利用WBEPM模型和穩定變分法計算氦原子的極化率和色散系數

黃時中, 鄧澤森, 張 勇

(安徽師范大學物理與電子信息學院, 蕪湖 241000)

利用WBEPM模型和穩定變分法計算氦原子的極化率和色散系數

黃時中, 鄧澤森, 張 勇

(安徽師范大學物理與電子信息學院, 蕪湖 241000)

以最弱受約束電子勢模型(WBEPM)理論為基礎, 建立了計算氦原子多極動態極化率和相互作用色散系數的穩定變分方法. 導出了該方法中所涉及的矩陣元和線性方程組的解析表達式. 作為應用, 具體計算了基態氦原子的極化率和兩體色散系數, 將計算結果與用其他方法所得到的結果進行了比較, 數據基本一致.

氦原子; WBEPM; 穩定變分方法; 極化率; 色散系數

1 引 言

隨著激光冷卻和囚禁技術的發展以及Bose-Einstain凝聚在若干堿土金屬原子體系中的實現, 人們越來越關注堿土金屬原子的極化率以及原子間相互作用色散系數的研究. 2007年, Mitroy 和 Zhang[1-3]發表3篇系列論文, 較全面地論述了堿土金屬原子間相互作用色散系數的計算方法, 具體計算了若干激發態堿土金屬原子與基態H 和 He的相互作用色散系數; 2009年, Yang和Tang等[4]以Tang-Toennies (TT)勢模型為基礎, 利用色散系數(C6、C8和C10)分析了基態Ca2以及Ca-RG (RG=He, Ne, Ar, Kr, Xe)的相互作用勢; 2010年, Tang和Mitroy等[5]采用變分Hylleraas方法和半經驗近似方法計算了Li+與惰性氣體(He, Ne, Ar, Kr, Xe)之間的相互作用色散系數；2011年, Jiang和Kar等[6]采用屏蔽庫侖勢模型系統地計算了雙電子正離子Li+、Be2+、B3+、 C4+、N5+和O6+的極化率; 2012年, Tang等[7]高精度計算了類氫離子基態的極化率以及H-H和H-He+相互作用色散系數.

盡管這些研究工作已取得了重要進展, 但目前的理論計算結果的精度還有待提高. 2008年, Masili等[8]將研究多光子電離問題中所采用的穩定變分方法引入到原子極化率和相互作用色散系數的計算中, 提出了計算原子極化率和相互作用色散系數的穩定變分方法, 具體計算了氫原子的極化率以及兩體和三體相互作用色散系數, 得到了目前精度最高的氫原子極化率和相互作用色散系數, 并將其視為原子間相互作用色散系數的“精度標桿”.

2011年, Huang和Sun[9,10]以模型勢理論為基礎成功地將穩定變分方法推廣應用到堿金屬原子, 計算出了高精度的堿金屬原子極化率、同核和異核堿金屬原子間的兩體和三體相互作用色散系數.

將穩定變分方法進一步推廣應用到氦原子和堿土金屬原子體系是一個有意義的設想, 實現此設想的一個關鍵問題是建立一個簡潔而有效的模型勢. 考慮到最弱受約束電子勢模型(WBEPM)[11]在計算多電子原子的能級和躍遷幾率[12-14]等方面都取得了很大的成功, 而且我們曾利用該模型勢精確地計算過碳原子和鈹原子[15,16]有關組態的精細結構能級, 因而很自然地想到也許可以將其應用到氦原子和堿土金屬原子體系極化率和相互作用色散系數的計算工作中.

本文的主要工作就是以最弱受約束電子勢模型(WBEPM)理論為基礎, 建立計算氦原子多極動態極化率和相互作用色散系數的穩定變分方法(也就是將穩定變分方法進一步推廣應用到氦原子體系). 導出該方法中所涉及的矩陣元和線性方程組的解析表達式, 具體計算基態氦原子的極化率和兩體相互作用色散系數, 并將計算結果與用其他方法所得到的結果進行比較. 由于堿土金屬原子的價電子構型與氦原子相似, 本文的工作也許可以為計算堿土金屬原子極化率和相互作用色散系數提供一個新的途徑.

2 氦原子體系的WBEPM近似

最弱受約束電子勢模型(WBEPM)[11]理論的基本思想是將原子中的電子根據其活躍程度和被電離的能力劃分為最弱受約束電子(WBE)和非最弱受約束電子(NWBE), 非最弱受約束電子和原子核被視為原子實部分, 最弱受約束電子在原子實的平均勢場中運動, 因此多電子原子系統可以作為單電子系統處理. 基態氦原子的電子組態為1s2, 將其中的一個1s電子視為最弱受約束電子(WBE), 非最弱受約束電子(NWBE)和原子核被視為原子實部分, WBE在原子實的平均勢場中運動. WBE所感受的勢能函數可以表示為[11]

(1)

其中r是WBE與核之間的距離,Z′是有效核電荷數,l是WBE的角動量量子數,k是可調參數. 在勢能函數(1)中, 第一項是電子與核之間的Coulomb勢, 第二項是考慮原子實極化效應而設立的模型勢. 采用原子單位, WBE所滿足的Schr?dinger 方程為

ψ=εψ

(2)

解此方程, 可以得到WBE的波函數

ψ(r,θ,φ)=R(r)Ylm(θ,φ)

(3)

式中Ylm(θ,φ)是通常的球諧函數,R(r)是徑向波函數, 滿足徑向方程

(4)

其中

l′=l+k

(5)

求解方程(4), 可以得到徑向函數R(r)的如下表達式

(6)

其中

n′=n+k

(7)

這里的n′和(4)式中的l′分別稱為有效主量子數和有效軌道角動量量子數, 而n和l是WBE的主量子數和軌道角動量量子數. WBE的能量本征值和電離能分別是

(8)

(9)

對于基態氦原子, 利用其電離能數據(見表1), 可以擬合出Z′、n′、k之值, 結果如下:

n′=0.997037,k=-0.002963,Z′=1.340596

(10)

表1 類氦原子基態的電離能(單位:eV)

Table1Ionizationenergies(ineV)ofHelium-likeatomsintheirgroundstates

ZIexpZIexp224.5873878205128.7375.640152156754153.8944226248.95259.37146236851.24246392.0886247481.77552.07162581418739.29293268828.04639953.9068279544.2101195.8222810289111465.134412911062.373121761.80393011865.151132085.97563112696.6048142437.62843213557.3315152816.91133163223.77653415367.3445173658.338335184120.6583617296.5633194610.869883718305.7166

3 氦原子體系的多極動態極化率

研究原子間的范德瓦爾斯相互作用色散系數的一個基礎性工作是計算原子的多極動態極化率, 這是因為相互作用色散系數可以表示為原子的多極動態極化率的積分[17].

在最弱受約束電子勢模型近似下, 氦原子的2L-極動態極化率αL(ω)可以表示為[8]

(11)

(12)

θ,φ)rL

(13)

引入中間態|λ〉, 其定義為

(14)

矩陣元(12)式可以寫成

(15)

按照穩定變分方法[8], 先將上式改寫成

(16)

再將中間態|λ〉按照一組已知函數{|μ〉}展開

(17)

(18)

得到待定系數aμ所滿足的代數方程組, 解此方程組, 確定系數aμ.

將(17)式中的函數{|μ〉}取為斯萊特基, 中間態|λ〉展開為

(19)

其中

Φμl″(r)=Nμl″rl″+μ-1e-r

(20)

此處Nμl″是歸一化因子, 且

(21)

設氦原子中WBE的初態為

|i〉=Rn′l′(r)Ylm(θ,φ) (l′=l+k)

(22)

利用(6)式以及(19)-(22)式, 完成(16)式中的積分, 可以得到雙光子躍遷矩陣元的如下解析表達式

(23)

其中

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

對于初態為基態的情形,l=0, 因而l″=L, 上述各式中的l″都取l″=L.

將(23)式代入變分原理(18)式, 得到參數aμ所滿足的如下線性方程組

(30)

4 氦原子體系的兩體色散系數

兩個原子間的范德瓦爾斯相互作用可以表示為

(31)

其中R是兩個原子核之間的距離;Cn是兩體色散系數, 可以表示為原子的多極動態極化率的積分[17]

(32)

5 結果與分析

對于基態氦原子, 利用(10)式所給出的Z′、n′、k值, 我們應用Mathematica軟件編程求解了M×M維線性方程組(30), 再按(23)和(11)式計算了基態氦原子的極化率. 計算過程中, 我們發現隨著斯萊特基組數目的增加, 極化率的計算值迅速收斂并趨于穩定. 常用的前5個靜態極化率(ω=0)的計算結果列于表2中的第一列, 表中同時列出了用其他方法所得到的結果.

表2 基態氦原子的極化率(原子單位)

從表2可知, 對于低階極化率αL(L=1,2,3), 本文的計算結果與文獻[18]、[19]、[20]、[21]的結果很吻合. 而對于較高階的極化率αL(L=4,5), 我們的結果與文獻[20]的結果相符, 但與文獻[18]的結果有比較明顯的差異. 實際上, 文獻[18]是利用氦原子波函數的漸近行為來分析氦原子的極化率的, 允許有一定的誤差.

表3 基態氦原子間的色散系數(原子單位)

利用(32)式, 我們進一步計算了兩個基態氦原子間的兩體色散系數, 最重要的3個系數C6、C8和C10的計算結果列于表3中的第一列, 表中同時列出了用其他方法所得到的結果. 由表3可知, 本文所得到的色散系數結果與文獻[18]、[20]、[22]、[23]的結果基本上是一致的, 這表明本文所提供的方法是有效的. 由于這一方法較為簡捷, 而堿土金屬原子的價電子構型與氦原子相似, 本文的工作也許可以為計算堿土金屬原子極化率和相互作用色散系數提一個供新的途徑. 我們將進行這方面的嘗試.

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Calculation of multipole polarizability and dispersion coefficients for helium by WBEPM and variationally stable procedure

HUANG Shi-Zhong, DENG Ze-Sen, ZHANG Yong

(College of Physics and Electrical Information, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

Based on the weakest bound electron potential model (WBEPM) theory, method of calculating the multipole dynamic polarizability and dispersion coefficients for Helium by a variationally stable procedure is established. The matrix elements and a group of linear equations, involving in this approach, are derived analytically. As an application, the polarizability and two-body dispersion coefficients between Helium atoms in their ground states are calculated concretely and are compared with those calculated previously by other procedures. It is found that the calculated results are consistent with those of others.

Helium; WBEPM; Variationally stable procedure; Polarizabiliy; Dispersion coefficients

2014-09-06

安徽省自然科學基金項目(11040606M15); 國家自然科學基金專項基金項目(11047019)

黃時中(1958—),男, 安徽宿松縣人, 理學博士, 教授, 主要從事原子結構理論和原子間相互作用理論研究. E-mail: huangsz@mail.ahnu.edu.cn

103969/j.issn.1000-0364.2015.10.003

O562.4

A

1000-0364(2015)05-0728-05