標準和優美厄米－高斯光束通過圓環孔衍射的比較

蘇婷燕 顧菊觀 曹佳妍 杜琴畫 胡 凱

（湖州師范學院理學院，浙江湖州 313000）

標準和優美厄米－高斯光束通過圓環孔衍射的比較

蘇婷燕 顧菊觀 曹佳妍 杜琴畫 胡 凱

（湖州師范學院理學院，浙江湖州 313000）

標準厄米－高斯光束（Standard Hermite－Gaussian beam，SHGB）和優美厄米－高斯光束（Elegant Hermite－Gaussian beam，EHGB）是厄米－高斯光束的兩個特殊解．應用柯林斯（Collins）公式研究兩種光束通過圓環孔的衍射特性，用Matlab軟件進行一些數值模擬．模擬結果表明：這兩種光束通過圓環孔的衍射存在明顯差異，在x、y軸方向上SHGB衍射光強始終比EHGB大，差異來源于標準厄米－高斯光束與優美厄米－高斯光束的場分布的差異．

標準厄米－高斯光束；優美厄米－高斯光束；圓環孔；衍射

激光通過復雜光學系統的傳輸特性，一直是科學工作者感興趣的研究課題［1－8，10－14］．目前，對標準厄米－高斯光束的研究相對比較多，而對優美厄米－高斯光束［13，14］的研究則相對較少；另外，對于圓環孔的衍射研究雖然有涉及但是能查閱到的文獻相對比較少，而且研究方向比較單一．基于這些情況，本文對比兩種光束，并運用柯林斯公式研究了標準厄米－高斯光束和優美厄米－高斯光束通過圓環孔的衍射特性，利用Matlab進行一些數值模擬并分析衍射特性．

1 標準厄米－高斯光束和優美厄米－高斯光束通過圓環孔的傳輸特性

二維標準厄米－高斯光束的場分布可用下式表示［6，10，11，13，14］

二維優美厄米－高斯光束的場分布可用下式表示［6，13，14］

其中，E0是振幅；k是波數；px，py分別為在x和 y方向的復曲率半徑；Np，Nq分別為p階和q階厄米多項式；ωx，ωy分別為厄米－高斯光束在x和y方向的束腰大小．兩種光束表達式區別主要在于：二者厄米多項式中相差系數

p＝4，q＝6階數的兩種光束的光強分布如圖1所示（圖中縱坐標I為相對光強）．由圖可知，雖然兩者只在厄米多項式中相差系數，但是其光強分布相差甚遠．SHGB光束的光強遠遠比EHGB光束的大；且SHGB光束邊緣的光強比中心的大，而EHGB光束光強集中在中心．顯然，可猜測這兩種光束通過圓環孔的衍射肯定也存在很大差異．

二維的標準厄米－高斯光束通過半徑為r的圓孔的近軸ABCD光學系統，它的輸出場可用柯林斯衍射積分表示為

將硬邊圓孔的窗口函數拓展為一組有限復高斯函數之和［9］

式中，al和bl分別為展開系數和復高斯函數系數．

標準厄米－高斯光束通過半徑為r的圓孔后，出射場用柯林斯衍射積分公式運算可得出射場分布

二維標準厄米－高斯光束通過圓孔的出射場分布的傳輸近似分析解與文獻［10］、文獻［11］一致．

類似地，可求得二維優美厄米－高斯光束經積分運算通過圓孔的出射場分布

對于光束通過圓環孔的解析結果，利用公式E＝E2（r2）－E2（r1）即可求得相應光束通過圓環孔的光強，而r2，r1分別是圓環孔的外半徑和內半徑．

2 計算機數值模擬

對式（5）、式（7）進行積分計算，應用Matlab分別得到SHGB與EHGB光束通過圓環孔（內半徑r1＝0．5mm，外半徑為r2＝1．0mm）的衍射特性．假設束腰在孔面上，取E0＝1，λ＝632．8nm，ωx＝ωy＝ω0＝1mm．厄米－高斯光束的厄米多項式的微分表達式為則p＝4，q＝6［6］時：

對于SHGB：

由圖2（a）、（b）（I為相對光強）可知，z軸上相對光強的振動變化隨著觀察屏遠離衍射屏（即圓環孔）其振動逐漸消失；從一開始的幾何投影區，到距離孔較遠的菲涅耳衍射區（即近場衍射區域），到相距甚遠的夫瑯禾費衍射區（即遠場衍射區），3個區之間是逐步發生改變的［10］．比較圖2可以發現SHGB光束與EHGB光束通過圓環孔的衍射，在菲涅耳衍射區SHGB的整體光強比EHGB的小；SHGB光束菲涅耳衍射區過渡到夫瑯禾費衍射區對應的z比EHGB光束要大，其原因是SHGB光束光強分布不集中；在夫瑯禾費衍射區，SHGB的整體光強比EHGB的大，并且SHGB衰減相對比較緩慢，而EGHB相對衰減較快，其原因是由兩束光的光強分布差異引起的．

根據圖2，比較圖3（a）、（b）、（c）、（d）（I為相對光強）可知，在菲涅耳衍射區兩種光束的衍射存在明顯差異，EGHB的衍射峰比SGHB的衍射峰多，且整體衍射光強較小，其原因是EGHB光強整體分布比SGHB相應減小．比較圖3（e）、（f）、（g）、（h）可知，在夫瑯禾費衍射區，兩種光束通過圓環孔的衍射圖樣有相近，但仍然存在一定的分布形狀差異，其原因是兩束光的光強分布有較大的差異；其衍射強度都是SHGB衍射光強較大．y軸方向的衍射光強圖樣和分布情況與x軸方向相似，不再以圖表示，其原因是光強分布是一致的．

3 結語

本文用柯林斯公式分析和由Matlab軟件進行數值模擬得到了厄米多項式p＝4，q＝6的標準厄米－高斯光束和優美厄米－高斯光束通過圓環孔的衍射光強分布圖．模擬結果表明：SHGB光束、EHGB光束通過圓環孔的衍射，光強I跟z的關系變化趨勢基本一致，SHGB光束菲涅耳衍射區過渡到夫瑯禾費衍射區對應的z比EHGB光束要大，SHGB衰減比EGHB相對比較緩慢，SHGB整體衍射光強比EHGB要大．在x、y軸方向上SHGB衍射光強始終比EHGB大；兩種光束通過圓環孔的衍射圖樣有相近，但仍然存在一定的分布形狀差異．

［1］ Gu Juguan，Zhao Daomu，Mei Zhangrong，et al．Propagation characteristic of the two－dimensionaal off－axial Hermie－cosh－Gaussian beams through rectangular apertured and misaligned optical systems［J］．Optik ＆Laser Technology，2005（37）：173－179．

［2］ Gu Juguan，Zhao Daomu．Relative phase shift of two－dimensional cosine－Gaussian beams passing through apertured paraxial ABCD optical systems［J］．Optik，2004，115（2）：67－70．

［3］ 顧菊觀，甘亮勤，徐海斌，等．厄米－高斯光束通過雙矩孔的傳輸特性［J］．激光與紅外，2006，36（7）：584－586．

［4］ 徐海斌，甘亮勤，顧菊觀．厄米－高斯光束通過硬邊光闌的自由傳輸特性［J］．激光與紅外，2005，35（10）：779－781．

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［8］ Gu Juguan，Zhao Daomu．Propagation characteristics of Gaussian beams through a paraxial ABCDoptical system with an annular aperture［J］．Journal of Modern Optics，2005，52（8）：1065－1072．

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［10］ 楊平，顧菊觀，張亞萍，等．厄米－高斯光束通過圓孔衍射的兩種計算方法比較［J］．物理與工程，2011，21（5）：20－23．

［11］ 楊平，顧菊觀，張亞萍，等．厄米－高斯光束通過三角形與圓形圍成孔的衍射［J］．廣西物理，2011，32（2）：28－30．

［12］ 張亞萍，顧菊觀，楊平，等．平頂－高斯光束通過圓形與三角形圍成孔的衍射［J］．物理通報，2012（8）：23－25．

［13］ Saghafi S，Sheppard C J R，Piper J A．Characterising elegant and standard Hermite－Gaussian beam modes［J］．Optics Communications，2001（191）：173－179．

［14］ Lu Baida，Ma Hong．A comparative study of elegant and standard Hermite－Gaussian Beams［J］．Optics Communications，2000（174）：99－104．

COMPARATION OF THE CIRCULAR HOLE DIFFRACTION BETWEEN STANDARD HERMITE－GAUSSIAN BEAM AND ELEGANT HERMITE－GAUSSIAN BEAM

Su Tingyan Gu Juguan Cao Jiayan Du Qinhua Hu Kai

（School of Science，Huzhou Normal College，Huzhou，Zhejiang 313000）

Standard Hermite－Gaussian beam（SHGB）and elegant Hermite－Gaussian beam（EHGB）are two special solutions of the Hermite－Gaussian beams．The diffraction characteristics of the two kinds of beams passing through a circular hole are studied by Collins equation．Some numerical simulations are illustrated with Matlab software．The simulation results show that significant differences exist in the circular hole diffraction for the two kinds of beams．Especially，the diffracted light intensity of SHGB is always larger than of EHGB in the xand yaxial direction．These differences are resulted from the different field distributions of SHGB and EHGB．

standard Hermite－Gaussian beam；elegant Hermite－Gaussian beam；circular hole； diffraction

2014－01－26

2013年浙江省大學生科技創新項目（2013R425020），湖州師范學院高等教育研究項目（GJB12011），2012年湖州師范學院第五屆大學生科研項目．

顧菊觀，男，教授，主要從事激光光學、光電材料及物理教學的研究．gjg＠hutc．zj．cn