常微分方程課程建設與教學改革

李文娟

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

1 常微分方程的發展及其重要意義

常微分方程是17世紀與微積分同時誕生的一門理論性極強且應用廣泛的數學學科之一.早期對常微分方程的研究以求通解為主要內容，基本上是理論基礎的建立.之后，人們發現不是所有方程的通解都可以用積分的手段求出的.由此將人們在求通解的研究中解放出來，轉而開始了對常微分方程定解的深入研究，并取得了極大的成績.在對常微分方程有了比較深入且廣泛的研究之后，人們開始追逐常微分方程的解析理論.隨著對常微分方程的解析理論取得了成果，在對常微分方程解的研究的日趨成熟，微分方程進入了定性和穩定理論研究階段，并逐漸地演變成為一門理論性極強的數學學科.微分方程有深刻而生動的實際背景，它從生產實踐與科學技術中產生，而又成為現代科學技術中分析問題與解決問題的一個強有力工具.常微分方程是數學的一個重要分支，是高校本科數學專業的一門基礎課程，是學習偏微分、數學模型、控制論的基礎.近半個多世紀以來，隨著計算機技術的迅速發展，常微分方程的應用不僅在工程技術、自然科學等領域發揮著越來越重要的作用，而且以空前的廣度和深度向經濟、管理、金融、生物、醫學、環境、地質、人口、交通等新的領域滲透，已經成為當代高新技術的重要組成部分.

2 赤峰學院常微分方程課程發展現狀

近幾十年來動力系統及非線性科學得到了迅猛發展,極大地促進了力學、物理學、生物、地理學、機械工程、通訊工程、電力工程和航空航天技術的發展.在新世紀里,我們需要造就一批在動力系統及非線性科學領域不斷開拓前行、能夠將這方面新理論新方法同工程實踐相結合的人才.這將是新世紀理科數學人才培養的任務.這對動力系統及非線性科學起奠基性作用的課程“常微分方程”提出了新的要求.遺憾的是在新形勢下對微分方程的教學改革略顯黯淡，基于赤峰學院數學課程的教學實際和應用型人才培養模式，對微分方程教學進行了探索.近年來，本課程組在敖恩老師的帶領下不斷加強師資和教學條件的建設，努力搞好教學和教改工作，提高教學和科研水平.現在常微分方程課程已成為我院的“優秀課程”.本課程組在敖恩老師的帶領下向“精品課程”的方向努力.

2.1 師資隊伍狀況

《常微分方程》課程組現有教師5名.副教授3名，講師2名，博士研究生1名，課程組長多次被評為優秀教師.課程組成員能較好的運用計算機的各類軟件來輔助教學.每名教師能開兩門以上的課程.課程組的成員在核心刊物發表多篇論文，其中多篇被EI、SCI、美國數學評論檢索.

2.2 教學條件

本課程組把全國統編的《常微分方程》教學大綱與本院的實際情況相結合形成自編的教學大綱.改編后的大綱既符合全國大綱的要求又能切合本校學生的實際情況.本課程組制定的教學計劃是根據不同的培養目標（蒙本、漢本、計算機專業）制定不同的教學計劃，并嚴格按照計劃執行進度表，完成任務.教學手段采取板書與多媒體輔助教學.還有齊備的試題庫、課后題解庫、學習指導書等.

3 教學方法與教學模式的改革

3.1 構建模塊式的教學模式

本課程組現用教材共六章內容.為照顧不同層次學生，確保教學質量，在新大綱要求下，主講前四章對后兩章進行泛講.優化組合章節內容，各章節內容中有方法相同的或相似的內容，安排在一起，這樣可以提高教學效果，節省教學學時.例如第三章一階微分方程組與第四章n階線性微分方程許多定理和公式可以共用的.（因為n階線性微分方程是一階微分方程組的特例）.因此把教學內容分成模塊易于教學.基礎模塊:(模塊一:初等積分法、模塊二：基本定理、模塊三：一階微分方程組、模塊四：n階線性微分方程).拓展模塊(模塊五：定性簡介與穩定性理論,模塊六:一階偏微分方程初步).基本模塊面向全體學生，拓展模塊面向對本課程特別感興趣的學生.

3.2 整合教材內容

先進的基礎教材能夠使學生順利地進入其后的現代專業理論的學習而進行前沿性研究.教材的先進性還必須體現在它有很好的可讀性,要有清澈的理論,準確的語言,明晰的脈絡,使全書顯得簡練、生動而明達,不感到冗繁而艱澀.合理選擇教科書和參考書是搞好教學改革比較關鍵的一環.學生的創新意識首先是從主動查閱文獻開始.根據我院學生的實際情況,以東北師范大學編寫的《常微分方程》為教材,王高雄等編的《常微分方程》作為主要參考用書.本課程組認為,常微分方程課程以基礎模塊（模塊一:初等積分法.模塊二：基本定理.模塊三：一階微分方程組.模塊四：n階線性微分方程）為主要教學內容.對一些證明難度較大的定理,例如解對初值的連續依賴性和可微性定理,只介紹條件結論,不作證明.這是因為對我校學生而言這些定理的證明在學習上有一定的難度,即使詳細講解,教學效果也不理想.拓展模塊(模塊五：定性簡介與穩定性理論,模塊六:一階偏微分方程初步)面向一些對本課程特別感興趣的學生.

3.3 采用多樣化教學方式,利用啟發式師生互動教學

采用多樣化教學方式，提高學生的學習積極性是提高教學質量的關鍵.自常微分方程立項為校級優秀課程以來，在教學方法上我們做了如下改革：板書與多媒體課件相結合.為體現該課程在理論方法與建模、計算機軟件相互滲透，提高學生知識的運用能力，在學習第一章第八節時，結合我院數學軟件Matlab的教學，在方程的求解與解的繪圖時設計了一些上機習題.這種改革，即可以應用板書來解決數學推理時思維的“時滯現象”，也可應用多媒體更好地展示圖形來研究解的性態.選擇部分簡單的教學內容，讓學生在教師的指導下備課、講課.由于我校是師范院校，將來會有一大批學生從事教學工作，所以他們的積極性會很高，反映良好.這樣還可以提高他們的積極性，開發他們的分析思維能力.可以使學生由被動接受向主動好學轉變.引導他們自己得出一些重要結論，提高學生分析問題和解決問題的能力.

3.4 教學科研相結合,學術前瞻

課程組既注重教學大綱的要求又注重與本學科相關的科研方向的結合,使學生通過這門課程的學習對學科的前沿知識有一定的了解.在教學的最后環節用少量的課時和學術講座把第五章定性和穩定性理論簡介及第六章一階偏微分方程初步介紹給學生,使學生學到的知識具有學術前瞻性,留給學生一些探索與發展的空間.讓課程的結束成為他們深入鉆研的開始,吸引他們繼續在這一領域前行.也為他們將來的考研或學術研究打好基礎.

3.5 培養學生的創新意識數學建模是一種途徑

隨著全國大學生數學建模競賽不斷受到社會關注，常微分作為基礎課程得到更廣泛的應用.講課時選取一些小的微分方程模型，如單擺方程、生態學中的生物種群模型等穿插在教學中，讓學生從實際問題出發，建立微分方程，運用微分方程的知識解方程，并對發生的現象作出解釋.例如在講變量分離法時，可以讓學生運用所學的微分方程建立馬爾薩斯人口模型，并用變量分離法求解該模型，利用所得結果對人口的發展做一個預期的推測.還有物體的冷卻問題:桌上一杯滾燙的水，什么時間后可以喝.類似這樣一些簡單的方程模型可以解決一些實際問題.引導學生建立各式各樣的數學模型,并提出求解的思想和方法,獲得具體問題的解,再反過來解釋這些問題.這樣不僅使學生感受到微分方程的魅力，還有助于提高學生解決實際問題的能力和培養學生的創新能力.

3.6 考核方式的改革

多數高校的考核方式如下：綜合成績=平時成績30%+期末成績70%或綜合成績=平時成績40%+期末成績60%.平時成績包括課堂表現、遲到、早退、曠課、作業等.為了使學生平時就努力學習,不臨考前突擊應付考試,為了使考試能更加科學的反應學生的真實能力，為了使學生能更好的融會貫通所學的知識，需要在平時教學中做好階段性測試，注意學生平時作業的表現.本課程組的考核方式如下：綜合成績=平時成績30%+期中成績35%+期末成績35%.平時成績包括遲到、早退、曠課、課堂表現、課外作業.(如學生遲到、早退、曠課、課堂表現不佳、課外作業不按時完成,則扣分.)這種考核方式的優勢在實踐中已初見端倪.

4 結束語

隨著動力系統和非線性科學的迅猛發展，本人在教學的過程中體會到作為一名教師應與時俱進，不斷提升自身的教學素養.針對本課程特點，轉變陳舊的教學觀念，用發展的眼光革新教學內容與方法.不但教學生會學，還培養學生會用、會教的能力.

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