《數學分析》教學與中學數學銜接困難的成因分析及解決建議

龔小兵

（內江師范學院 數學與信息科學學院，四川 內江 641000）

1 引言

《數學分析》(Mathematical Analysis)是分析學中最古老、最基本的分支.一般指以微積分學和無窮級數一般理論為主要內容，并包括它們的理論基礎（實數、函數和極限的基本理論）的一個較為完整的數學學科.它也是大學數學專業的一門基礎課程[1].事實上，它不但是分析課程（復變函數、實變函數、泛函分析等課程）的基礎，而且《數學分析》中的許多數學思想和方法往往滲透到了復變函數、實變函數和泛函分析等后繼課程中，如果不能清楚理解和掌握《數學分析》中的思想和方法，必會影響數學專業后繼課程的學習，甚至影響學生進一步深造.因此《數學分析》在數學專業課程中占有非同尋常的地位.學好《數學分析》是繼續學習數學專業，甚至繼續深造的必要條件.另外，《數學分析》課程也是數學專業學生進入大學首先接觸的一門專業課程，是學生學完中學數學后首先遇到的一門高等數學課程，因此它的學習效果會直接影響學生繼續學習數學專業的興趣.因此，許多學者對《數學分析》教學做了深入研究，主要在兩個方面：一是對《數學分析》的教學方法進行了研究（如[2-3]）.二是對《數學分析》中具體知識點進行了研究（如[4-5]）.然而，21世紀中國教育發生了兩大重要變化，第一，精英教育和大眾教育成為了中國高等教育發展的兩個方向[6]，也就是接受高等教育的人數大幅增加，進而導致學生平均入學水平下降和大學入學學生相互的差異程度增大[7].第二，初等教育進行了新課程改革,要求中學數學教學要關注數學知識的發生、發展、形成和應用的過程[8]，而其中最大的變化是對中學數學教學內容進行了改革.這兩大變化直接導致新時期數學專業的《數學分析》教學面臨著新的問題，即《數學分析》教學與新課標下高中數學的銜接問題.2008年，潘建輝[9]把大學數學和新課標下高中數學內容進行比較，對大學數學與高中數學的脫節與銜接問題進行了研究，提出了一些策略；2011年，湯瓊等[10]不但比較了大學數學與高中數學的內容，還進一步比較了數學思想方法，提出教學內容方面精簡重復部分，補充刪除部分，加強應用部分，而在數學思想方面注重數學軟件的應用；2012年，孔祥勇等[11]研究了《數學分析》與高中數學內容的銜接問題，并針對這些問題對《數學分析》教學提出了一些建議；2013年，呂輝等[12]從符號差異、內容重復、內容脫節三個方面論述了《數學分析》與中學數學的差異；同樣在2013年，高雪芬[7]在其博士學位論文中更是詳細地闡述了大學數學與中學數學銜接問題，具體為銜接的困難和具體表現、導致銜接困難的因素和解決策略.本文從中國教育模式改革、教材體系、教學目的等方面分析了導致《數學分析》教學與中學數學銜接困難的原因，并針對這些原因提出了通過改革教育模式、改革《數學分析》教材、改革教學內容等方式徹底解決《數學分析》教學與中學數學銜接困難的問題.

2 《數學分析》教學與中學數學銜接困難的成因分析

正如引言所述，國內外學者都意識到了《數學分析》教學與中學數學銜接困難，也對導致其困難的具體原因進行了研究，并提出了一些行之有效的建議.其實導致《數學分析》教學與中學數學銜接困難的深層次原因是中國教育模式轉型導致的.下面詳細分析導致銜接困難的成因.

2.1 中國教育模式改革導致銜接困難

新中國成立后，中國教育正處于百廢待興的關鍵時刻，由于中國是社會主義國家，而蘇聯進行社會主義建設已經取得了巨大的成就，也積累了豐富的經驗，因此中國的教育模式實行一邊倒，采用蘇聯模式.按照蘇聯模式建立高校，聘請蘇聯專家到中國培養教師、上課，由蘇聯專家和在蘇聯專家指導下編寫講義和教材[12]，新課程改革以前的基礎教育和現在的高等教育都是在這個大環境下形成的.新課程改革其本質就是中國教育模式改革.新課程改革以后，基礎教育體系實質已經不是蘇聯教育體系，而是按照歐美體系進行操作，可是高等教育卻沒有進行實質的改革，這就必定導致基礎教育與高等教育出現銜接問題，《數學分析》教學與中學數學銜接困難問題就是其中的一個具體表現.

2.2 教材導致銜接困難

正如2.1節所述，作為中國教育模式改革的具體表現之一，《數學分析》教學與中學數學銜接困難最重要的體現就是《數學分析》教材與中學數學教材的銜接.蘇聯模式強調系統知識，這充分體現在教材的編寫上.如國內現有使用較普遍的《數學分析》教材（《數學分析》（第二版），陳紀修，於崇華，金路編，高等教育出版社：2004；《數學分析》，陳傳璋等編，高等教育出版社，1978；《數學分析》（第三版），華東師范大學數學系，高等教育出版社，2002）都非常注重《數學分析》知識的系統性.如先講《數學分析》的研究工具——極限，而對極限的講解特別注重知識的嚴謹性，都是定量的刻畫，如極限的ε-N，ε-δ定義，并要求會用這些定義證明極限的相關習題和命題.這些證明都要求很強的技巧，特別對不等式的要求很高.再如初等連續函數的定義是在定義了基本初等函數后再給出的，而基本初等函數中就有三角函數和反三角函數，如果不知道反三角函數的定義或者相關性質就無法較好地理解初等函數的定義.再如極坐標在計算重積分時是一個非常有效的工具，如果中學數學沒學極坐標知識，則在使用上述教材進行教學時就很難處理.綜上，要使用上述教材進行《數學分析》教學就必須要有一定系統、有難度、技巧較高的高中數學基礎知識.

隨著新一輪新課程改革啟動，中國基礎教育課程標準也進入了修訂階段，其中當然包括數學課程標準的修訂.新的課程標準更關注學生的學，強調學生的主體地位，引導學生進行思考，強調知識的發生、發展、形成和應用過程[8].其本質可以認為是學習歐美教育模式.此種模式不再把知識的系統性放在第一位，而是循序漸近學習數學知識，讓人人學有用的數學讓職業中學的學生少學一點數學，讓普通高中有愿望升學的學生學多一點數學.所以相應的中學數學教材也不應把知識的系統性放第一位，而是把教材分為必修和選修，雖然必修內容每個高中畢業學生都學過，但是必修內容只是蘇聯教育模式下高中數學教材中的主要部分，與老版本相比刪去了一些內容，如三角函數和差化積和積化和差，反三角函數和極坐標等知識點.并且對如不等式變形等技巧要求降低.

綜上，按照蘇聯教育模式編寫的大學《數學分析》教材與按照歐美教育模式編寫的基礎教育教材存在脫節和知識重復的問題，如《數學分析》教材中需要用的不等式技巧、三角函數及其變形、反三角函數和極坐標等知識點，新課標下的中學數學教材中卻沒有；而本應在《數學分析》中出現的極限、導數、積分等在中學數學教材中卻又重復出現.即中學畢業后進入大學的準大學生其所掌握的數學知識還不能達到《數學分析》要求的數學基礎知識.這是導致《數學分析》教學與中學數學銜接出現困難最重要的一個因素.

2.3 教學目的導致銜接困難

數學新課程改革的目的是通過確定學生的主體地位，強調學生的學，通過數學知識的發生發展過程培養學生的創新精神和實踐能力，通過學生的提問和反思培養學生的思考能力.然而由于高考的壓力，新課程改革的目的很多時候流于形式.因此高考涉及的內容總是以例題或者習題的模式反復練習，高考不涉及的內容有的一帶而過，甚至直接被刪掉不講.如函數零點存在性知識點的教學，新課標要求的重點是讓學生理解零點的存在性，這個知識點的教學目的與《數學分析》的教學目的是一致的，但由于高考試題出題方面的原因，高考中在對這個知識點的考核往往是考核零點的個數，這就導致中學教師在此知識點上教學重心轉移到零點的個數，與《數學分析》的教學目的不一致.所以中學數學的教學很大程度上是以高考為指揮棒進行教學，學生掌握的數學知識都是與高考有關的知識.而《數學分析》的教學是根據教學大綱進行教學，教學大綱是根據《數學分析》內在知識體系和《數學分析》在整個數學專業課程體系中的地位制定出來的，《數學分析》的教學目的是為學習數學專業后繼課打基礎，是為學生進一步深造打基礎，是讓學生了解《數學分析》的知識體系，是培養學生的邏輯思維能力、思辨能力.正因為中學數學的教學目的和《數學分析》的教學目的不一致，其結果必然導致高中畢業生具備的數學基礎達不到《數學分析》需要的基礎，從而導致大學《數學分析》的教學與中學數學銜接困難.

3 對解決《數學分析》教學和中學數學銜接困難的建議

要想徹底解決《數學分析》和中學數學銜接困難問題，就必須進行多方面的改革.

3.1 改革教育模式

只有從整體規劃中國教育模式，才能形成一個科學完整的教育體系，避免銜接困難問題的出現.要么采用前蘇聯教育模式，即過去的教育模式，要么采用歐美模式，即基礎教育進行改革后高等教育也應做相應的改革，不能只改基礎教育，不改高等教育，或者是兩者均改革，但是兩者改革后的教育模式不是同一模式，這樣必定會出現銜接問題.其實自從基礎教育進行新課程改革以后，即采取歐美教育模式后，中國高等教育模式的改革也就啟動了，如現在很多高校的辦學都在向歐美學習，許多歐美教材已經引入國內，這將為解決《數學分析》教學和中學數學銜接困難問題創造大好環境.

3.2 改革《數學分析》教材

雖然很多高校的辦學在向歐美學習，高等教育的教育模式也不完全是蘇聯模式，但是教材的改革卻顯得遲緩，從國內普遍使用的《數學分析》教材版本可以看出，大多數學校由于認識到《數學分析》課程的重要性，都希望給學生打好分析基礎，因此很多院校數學專業在選取《數學分析》教材時都非常重視知識的系統性.因此國內很多高校選用《數學分析》教材時還是選用在蘇聯教育模式下編寫的《數學分析》教材，很少選用歐美教材.而另外一個選用蘇聯模式下編寫的《數學分析》教材的原因是歐美教材雖然能與歐美模式下的中學數學教材有很好的銜接，但是其知識系統性、深度不夠，需要另外配套深度稍高的教材，這必將增加大學生的負擔.所以現在迫切需要對現有《數學分析》教材進行改革.教材改革應為以下兩個方向：一個方向是在現有《數學分析》教材的基礎上加入中學數學刪掉的知識點、技巧、技能，整合成新的《數學分析》教材，特別注意和中學數學銜接.研究型高校或為國家培養基礎理論研究的精英人才的高校或專業可使用這類教材.另外一個改革方向是減弱《數學分析》課程知識的系統性，與中學數學教材無縫接軌.應用型本科院校可采用這種教材改革方式.因為應用型高校的培養目標是培養高級應用型人才，學科教學體系已經不適用于此類數學專業，即對《數學分析》系統性知識要求不高，而需要的是課程單元知識，即將《數學分析》知識分成單元后融入行業或者職業中.這樣的改革剛好符合教育部關于高校轉型改革的思路.解決《數學分析》教學與中學數學銜接困難問題.

3.3 改革教學內容

正如2.3節所述，中學數學教學大多以高考為指揮棒，在數學基礎的掌握方面還有一定的欠缺，達不到《數學分析》要求的數學基礎.因此《數學分析》與中學數學之間存在差距.這就是導致《數學分析》教學和中學數學銜接困難的問題.因此，除了3.2節中改革《數學分析》教材外還可以改革《數學分析》教學內容.一種是學習歐美模式，將《數學分析》和中學數學中間裂痕所涉及的知識移到中學高考后進行考核，即對報考相關專業的考生進行數學加試，通過單獨考試這個環節促進學生在中學階段提前學習這些刪掉的知識、技能和技巧.這種方式需要全國大范圍的招生考試改革；另外一種方式就是在大學現有《數學分析》內容的基礎上增加教學內容，即在開設《數學分析》課程之前開設一門銜接課，補充講解刪掉的知識技能；第三種方式就是讓學生對刪掉的知識技能以自學的形式進行補充；第四是通過減少《數學分析》教學內容，與中學數學接軌.這種方式適合教學型為主的高校或者應用型本科院校.

4 結論

要完全解決《數學分析》與中學數學銜接困難的問題需要從整體出發，高層建甌地設計中國的教育模式，需要教育部高等學校數學類專業教學指導委員會與中學課程標準研制組協同一致才能完成.

〔1〕程民德，何思謙，等．數學辭海（第一卷）[M]．太原：山西教育出版社，北京：中國科學技術出版社，南京：東南大學出版社，2002．

〔2〕葛仁福.基于研究性學習的《數學分析》教學實踐[J].數學教育學報，2013,22（1）：80-82.

〔3〕劉雪英.《數學分析》課程教學方法改革的思考[J].內蒙古師范大學學報（教育科學版），2013，26（1）：126-128.

〔4〕趙宇，黃金瑩，王希圓.《數學分析》中的條件極值問題[J].大學數學，2013,29（2）：102-105.

〔5〕姜功建.Lebesgue積分在《數學分析》中的應用[J].孝感學院學報，2010,30（6）：18-20.

〔6〕潘懋元.精英教育與大眾教育 [J].中國高教研究，2001（12）：16-16.

〔7〕高雪芬.一元微積分概念教學的設計研究[D].上海：華東師范大學，2013.

〔8〕柳笛.高中數學教師學科教學知識的案例研究[D].上海：華東師范大學，2011.

〔9〕潘建輝.大學數學和新課標下高中數學的脫節問題與銜接研究[J].數學教育學報，2008,17（2）：67-69.

〔10〕湯瓊，劉羅華，劉霞文，等.大學數學與高中數學教學銜接的探討[J].湖南工業大學學報，2011,25（5）:92-94.

〔11〕孔祥勇，楊瓊芬，羅守雙.《數學分析》教學與新課標下高中數學的銜接研究[J].綿陽師范學院學報，2012，31（8:）：145-147.

〔12〕顧明遠.論蘇聯教育理論對中國教育的影響[J].北京師范大學學報（社會科學版），2004（1）：5-13.