彈性介質中輸流碳納米管的熱彈性振動分析

梁 峰, 田 健, 金 瑩, 包日東

(沈陽化工大學 能源與動力工程學院， 遼寧 沈陽 110142)

彈性介質中輸流碳納米管的熱彈性振動分析

梁 峰, 田 健, 金 瑩, 包日東

(沈陽化工大學 能源與動力工程學院， 遼寧 沈陽 110142)

應用非局部黏彈性歐拉梁模型研究彈性介質中輸流碳納米管在不同溫度環境中的熱彈性振動和穩定性問題.對于包含有小尺度項和熱效應項的控制方程，利用復模態法計算系統的固有頻率和臨界流速，并用平均法得到脈動內流作用時管道參數振動穩定性邊界的解析表達式，討論了非局部效應、熱效應及彈性介質對系統穩定性的影響.結果表明：高溫環境(高于室溫)中納米管系統的固有頻率、臨界流速和參數共振穩定性都比低溫環境(低于或等于室溫)中低，而溫度變化量、非局部效應和彈性介質等在不同溫度環境中對納米管系統的影響也不同.

輸流碳納米管； 熱彈性振動； 溫度環境； 非局部效應； 彈性介質

納米材料作為一種高性能優質材料，已經在國防工業、農業及民生各個領域得到了廣泛應用，而1991年才被發現的碳納米管[1]，被看作是納米材料中最重要的成員.研究表明，碳納米管具有十分優異的力學、電磁學和化學性能，其楊氏模量極高，可達1.0 TPa，強度是鋼的100倍，是已知材料中最高的，但密度僅為鋼的1/6，無論是強度還是韌性都遠遠優于任何已知纖維材料.碳納米管作為復合材料的增強體，表現出了良好的強度、彈性、抗疲勞性，同時還具有耐強酸、強堿，在空氣中973 K以下基本不被氧化等優良性質.目前，碳納米管已經在物理、化學、生物、電子和材料等領域得到了廣泛的研究和應用，對碳納米管的力學研究已在國際上形成了研究熱點[2-5].

作為一種典型的小尺度高流速流固耦合系統，輸流碳納米管常常會表現出極其豐富的動力學現象.Yoon等[6]和 Reddy等[7]應用單彈性梁模型研究了輸流碳納米管的自由振動和結構不穩定性，證明了納米管道內部的高速流體對管道的振動頻率和振幅衰減率有明顯影響；基于此項研究，Wang等[8]應用多彈性梁模型研究了輸流雙壁碳納米管的固有頻率和屈曲失穩特性，發現其共振頻率取決于流體流速，當流速達到一定值時，碳納米管就會發生屈曲失穩；Yan等[9-10]的研究結果也證明了內部高速流體和層間的范德華力是引起輸流多壁碳納米管失穩的重要原因.總之，研究碳納米管固體力學行為的文獻很多，而關于碳納米管內流體流動問題的研究則較少，有關流固耦合下，尤其是脈動內流作用下，碳納米管的動力學行為以及振動穩定性方面的研究報道更少.隨著納米科技的發展，輸流納米結構在工業工程、生物、醫療等領域的應用日益廣泛，其力學問題也應該得到廣泛關注.這也是本文研究的意義所在.

碳納米管的納米級壁厚使得其對溫度具有相當的敏感性.而輸流碳納米管又常常工作在各種溫度環境中，因此，深入研究熱效應對輸流碳納米管動力學特性的影響具有重要意義.目前，有部分文獻對輸送定常流碳納米管的熱彈性振動問題進行了研究.其中，Chang等[11]研究了熱效應對輸流單壁碳納米管屈曲穩定性的影響；Zhen等[12]研究了生物軟組織中輸流雙壁碳納米管的熱彈性振動問題；Ansari等[13]則對彈性介質中輸流單壁碳納米管在考慮熱效應時的非線性振動問題進行了研究.實際上，不論是納米管還是大尺度管道，其內部流體動力源大多為脈動形式，因此，絕對的定常內流只是一種理想情況，而絕大多數管內流態都是脈動的[14].但目前尚未發現有對脈動流作用下碳納米管的熱彈性參數振動問題開展的研究.鑒于此，本文應用非局部黏彈性歐拉梁模型研究彈性介質(模擬周圍生物組織液、化學溶劑等環境介質)中輸送脈動流的碳納米管在不同溫度環境中的熱彈性振動問題，重點分析熱效應、非局部效應及彈性介質參數對系統固有頻率、臨界流速和參數振動穩定性的影響.所得結論可為工程輸流納米機械的設計分析提供一定的理論基礎.

1 運動微分方程

圖1所示為彈性介質中兩端固定輸流碳納米管的力學模型.假定管道只發生橫向面內振動y(x,t)，管道軸線沿x軸，t為時間變量，K為彈性介質參數.則由非局部彈性和熱彈性理論，并根據管道和流體單元的力和力矩平衡，可以得到溫度環境中輸流碳納米管的橫向振動微分方程為[11]

(1)

式中，c、E、I、L、m分別為管道的Kelvin-Voigt型黏彈性系數、楊氏模量、截面慣性矩、長度、單位長度的質量；Nt為由熱效應引起的軸向常力；e0a為表征納米尺度效應的非局部參數;M為管內流體單位長度的質量；U為流速.若Nt=e0a=0，則方程(1)將退化為經典的歐拉型方程.

根據熱彈性力學理論，軸向力Nt可表示為[11,15]

(2)

式中，v為管材泊松比，αx為管道軸向熱膨脹系數，ΔT為相對室溫的溫度變化量.

引入無量綱變量和參數

(3)

則方程(1)可轉化為如下無量綱形式

(4)

式中，()′和(·)分別表示?()/?ξ和?()/?τ.

圖1 彈性介質中兩端固定輸流碳納米管模型

2 固有頻率和臨界流速

ηn(ξ，τ)=φn(ξ)eiωnτ

(5)

式中，ωn和φn分別為第n階固有頻率和相應的振型函數.本文研究小阻尼情況，即黏彈性系數α≤1.將式(5)代入方程(4)中可得

(6)

兩端固定的邊界條件為

φn(0)=φn(1)=0，φn′(0)=φn′(1)=0

(7)

方程(6)是個4階齊次常微分方程，設其解為

φn(ξ)=C1n(eid1nξ+C2neid2nξ+

C3neid3nξ+C4neid4nξ)

(8)

式中，djn(j=1,2,3,4)滿足下面的特征方程

(9)

將式(7)代入式(8)中可得到關于C1n～C4n的線性方程組

(10)

上式若存在非零解,則系數矩陣行列式為零，由此條件及式(8)～(10)即可解出ωn和φn.

下面通過數值算例來分析溫度環境對輸流碳納米管固有頻率和臨界流速的影響.算例中的碳納米管采用以下幾何和物理參數[11,15]：納米管密度ρt=2.3 g/cm3，外半徑Ro=3.5 nm，壁厚h=0.34 nm，長徑比L/(2Ro)=100，E=1 TPa，v=0.3，e0a=70 nm，內流密度ρw=1 g/cm3，彈性介質參數K=0.01 MPa.由Jiang等[16]的研究可知:納米管的熱膨脹系數在低溫環境(低于或等于室溫)中為負值，而在高溫環境(高于室溫)中為正值.本文低溫環境中取αx=-1.6×10-6K-1，高溫環境中取αx=1.1×10-6K-1[17].

圖2給出了高溫和低溫環境中，不同溫度變化量下系統第一階固有頻率ω1(最低共振頻率)隨流速的變化.圖中，當u=0時，ω1為不同溫度變化量下空管的第一階固有頻率.而隨著流速的增大，固有頻率逐漸降低直至為零，此時系統將發生屈曲失穩(管道屈曲變形)，而此時的流速即為臨界流速ucr.從圖2中可以看出：在不同的溫度環境中，納米管系統固有頻率和臨界流速的變化規律是截然不同的.在低溫環境中，考慮熱效應時其固有頻率(對于一個給定的流速值)和臨界流速要比不考慮熱效應(ΔT=0)時有所增大.而且，隨著溫度變化量的增加，固有頻率和臨界流速都會增大；而在高溫環境中，以上變化規律正好相反，尤其是在相同的溫度變化量下，高溫環境中的納米管臨界流速要比低溫環境中低，說明系統在高溫環境中的屈曲穩定性要比低溫環境中弱.輸流碳納米管的這種對周圍溫度環境的依賴性是其重要特性之一，應引起研發和設計人員的重視.

圖2 兩種溫度環境中不同溫度變化量ΔT下輸流碳納米管第一階固有頻率ω1隨流速u的變化

3 脈動內流作用時的動態穩定性

考慮脈動內流情況，設方程(4)中受擾流速為

u=u0[1+μcos(ωτ)]

(11)

式中，u0為平均流速，ω和μ分別為無量綱脈動頻率和幅值(μ≤1).將式(11)代入方程(4)后用兩振型Galerkin展開式

(12)

進行離散化處理，式中，qi(τ)為廣義坐標，Ψi(ξ)為兩端固定梁的振型函數.則由振型的正交性并經適當變換后可得一階微分方程組

μB2qcos(ωτ)-αB3q

(13)

(14)

z2i-1=aicosβi,z2i=aisinβi,i=1,2

(15)

當n1=1/2時，系統平均化方程為：

(16)

(17)

若系統不滿足上式條件，則將發生第一階主參數共振.

仍選取上節數值算例中的碳納米管來分析其在脈動內流作用時的參數振動穩定性，其黏彈性系數和管內平均流速分別取為：c=2.5×10-10s，U=240 m/s.圖3給出了不同溫度環境中由式(17)確定的ω-μ平面上第一階主參數共振邊界曲線隨溫度變化量的變化.其中曲線內部為發生參數共振區域，外部為穩定區域.由圖3可見:不同溫度環境中溫度變化對穩定性區域的影響是截然不同的.首先，在高溫環境中，相比不考慮熱效應(ΔT=0 K)的情況，考慮熱效應時管道共振區域向低頻方向移動，表明共振頻率降低，而且共振區域的面積明顯增大，說明納米管發生參數共振的頻率范圍增大，也即穩定性降低；而在低溫環境中剛好相反，考慮熱效應時不僅共振頻率升高，而且系統穩定性也比不考慮熱效應時更高.其次，相比低溫環境，高溫環境中相同參數下(如：ΔT=10 K或20 K)納米管的共振頻率更低，共振區域面積也更大，說明納米管在高溫環境中的穩定性要比低溫環境中弱.此外，隨著溫度變化量ΔT的增加，在高溫環境中，共振頻率逐漸降低，而且共振區域也逐漸增大，說明管道穩定性降低；而在低溫環境中，不僅共振頻率升高，而且共振區域也減小，說明管道穩定性增強.可見，周圍溫度環境以及溫度變化都對輸流碳納米管的參數共振穩定性有很重要的影響.

圖3 兩種溫度環境中輸流碳納米管穩定性區域隨溫度變化量ΔT的變化

圖4分析了不同溫度環境中納米管穩定性區域隨非局部參數的變化(ΔT=20 K).圖4中除了再次反映出相同參數下納米管在高溫環境中的穩定性要比低溫環境中弱外，還可以發現，無論在哪種溫度環境中，增大非局部參數值都會降低共振頻率，還會增大共振區域，使管道穩定性降低.但是相比之下，改變相同的非局部參數值在高溫環境中對管道穩定性的影響程度遠大于在低溫環境中.圖5則分析了不同溫度環境中納米管穩定性區域隨彈性介質參數的變化(ΔT=20 K).由圖5可見:不論在哪種溫度環境中，減小介質參數都會降低管道共振頻率，同時增大共振區域，降低納米管穩定性，但是改變相同的介質參數值在高溫環境中對管道穩定性的影響程度遠大于在低溫環境中.圖4和圖5的結論表明:系統參數對管道穩定性的影響程度也會隨著溫度環境的改變而發生變化，諸如非局部效應和彈性介質等，在高溫環境中對納米管穩定性的影響會比在低溫環境中更明顯.這也再次體現了輸流碳納米管參數共振穩定性對周圍溫度環境的依賴性.

綜上可知，輸流碳納米管所處的溫度環境對其穩定性有重要的影響.而綜合前面的分析可知，高溫環境對納米管的穩定性是相當不利的.這是輸流碳納米管一個很重要的特性.

圖4 兩種溫度環境中輸流碳納米管穩定性區域隨非局部參數e0a的變化

圖5 兩種溫度環境中輸流碳納米管穩定性區域隨彈性介質參數K的變化

4 結 論

應用非局部黏彈性歐拉梁模型研究了不同溫度環境中輸流碳納米管的熱彈性振動和穩定性問題.通過文中分析，可得到以下結論：

(1) 不同的溫度環境和溫度變化對納米管的熱彈性振動和穩定性有很大影響.

(2) 在高溫環境中，納米管系統的固有頻率和屈曲失穩臨界流速不僅比無熱效應時和低溫環境中都要低(屈曲穩定性低)，而且其值還會隨著溫度變化量的增加而降低，而在低溫環境中這些變化規律正好相反.

(3) 納米管在高溫環境中的參數振動穩定性要比低溫環境中弱；提高溫度變化量，在低溫環境中可以增強系統穩定性，而在高溫環境中卻會降低系統穩定性；增大非局部參數和減小彈性介質參數都會降低系統的穩定性，但在高溫環境中這種影響會更明顯.

總之，高溫環境對輸流碳納米管的振動穩定性是很不利的.因此，在進行輸流納米機械的設計時，應著重考慮實際工況的溫度條件，盡量避免長時間高溫工作，以保證納米管安全、穩定地工作，延長納米管的壽命.

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Thermoelastic Vibration of a Fluid-conveying Carbon Nanotube Embedded in Elastic Mediums

LIANG Feng， TIAN Jian， JIN Ying， BAO Ri-dong

(Shenyang University of Chemical Technology, Shenyang 110142, China)

In this paper,a nonlocal viscoelastic Euler-Bernoulli beam model is developed to investigate the thermoelastic vibration and stability of a fluid-conveying carbon nanotube(CNT)embedded in elastic mediums under different temperature environments.The governing equation with small scale and thermal effect terms is solved by the complex mode and the averaging methods and the natural frequency,critical flow velocity and analytical expression of the parametric resonance boundary are obtained.The influences of nonlocal,thermal effects and the elastic mediums on the stability of the system are discussed.The results obtained show that the natural frequency,critical flow velocity and parametric resonance stability of the CNT at high temperatures(higher than room temperature)are all lower than those at low temperatures(lower than or equal to room temperature),and the temperature change,nonlocal effect and elastic mediums have different impacts on the CNT at different temperatures.

fluid-conveying carbon nanotube; thermoelastic vibration; temperature environment; nonlocal effect; elastic medium

2015-01-28

國家自然科學基金項目(51275315)；遼寧省教育廳科學研究一般項目(L2013160)

梁峰(1979-)，男，遼寧撫順人，講師，博士，主要從事非線性動力學研究.

2095-2198(2015)03-0257-06

10.3969/j.issn.2095-2198.2015.03.015

O326

A