有限可解群不可約特征標的非零元素

何立國, 張曉盼

(沈陽工業大學 理學院數學系， 遼寧 沈陽 110870)

有限可解群不可約特征標的非零元素

何立國, 張曉盼

(沈陽工業大學 理學院數學系， 遼寧 沈陽 110870)

對于有限可解群G,元素g∈G被稱作是G的一個非零元，如果對于G的任一不可約特征標χ均有χ(g)≠0.有公開問題斷言:可解群G的非零元素均在G的極大冪零正規子群(Fitting子群)里.我們利用群作用理論及正則軌道的方法證明了:如果可解群G的 Sylow 2-子群沒有因子群同構于圈積Z2wrZ2，那么此猜想對G成立.

可解群； Fitting子群； 特征標

本文中利用Isaacs I M的書[4]作為標準符號和特征標論結果的主要出處.

在本文中,證明了下述結果:

定理A 如果可解群G的一個Sylow 2-子群沒有因子群同構于圈積Z2wrZ2,那么不等式V(G)≤F(G)成立.

1 預備結果

下面引理列出V(G)的一些基本性質.

引理1[3]假定G是一個有限可解群，V(G)是其強非零子群.那么

(1)V(G)是G的一個特征子群.

(2) 若G是非交換群，則V(G)是G的一個真子群.

(3) 若N是G的一個正規子群,則V(G/N)在G中的原象包含V(G).

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引理2 假定V是一個特征為q的完全可約忠實p-模,此處P是一個p-群且(p,q)=1.如果P沒有因子群同構于圈積ZpwrZp,則P在V里有一個正則軌道.

引理3[3]設M≤N是G的正規子群,如果θM=eη,θ∈Irr(N)，η∈Irr(M)及e是一個正整數,那么存在χ∈Irr(G)滿足χ(a)=0對所有的a∈M-N.

2 主要結論

定理A 如果可解群G的一個Sylow 2-子群沒有因子群同構于圈積Z2wrZ2,那么不等式V(G)≤F(G)成立.

證明: 假定G是此猜想的極小反例.對于G的一個正規子群K,如果K/Φ(G)或K/Z(G)是冪零的,則K也是冪零的.因此,可以假定Φ(G)=Z(G)=1.設M1,M2,…,Mn是G的非平凡正規子群,且Ki=Core(Mi),它是Mi在G中的所有共軛的交.

V((G/N)×(G/Kn))≤

V(G/N)×V(G/Kn),

V(G/N)≤F(G/N)，

V(G/Kn)≤F(G/Kn),

可得V((G/N)×(G/Kn))是冪零的，故其在G中的原象亦冪零.又V(G)嵌在V((G/N)×(G/Kn))在G的原象中,有V(G)≤F(G),矛盾.因此n=1,且G以共軛的方式忠實傳遞地作用在H1的共軛類集上.注意到H1是G的極大子群,得到G是一個本原可解置換群.由文獻[7]可得G是F(G)與H的半直積,即G=F(G):H,Fitting子群F(G)是G的唯一極小正規子群,它是一個初等交換p-群.

因為G是極小反例，得N=V(V(G))是冪零的.又因為Φ(N)=Φ(G)=1,得N是唯一極小正規子群.顯然N是一個初等交換p-群.可得V(G/N)是冪零的，故V(G)/N是冪零的.因此,記V(G)=P:Q，此處P≤N是一個正規Sylowp-子群且Q是V(G)的一個冪零Hall子群.Q在P上的共軛作用是忠實的,否則核K是非平凡的,且K∩Z(Q)≠1(因Q冪零).這意味著Z(V(G))是非平凡的,然而這與G的極小正規子群唯一性矛盾.

由于Φ(P)≤Φ(G)=1,可得P是初等交換群.進一步可得N≤P≤F(G)=N,故N=P,這是因為F(G)是G的唯一極小正規子群.

由文獻[1]可知：所有G的非零元模F(G)的象是2-冪階的,這些非零元模F(G)都在V(G/F(G))的Sylow 2-子群QF(G)/F(G)中， 可得冪零群Q是由2-冪階元生成的，故它是2-群.得V(G)=F(G):Q,且Q是一個2-群.易見V(G)≤F2(G).此處F(G)是一個初等交換p-群.

若p=2,則V(G)也是一個2-群，因而是個冪零群,這是一個矛盾，因為G是一個反例.

[1] Isaacs I M,Navarro G,Wolf T R.Finite Group Elements where no Irreducible Character Vanishes[J].J.Algebra,1999,222:413-423.

[2] Moreto A,Wolf T R,Orbit Sizes.Character Degrees and Sylow Subgroups[J].Adv.Math.,2004,184:18-36.

[3] HE L G.Notes on Non-vanishing Elements of Finite Solvable Groups[J].Bull.Malays.Math.Sci.Soc.，2012，35(1):163-169.

[4] Isaacs I M.Character Theory of Finite Groups[M].New York:Academic Press,1976:198-216.

[5] Manz O,Wolf T R.Representations of Solvable Groups[M].Cambridge:Cambridge Univ.Press,1993:80-81.

[6] Zhang J P.A Note on Character Degrees of Finite Groups[J].Comm.in Algebra,2000,28(9):4249-4258.

[7] Huppert B.Endliche Gruppen I[M].Berlin-Heidelberg-New York:Springer-verlag,1967:182-183.

Non-vanishing Elements of Irreducible Characters of Solvable Groups

HE Li-guo， ZHANG Xiao-pan

(Shenyang University of Technology, Shenyang 110870, China)

LetGbe a finite solvable group.The elementg∈Gis said to be a non-vanishing element ofGifχ(g)≠0 for any irreducible characterχofG.It is conjectured that all of non-vanishing elements ofGlie in its Fitting subgroupF(G).Applying group action theory and regular orbit method,we prove that this conjecture is true for the solvable groupGwhich isZ2wrZ2-free.

solvable group; Fitting subgroup; character

2014-05-29

何立國(1967-)，男(回族)，黑龍江齊齊哈爾人，教授，博士，主要從事有限群及其特征標理論的研究.

2095-2198(2015)01-0088-03

10.3969/j.issn.2095-2198.2015.01.018

O152.1

A