具有Eckart勢的Schr?dinger方程的任意l波解析解

安 博

(1.渭南師范學院物理與電氣工程學院物理系，渭南 714099; 2.陜西省X射線檢測與應用研究開發中心, 渭南 714099)

具有Eckart勢的Schr?dinger方程的任意l波解析解

安 博1, 2

(1.渭南師范學院物理與電氣工程學院物理系，渭南 714099; 2.陜西省X射線檢測與應用研究開發中心, 渭南 714099)

Eckart勢； 完全量子化規則； Greene-Aldrich近似

1 引 言

由于精確解包含了幾乎所有的量子信息，所以其在量子計算中具有非常重要的作用，但是只有極少簡單的量子系統具有精確解．目前人們已經發展了許多尋找精確解的有效方法，如：因式分解[1]、超對稱[2,3]、分離變量[4]和SWKB[5]等方法，解決了如P?schl-Teller勢[6]、雙環狀振子勢[7]、Makarov勢[8]、類Quesne環狀球諧振子勢[9]等物理模型．

Eckart勢作為量子力學中一個重要的指數型可解勢，首先于1930年被Eckart[9]提出．由于其在物理[10]和化學物理[11]方面的廣泛應用，研究者探討了具有Eckart勢的Schr?dinger方程、Klien-Gordon方程和Dirac方程的基態解[12-14]．但這些研究都被限制在方程的s波解．在上述研究基礎上，本文提出采用Greene-Aldrich法對離心項近似，使用完全量子化規則計算了具有離心項的Eckart勢的Schr?dinger方程l(l≠0)波解析解，并分別討論了基態和激發態下，勢能范圍參數λ和勢阱深度η對具有不同角動量量子數的能量本征值的影響以及能量本征值和徑向量子數n與角動量量子數l之間的關系．

2 完全量子化規則

一維Schr?dinger方程可表示為：

(1)

式(1)可以寫成一個非線性Riccati方程：

φ(x)2

(2)

(3)

(4)

上式第二項可表示為：

π

(5)

將其代入式(3)得到：

π=nπ

(6)

若在三維空間中式(6)可表示為：

π

(7)

方程(6)和(7)被稱作完全量子化規則[17-20]．

3 Eckart勢的l波解析解

三維空間中Eckart勢表示為[9]：

(8)

(9)

為簡化表達式，做以下變量替換：

V2=λ2δ，V1=λ2γ

(10)

式(9)可另寫為：

V(r)=V2y2+V1y

(11)

通過解方程Enl=V(r)得到兩個轉折點的關系：

(12)

將新變量代入基態非線性Riccati方程(2)得：(為簡單下面選取自然單位?2=M=1)

(13)

由于基態φ0(r)只有一個零點且無極點，則其一定是y的線性函數，根據Sturm-Liouville定理[17]，令φ0(r)=C1y+C2(C1>0)，代入式(13)得：

(14)

波矢k(r)可表示為：

將其代入式(7)的第一個積分中，得：

(15)

用E0替代式(15)中的Enl，得：

(16)

根據完全量子化規則，將式(15)和(16)代入式(7)，得：

(17)

其解為：

(18)

為進一步研究能譜性質，圖1(a)和(b)分別表示基態(n=0)和激發態(n=1)具有不同角動量量子數的能量本征值和勢能范圍參數λ之間的關系．可以看出，當l=0時能量曲線被強烈束縛在一個λ相對較寬的范圍內，隨著l增大，能量的束縛范圍越來越小，尤其當l=10時，能量被束縛在一個λ相對極小的范圍內，此時引力勢程較短．總言之，隨自旋量子數l的增大，能量被束縛的范圍變小，l導致能量對λ變化敏感，因此λ的選擇具有極小范圍．圖2(a)和(b)分別表示基態和激發態具有不同角動量量子數的能量本征值和勢阱深度η之間的關系．可以看出，隨著勢阱深度的增加，能量先増后減．圖3表示能量隨徑向量子數n和角動量量子數l的變化關系．可以看出，具有相同l時，能量隨n的增大而增大；具有相同n時，能量隨l增大而增大．

圖1 具有不同角動量量子數的能量本征值和λ之間的關系(σ=0.025，η=0.00005)(a) 基態(n=0)(b) 第一激發態(n=1)Fig. 1 The variations of energy eigenvalue for various values of l as a function of the λ (σ=0.025，η=0.00005)(a) ground state(n=0)(b) first excited state(n=1)

圖2 具有不同角動量量子數的能量本征值和勢阱深度η之間的關系(σ=η=0.025)(a) 基態(n=0)(b) 第一激發態(n=1)Fig. 2 The variations of energy eigenvalue for various values of l as a function of the η (σ=0.025，η=0.00005)(a) ground state(n=0)(b) first excited state(n=1)

圖3 能量本征值與n和l之間的關系Fig. 3 Relations of n and l with energy eigenvalue

4 結 論

本文采用完全量子化規則和Greene-Aldrich近似法研究了具有離心項的Eckart勢的Schr?dinger方程，得到其任意l波解析解．討論了勢能范圍參數和勢阱深度對Eckart勢基態和激發態能譜的影響，結果表明：(1) 隨l增大，能量被束縛的范圍變小，引力勢程減小；(2) 隨勢阱深度增加，能量先增后減；(3)n和l增大引起能量本征值增大．

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Analytical solution to the arbitraryl-wave bound state
of the Schr?dinger equation for the Eckart potential

AN Bo1, 2

(1.Department of Physics, Weinan Normal University, Wei’nan 714099, China;2.Center of Ray Detection and Application of Shanxi, Wei’nan 714099, China)

The Schr?dinger equation including Eckart potential with centrifuge term was investigated using the proper quantization rule approach for any states. Setting the proper quantization rule and using Greene-Aldrich approximation, the energy spectra of Eckart potential can be determined from its ground state energy only. Finally, we discussed (1) the influences of the range of potentialηand the depth of potentialλon, respectively, the ground and first excited states for variousl, and (2) the relations of radial quantum numbernand angular quantum numberlwith energy eigenvalue.

Eckart potential; Proper quantization rule; Greene-Aldrich approximation

2014-07-27

國家自然科學基金青年科學基金(11304230)；渭南師范學院特色學科建設項目(14TSXK06)

安博(1981—), 男，陜西省渭南市人，碩士，講師，從事量子多體理論研究.E-mail: mranbo@126.com

103969/j.issn.1000-0364.2015.08.021

O431.1

A

1000-0364(2015)08-0643-04