設N=1996!+1，則N+1,N+2，……N+1995即為連續的1995個合數.因為素數個數無窮多個，則由極端原理可設p為大于N的最小素數，則p>N+1995，及有p≥N+1996.因此從N到素數p之間有不少于1995個合數，就取p-1995、p-1994、……p-1、p這1996個連續的正整數，其中只有p一個為素數.

評析：應用極端原理展開想象，在處理“一定存在”性問題中也是獨具特色的.

二、“一定存在”的對立面就是“不存在”.“不存在”型問題即為：無論用什么方法，都找不出一個適合已知條件或某種性質對象的問題，這類問題一般需要推理論證或說明理由.在無限個候選對象中,證明某種數學對象不存在時，若采用逐一排除，幾乎不能實行.這就要使用反證法，反證法是數學家最精良的武器，而極端原理與反證法連用在競賽數學中也是最精彩的表現.

例6 求證：不定方程x2+y2-19xy=19………①無整數解.

證明 假設①有整數解(x,y)，x,y肯定均不等于0，又|19xy|>19，則x,y一定同號.則現在就只討論方程①的正整數解，由極端原理，令(a,b)是方程①的所有正整數解中a+b最小的一組解.由x,y的對稱性不妨設a≥b.則a是方程x2-19bx+b2-19=0……②的一個正整數解，設方程②的另一個解為c，由韋達定理知c=19b-a，則c為整數.所以(c,b)是方程①的另組整數解，又b>0，則c>0，因此(c,b)是方程①的另組正整數解，又對方程②由韋達定理知c=，即 b>c，則 a>c.因此 a+b>c+b，這與(a,b)是方程①的所有正整數解中a+b最小的一組解矛盾.所以方程①無整數解得證.

例7 設a,b為正整數，ab+1整除a2+b2，求證：是完全平方數（第29屆IMO試題）.

評析：第1～49屆IMO，負責命題的主試委員會沒辦成一件事：編出一道試題讓每位選手束手無策，相反卻有一道試題，就是此題！主試委員會中誰都不會做，后又交給當時的世界頂尖數論專家去解，幾天后仍然沒頭緒.但是有11名參賽選手卻做出了正確解答，其中保加利亞一名選手解法最簡，就是這種解法！他因此獲得本屆IMO特別獎.

三、“是否存在”屬結論不確定的探索性、開放性問題，有兩種可能：若存在，需找出來；若不存在,則說明理由.競賽數學中的此類問題一般是先假定對象存在或是不存在，將“討論型”存在性問題轉化為“一定存在”型或“不存在”型問題處理.這是解決“討論型”存在性問題的一種重要方法.

例8 已知a1,a2…an與b1,b2…bn是2n個正數，且中是否存在一個不大于1的數.（廣東省數學競賽題）

抽屜原理、極端性原理是解決競賽數學中“存在性”問題的一個重要方法,只要我們善于運用這兩個原理,在數學解題時，就會思路變得更清晰,計算更便捷,方法更精妙.

〔1〕朱華偉.從數學競賽到競賽數學[M].北京:科學出版社,2009.8.

〔2〕朱華偉,錢展望.數學解題策略[M].北京:科學出版社,2009.8.

〔3〕陳傳理,張同君.競賽數學教程[M].北京:高等教育出版社,2013.9.

〔4〕穆偉玲.高中數學備考要領[J].時代報告（學術版）,2011（8）.