不可忽略多次反射
——對一種光子晶體阻波器的嚴(yán)格分析

徐 湛

（清華大學(xué)物理系，北京 100084）

不可忽略多次反射
——對一種光子晶體阻波器的嚴(yán)格分析

徐 湛

（清華大學(xué)物理系，北京 100084）

光子晶體是當(dāng)前的熱門研究課題和很有發(fā)展前途的應(yīng)用領(lǐng)域．本文對光纖光柵作為特定波長激光的阻波器進(jìn)行了仔細(xì)的研究，嚴(yán)格求解了達(dá)到最大反射率的光柵參數(shù)條件和總反射率對周期性介質(zhì)層數(shù)的依賴關(guān)系．所應(yīng)用的方法的關(guān)鍵是考慮電磁波場在介質(zhì)交界處的連續(xù)性條件和求出傳遞矩陣．研究表明：只有把激光在介質(zhì)交界處的多次反射完全計算在內(nèi)，才能得到滿足能量守恒定律的合理結(jié)果．令人欣慰的是，總反射率對介質(zhì)層數(shù)的嚴(yán)格依賴關(guān)系是解析函數(shù)，它的反函數(shù)也是如此，這使我們能夠在實際應(yīng)用時比較容易地決定光纖光柵的各項參數(shù)．

光子晶體；光纖光柵；多次反射；連續(xù)性條件；傳遞矩陣

近年來，光子晶體（Photonic Crystal）成為光學(xué)和光子學(xué)（Photonics）中的熱門研究課題和很有發(fā)展前途的應(yīng)用領(lǐng)域［1，2］．

在通常的光纖中，激光是在一個有較高折射率的芯中傳播，這個芯被較低折射率的介質(zhì)層包圍，由于全內(nèi)反射的緣故，光的傳播效率可以達(dá)到100%．然而，最近出現(xiàn)了控制激光傳播的新方案，就是采用化學(xué)的或者力學(xué)的方法對介質(zhì)進(jìn)行修正，使介質(zhì)的折射率在與光的波長可以相比的尺度上發(fā)生周期性的變化，因而其傳輸特性比較敏感地依賴于激光的波長．這與固體中的晶格結(jié)構(gòu)類似，所以這類微結(jié)構(gòu)化的材料被稱為光子晶體．

光子晶體可以是一維、二維或三維的，作為一個初步的例子，我們來分析一種一維的光子晶體：光纖光柵．它的做法是以一條光纖為基體，但周期性地改變光纖材料的折射率．為分析方便起見，假設(shè)從某個地方開始，先插入第一個厚度為d2的改變層，然后保留一個厚度為d1的基體層，再插入第二個厚度為d2的改變層，再保留一個厚度為d1的基體層，如此不斷地做下去，從第一個改變層開始到最后一個改變層（把中間的基體層也數(shù)進(jìn)來）共有N層（N是奇數(shù)），光纖基體的折射率是n1，改變層的折射率是n2，真空波長為λ0的激光束從左方入射，如圖1所示．

我們的問題是：能否利用這種光纖光柵增強對某個特定波長的激光的反射率，從而構(gòu)成一種阻波器？光在傳播過程中的能量損耗不計．

對于這個問題，目前通行的分析方法是：重復(fù)利用單一界面上的反射—透射公式，同時忽略多次反射，實際上，這個方法是不恰當(dāng)?shù)模覀兊膰?yán)格分析如下．

首先建立坐標(biāo)系．把改變層開始插入的地點選為x＝0，x軸的正方向指向改變層，各個介質(zhì)分界面的坐標(biāo)依次為

其中，m＝1，2，…，（N－1）／2，折射率的空間變化情況是

參見圖1．

在穩(wěn)定狀態(tài)下，各個區(qū)間里都同時存在著正向傳播的光波和反向傳播的光波，只有最右方的區(qū)間［xN，＋∞）中只存在正向光波．事實上，這些光波是無窮多次“反射－折射”過程合成的總結(jié)果．為處理方便起見，我們將采用場的復(fù)數(shù)形式．設(shè)激光的頻率為ω，那么電場強度的大小（其正方向可以是與x軸垂直的任何方向）隨時間和空間的變化為

其中，復(fù)常數(shù)Ei代表正向波的振幅；E′i代表反向波的振幅．并且

｜E0｜2正比于入射光的強度，可以任意給定，有實際意義的解是Ei，E′i對E0的比．d1和d2由“｜E′0／E0｜2達(dá)到最大”的要求來確定（因為我們想要最大限度地增強反射率），其他的Ei，E′i都應(yīng)該由E0，n1，n2，d1，d2，N等通過介質(zhì)界面的銜接條件來決定．根據(jù)電動力學(xué)，介質(zhì)界面的銜接條件是

式（2）中的第一個式子表達(dá)了在正入射的情況下界面兩側(cè)的電場強度連續(xù)，第二個式子表達(dá)了界面兩側(cè)的磁場強度連續(xù)［3］．

下面分3種情況進(jìn)行討論．

1 只有一個界面（即被改變的介質(zhì)延伸到右方無窮遠(yuǎn)）的情形

這時的方程組是

求解這個方程組即得熟知的結(jié)果

此后我們記

所以在只有一個界面時

而反射率R是

通常來說，n2和n1的差別是很小的，所以r和R?1，這當(dāng)然難以起到一個阻波器的作用．此外可以注意，當(dāng)n2＞n1（被改變的介質(zhì)相對于基體是光密介質(zhì)）時r＝（E′0／E0）＜0，這表明反射光波和入射光波在入射面上是反相的．

2 N＝1的情形

這時只有兩個界面，所以有4個方程，即

它們的解是

所以反射率是

R達(dá)到最大的條件是它對k2d2的導(dǎo)數(shù)＝0，結(jié)果是

取該方程的最小正根，得k2d2＝π／2，所以

λ2是被改變介質(zhì)中的光的波長．這個結(jié)果也是熟知的，因為它恰好使直接穿過改變層和經(jīng)過來回反射以后再穿過改變層的光波的電場強度達(dá)到反相位，產(chǎn)生相消干涉而減小了透射率，相應(yīng)地增加了反射率．在上述條件下，E′0／E0成為

所以反射率成為

3 N任意大時的情形

首先，上面的分析對于厚度為d1的光纖基體層也適用，所以d1應(yīng)該選為

下面的分析就始終在（8）式和（11）式的條件下進(jìn)行．

其次，可以利用這個系統(tǒng)的空間周期性．它的一個基本空間周期如圖2所示，圖2表明：在第2m層介質(zhì)（折射率為n1）中的正向、反向光波（E2m，E′2m），經(jīng)過在介質(zhì)交界面上的多次反射－折射過程，形成了第2（m＋1）層介質(zhì)中的正向、反向光波（E2（m＋1），E′2（m＋1））．由于決定這個過程的方程都是線性的，所以（E2（m＋1），E′2（m＋1））一定是（E2m，E′2m）的線性函數(shù)，即有

上式中的2×2矩陣U稱為“傳遞矩陣transfer matrix”，由下面的方程組來決定（厚度條件已經(jīng)代入）

這個方程組的解是

因此傳遞矩陣是

反復(fù)應(yīng)用式（11），我們就有

其中，（EN－1，E′N－1）正是最后一個被改變介質(zhì)層左側(cè)的正向、反向光波，因此服從前面對于N＝1的計算結(jié)果（參見式（8）），也就是

再把其中的（EN－1，E′N－1）用（E0，E′0）表出，就得到了任意N情況下的E′0／E0．把U（N－1）／2具體算出來，結(jié)果是

因此

代入前式解得

再注意n1／n2＝（1＋r）／（1－r），它又可表為

還可以寫成

這就是對任何大于等于1的奇數(shù)N都適用的反射光波與入射光波電場強度之比的公式．當(dāng)n2＞n1時r＜0，（1－r）＞（1＋r），α＜0，所以對任意的N都有（E′0／E0）＜0．最后，反射率的表達(dá)式為

這就是光纖光柵用做阻波器時反射率的嚴(yán)格結(jié)果．

下面對結(jié)果作進(jìn)一步討論．

（1）“忽略多次反射”的做法

當(dāng)N＝1時，就是認(rèn)為入射光波既可以在x＝0的介質(zhì)交界面上發(fā)生直接反射，也可以先透射進(jìn)改變層而被x＝d2的交界面反射再經(jīng)x＝0的交界面透射回來，最終的反射波是這兩個波的疊加．對每一次反射－透射過程，都利用單一界面的反射－透射公式．在d2＝λ2／4的選擇下，這樣的處理方法給出的結(jié)果是

然而，多次反射是實際上發(fā)生著的，也就是從x＝d2的交界面上反射回來的光波在x＝0處還可以再分成透射和反射兩部分，反射的那部分再次發(fā)生類似的反射和透射，形成最終反射波的第三個疊加成分，如此不斷地進(jìn)行下去．把所有這些反射波的成分都疊加起來，得到的是

這與嚴(yán)格結(jié)果完全一致．當(dāng)然，考慮到r2?1，對于N＝1的情形，二者的差別是不大的．但是，若考慮任意大的層數(shù)N，忽略多次反射時得到的是因而反射率是

（2）我們算得的R對于任何有限大的N都小于1，滿足能量守恒的要求，而

達(dá)到了完全反射，因而構(gòu)成對波長為λ0的激光的完全阻波器．一個實際的例子是λ0＝1060nm，n1＝1．51，n2＝1．55；λ1＝175．5nm，λ2＝171．0nm，r＝－0．013 07，這時的R—N關(guān)系如圖3中的曲線所示．我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)N≥167時就可以達(dá)到R≥0．95，在實用上可以認(rèn)為是完全阻波了．

反過來說，若R（＜1）是一個給定的預(yù)期反射率，如何求得一個N滿足這個要求？這時公式（19）成為一個關(guān)于N的方程（對r＜0的情形）

由于arctanhy＝（1／2）ln［（1＋y）／（1－y）］，所以得到

更準(zhǔn)確地說，N應(yīng)該取大于等于這個值的奇數(shù)．這對于我們在實際應(yīng)用中決定光纖光柵的各項參數(shù)是一個非常有用的結(jié)果．

作者感謝北京大學(xué)物理學(xué)院孟策副教授對有關(guān)計算的復(fù)核，以及浙江大學(xué)物理系趙道木教授提供參考文獻(xiàn)［1］、文獻(xiàn)［2］和光學(xué)數(shù)據(jù)．

［1］ Quimby R S，Photonics and Lasers—An Introduction［M］．New York：Wiley－Interscience Publication，John Wiley and Sons，Inc．，2006．

［2］ Ghatak A．Optics［M］．New York：McGraw－Hill Companies，Inc．，2010．

［3］ 郭碩鴻．電動力學(xué)［M］．3版．北京：高等教育出版社，2008．

MULTIPLE REFLECTIONS SHOULD NOT BE NEGLECTED—A RIGOROUS ANALYSIS OF A PHOTONIC CRYSTAL RESISTANCE FILTER

Xu Zhan
（Department of Physics，Tsinghua University，Beijing 100084）

Photonic crystal is a hot topic in current research and application field with promising development．This paper carefully studied how to use the fiber Bragg grating as a resistance filter of the laser wave for a particular wavelength．We strictly solved the grating parameters for the maximum reflectivity and the dependency of total reflectivity on the periodic dielectric layers．The key to our method is considering the continuity condition of electromagnetic field at the dielectric interfaces and calculating the transfer matrix．Studies show that only when the multiple reflections at the dielectric interfaces are counted completely，can we get the reasonable results to meet the law of energy conservation．It is comforting that the strict dependency of total reflectivity on dielectric layers is an analytic function，and so is its inverse function，which enables us to decide the parameters of fiber Bragg grating more easily in the practical applications．

photonic crystal；fiber Bragg grating；multiple reflections；continuity condition； transfer matrix

2014－12－25

徐湛，男，教授，主要從事物理科研和教學(xué)工作，研究方向為理論物理．zx－dmp＠tsinghua．edu．cn