不等式的證明方法與技巧

德力根倉

（赤峰學院　數學與統計學院，內蒙古　赤峰　024000）

不等式的證明方法與技巧

德力根倉

（赤峰學院數學與統計學院，內蒙古赤峰024000）

摘要：不等式問題是數學常見問題，而不等式的證明是中學生在學習中的一個難點，本文論述了不等式證明常用方法和技巧，對于幫助中學生克服不等式證明這一難點有重要價值；同時對于提高中學生的數學思維水平、提高分析問題和解決問題的能力大有幫助.

關鍵詞：不等式；方法；技巧

不等關系是客觀世界中量與量之間一種重要的關系，而不等式則是反映這種關系的基本形式.在數學中，不等式是我們在學習中的一個重點和難點，其中不等式中的重點主要是證明不等式，解不等式以及不等式的應用三類問題.不等式的概念和性質是進行不等式的變換、證明和解不等式的根據.不等式的變換包括推出變換和等價變換兩類.其實質是條件為結論的充分條件或必要條件這兩種邏輯關系.其實解不等式的技巧就是等價轉化思想的應用，其過程為一系列的轉化過程，因此要加強思維的嚴謹性，并注意分類討論思想的滲透.

證明不等式的方法有比較法、綜合法和分析法、反證法、換元法、分類討論法、放縮法、數學歸納法、累次求極值法、函數法等.

1　比較法

例已知函數f（x)=x2+ax+b，當p，q滿足p+q=1時.證明pf（x)+qf（y)≥f（px+qy)對任意實數x，y都成立的充要條件是0≤p≤1.

因為

所以

得證.

2　綜合法與分析法

綜合法與分析法也是很常用的兩種方法，由于兩者只是在思維過程的順序有所不同，因此在這里我們放在一起來分析和討論.綜合法即是利用題設和基本不等式作為基礎，再運用不等式的性質推導出所需要證明的不等式的方法；而分析法是從欲證不等式的結論出發，通過分析使這個不等式成立的條件，只要這些條件在題目中具備，就可以斷定原不等式成立.

例已知a，b，c都是正數，

本題用分析法證明是比較方便的，因此我們用分析法來證明.

證明由于a，b，c都是正數，所以只需證

我們可以發現出現了對稱結構；

因為

三式相加得：

又因為

三式相加得：

由上述式子可得：

即得證.

3　反證法

反證法即是先提出和定理中的結論相反的假定，然后從這個假定中得出和已知條件相矛盾的結果來，這樣就否定了原來的假定而肯定了定理.也叫歸謬法.事實上，反證法就是去證明一個命題的逆否命題是正確的，這與直接證明是等價的，但是可能其逆否命題比較容易證明.上述的過程得出了矛盾，事實上就是得出了“假設與題設不相融”這個結論，所以我們不能接受這個假設，所以這個假設的反面就是正確的，從而命題得證.有時候反證法能夠使我們得到意想不到的效果.

例設p，q都是正數，且p3+q3=2，證明：p+q≤2

證明假設

與已知矛盾

所以假設不成立

原結論成立.

4　放縮法

放縮法也是證明不等式常用的并且行之有效的一種證明方法，其關鍵在于尋找中間變量C，通過C對A或B的放大或縮小使A＜C＜B成立，C在量A和B之間架起一座橋梁，通過C的過渡使A與B間接的建立起不等關系.

例已知n為正整數，

將這些同向不等式相乘得：

證畢.

5　構造法

構造法就是數學中通過數與數、數與形的關系來轉化的方法，其中構造幾何圖形證明不等式是一種比較直觀和簡便的方法，此方法是利用構造圖形的幾何性質，通過圖形比較明顯的性質來直接的證明不等式的方法.

例設a∈（0，1)，b∈（0，1)，求證：

分析從左邊四個表達式特征可以看出，他們表示兩點間的距離，故可以構造點A（1，0)，B（1，1)，C（0，1)，D（0，0)，四邊形ABCD為正方形，令P點坐標為（a，b)，則：

由三角形性質可得：

即

6　累次求極值法

累次求極值法是求多元函數最值的一種方法，其是先將一些變量固定，對于較少變量求出最值，然后使另一些變量“活化”，當它們變化時，求第一步求出的那些最值的最值，這樣一步一步地求下去，得到題中所求的最值.

例[8]若x，y，z∈R+，

證暫且固定y，則函數f（x，y，z)變為二元函數

同理

所以

7　函數法

函數法即是先構造自己所需要的函數，通過函數的單調性或值域或者函數的一些其它性質來證明不等式的一種方法，也是一種轉化思想的應用.

例證明2x2+x+3＞0

證首先本題可以用配方法解得.現在用函數法來求解.

設f（x)=2x2+x+3

則f'（x)=4x+1

令f'（x)=0

所以

所以2x2+x+3＞0

得證.

在不等式的學習中培養探究思維能力，作為一種觀念，只要我們長期堅持，積極探討，一定能大大提高我們的學習效率和探究思維能力，從而對所學知識窺之深，察之遠.

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參考文獻：

〔1〕劉玉璉，等．數學分析講義[M]．北京：高等教育出版社，2003．

〔2〕張奠宙，張廣祥．中學代數研究[M]．北京：高等教育出版社，2006．

〔3〕王尚志，胡鳳娟，張忠明，王錚錚．“一元二次不等式”的定位和教學建議[J]．中學數學參考，2009．01-02：3-5．

〔4〕萬平方．在不等式教學中培養學生的探究思維能力[J]．中學數學參考，2007（07）：43-45．

〔5〕陳明名，劉問斌．中學數學解題技巧[M]．北京：北京理工大學出版社．

〔6〕張雄，李得虎．數學方法論與解題研究[M]．北京：高等教育出版社，2004．

〔7〕余志英．不等式的證明方法[J]．數學教研，2000（04）：97-98．

〔8〕徐文兵．不等式的證明方法與技巧[J]．數學通訊，2004 （23）：35-37．

中圖分類號：O122

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2015）08-0006-03