高等數學中極限思想的淺析

王麗麗

（大同大學大同師范分校數學系，山西 大同037039）

極限思想作為高等數學的基礎概念，為高等數學理論研究和應用創造了擴展及深化條件。現代學科中極限思想的滲透越來越突出，對學科的發展和深化帶來了更多的刺激性效應。極限思想作為高等數學研究、應用以及發展中重要工具，在許多方面，都體現其重要地位。因此，極限思想的掌握，直接影響著高等數學的應用與發展。

一、極限思想的產生與發展

在中國古代，數學家劉徽在注《九章算術》時更正了圓周率是“圓三徑一”的錯誤，并在圓周率的計算過程中創立和使用了極限方法，這是在中國古代對極限方法的最早記錄。《九章算術》中提出的“割圓術”正是“極限思想”最為生動的論述，同時也是極限思想的原始概念［1］。隨著極限思想的發展，《莊子》中的“天下篇”一章、古希臘“二分法”等都是早期極限思想的最杰出代表。在17世紀，兩類需要解決的科學問題呈現在人類面前，一是曲線中切線問題的求解；二是物質運動的研究。然而，由于極限思想停止發展，直到牛頓時代，極限概念才被直觀地提出來，但在當時對極限思想的定義非常不嚴謹。并且，微分的研究受到嚴重質疑。針對極限思想的研究，萊布尼茲和牛頓的始發點都是基于無窮小量分析法而形成的，但此時的研究基礎含有大量缺陷與不足，最終產生了“第二數學危機”［2］。數學的發展不斷貫穿著認識與邏輯的矛盾，注重實用的數學家們重視數學理論的研究，然而注重嚴密的數學家們則重在批評，并針對數學理論進行不斷更正與完善。正是這樣，數學在協調統一中對數學矛盾進行解決，推動著數學不斷向前發展。

事實上，18世紀數學家做出了多方面的努力，但由于他們歸結微積分基礎為代數幾何，試圖避開極限而宣告失敗。當數學研究對象從常量擴展為變量時，人們往往缺乏對變量和常量二者的深層次理解，不能認清變量數學的規律，更無法明確有限和無限之間的關系。直到19世紀，基于微積分研究的需要，柯西對極限方法進行了進一步的改進。他定義極限為：“代表某變量的數值無限接近一固定值，其差可以任意小，即該值為這一變量數值的極限”。雖然柯西對極限的定義十分形象和直觀，但他并沒有解決實質問題，即如何定義無限接近某固定值的變量數值及其差可以任意小。歷史上，對極限最為嚴格的定義是魏爾斯托拉斯提出的，他所用的方法是ε－δ語言，其對極限的嚴格定義解決了許多社會關注的數學問題［3］。如f（x）→A（x→x0）這一形式中，用可對給出的任意小的正數δ進行刻畫體現x與x0之間的無限接近；給定充分小的正數ε，用可對f（x）與某常數A的接近程度進行描述。總之，高等數學中極限思想和方法的運用十分普遍，其中函數連續性問題、導數和積分的定義都需要借助極限方法才能得以解決。

二、極限思想發展中的辯證關系

（一）變與不變的辯證

極限思想發展中，充分體現著變與不變的辯證關系。例如：在平面內一曲線y＝f（x）上某點p（x0，y0）的切線斜率為kp，該曲線上p點以外的點的斜率為k，因此k為變量，k1為不變量，曲線上不同點與不同斜率k對應，斜率k與k1不相等，是一種對立的“變與不變”的關系。此時，當曲線上不同于p的點無限的接近p點時，斜率k與k1就會無限接近，變量會向不變量接近。當接近結果發生質的轉變時，變量轉化為不變量，體現變量與不變量的統一。上面的例子體現了極限思想中變與不變的辯證關系。

（二）過程和結果的辯證

極限思想在發展中，同時體現出過程與結果辯證統一。在上面的舉例中，如果當曲線上的某一點與p點無限接近時，k就是變化的過程，而kp是結果。在現實中，曲線上的點與p點是不可能重合的，斜率k與kp也就不會相等，這就體現了變量之間的對立性。而斜率k與kp二者無限的接近這一過程，又會促使斜率kp轉化這一結果的出現，體現了變量之間的統一性。這就充分體現極限思想中過程與結果的辯證關系。

（三）精確和近似的辯證

極限思想發展中也不斷體現著近似與精確的辯證關系。例如：在極限式＝a中，如果當n不斷增大時，數列｛xn｝的項x1，x2，…，xn，…就能對變量xn的變化過程進行反映，而xn無限變化的結果卻由a來反映，xn作為精確值a的近似值，當n變的越大時精確度就越高。如果當n無窮大時，就會轉化為a。這樣，通過極限法，就將近似與精確兩個對立的概念聯系在一起，并進行相互轉化，充分體現了二者的對立和統一。

（四）無限和有限的辯證

（五）肯定與否定的辯證

在極限思想中，也處處體現著肯定和否定的辯證關系。例如：單位圓與其內接正多邊形是對立的兩個面，內接正多邊形是事物自身的肯定，而其中包含的否定是基于圓內接正多邊形邊數的變化而體現的。當正多邊形的邊數無限制增加時，那么多邊形面積將會轉化為單位圓的面積。此時，事物向自身的對立面發生轉化，即為肯定與否定的統一關系。圓內接正多邊形面積向圓的面積轉化時，單位圓通過內接正多邊形邊數的不斷增加而得以實現，充分體現了兩者相互統一的關系。

（六）量變與質變的辯證

在極限思想發展中，質量互變的辯證關系也無處不見。例如：單位圓內接正多邊形是事物的質，多邊形的邊數為事物的量，當邊數逐步增加時結果依然是正多邊形，產生的是事物的量變。在量變過程中，事物的連續性發展是事物保持穩定性的重要特質。當正多邊形邊數無限增加時，多邊形就會逐漸接近圓，產生量變向質變的飛躍，形成兩者的矛盾統一。

三、在高等數學中極限思想的體現

（一）數學概念

高等數學中的許多概念都是借助極限思想產生的，在高等數學的教材內容中，首先介紹的是極限思想，其次是借助極限思想給出導數、連續函數等概念［4］。如：函數f（x）在x0連續，x→x0時的極限等于f（x0）；函數f（x）在x0的導數，是函數值變量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）與自變數x的改變量Δx之比當Δx→0時的極限。

（二）問題處理

在解決數學問題方面，高等數學比初等數學強，高等數學運用極限思想是初等數學無可比擬的。在處理數學實際問題方面，極限思想彰顯著極為重要的作用。例如：在初等數學中，可以利用其解決梯形的面積，但無法解決曲邊梯形的面積。而高等數學借助“以直代曲”的方法，通過小矩形面積向曲邊梯形面積逼近，利用極限思想計算出曲邊梯形的面積。另外，曲線弧長、瞬時速度等數學問題都是借助極限思想的運用得以解決的，這也充分體現了極限思想對推動數學問題的研究具有重要作用。

四、極限思想的意義

極限思想基于舊質的量的變化規律對新質的量進行計算，能夠在客觀事物的運動變化中，對量變與質變轉換的數量關系進行反映［5］。第一，極限思想作為一種基礎和手段，有利于微積分學的建立和研究，極限思想貫穿于微積分學之中，一如既往的促進了該學科的建立和發展；第二，在整個分析學的建立發展中，極限思想都起著極其重要的基礎作用，另外函數逼近論、微分幾何等其它數學分支及物理力學等自然科學中，極限思想的應用都非常廣泛。實際生活中，極廣的概率論這一數學方法最早用于賭博游戲，但極限理論研究是促使概率論形成的重要形式。隨機變量與極限的研究有助于對隨機變量本質的探求，沒有概率的極限定理，概率概念的實質內容就無法理解。所以，基于隨機變量序列的依概率收斂等概率論基礎理論，貝努利大數定律等極限理論在概率論中得以深層次運用。除此之外，由于受極限思想的影響，新的數學分支也由此產生。如突發不連續現象的突變研究，幾何描述相似結構特征的分形研究。突變和分形研究都具有“逼近極限”的特點［6］。

［1］M.克萊因，北京大學數學系數學史翻譯組.古今數學思想（第2冊）［M］.上海：上海科學技術出版社，1979.

［2］劉玉蓮.數學分析講義（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［3］劉玉蓮，楊奎元.數學分析講義學習輔導書（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［4］施紅英.對微積分“極限”思想方法教學的思考［J］.甘肅廣播電視大學學報，2005（9）：72－74.

［5］葉林.極限思想的發展與微積分的建立［J］.內蒙古民族大學學報（自然科學版），2008（4）：111－114.

［6］劉婧.高中數學新課程中的極限及其教學［J］.數學教學研究，2006（9）：12－15.

［7］陳湛本.函數級數展開的數學方法論［J］.廣州大學學報（自然科學版），2002，1（3）：8－12.