單幅干涉條紋圖相位提取新算法

郭 媛，陳小天，毛 琦，趙麗娜

(齊齊哈爾大學計算機與控制工程學院，黑龍江齊齊哈爾161006)

1 引言

電子散斑干涉測量技術具有非接觸、全場測量、精度高和隔震要求低的特點［1－3］，已成為動態和靜態物體變形測量的一種重要方法。散斑測量得到干涉條紋圖，需要從變形的條紋圖中提取相位信息，從而獲得所測的物理量。應用于相位解調的方法主要有相移法［4－5］和傅里葉變換法［6－7］。相移法不僅過程復雜，而且得到的是包裹相位，需要進行解包裹運算。傅里葉變換法雖然簡單，但得到的也是包裹相位，同樣需要再進行相位解包裹［6－7］。

相移法中常用的相位解包裹有路徑跟蹤法、最優估計法和最小范數法［8－10］。其中用到最多的是最小范數法中的最小二乘相位解包裹方法。最小二乘相位解包裹方法的原理是得到一個泊松方程，通過求解泊松方程就可以得到相移法所求的相位［11－12］。本文融合最小二乘相位解包裹得到泊松方程求解相位的方法和從單幅干涉條紋圖中恢復相位的方法，提出新的單幅干涉條紋圖恢復相位的新方法。通過對單幅干涉條紋圖進行兩次希爾伯特變換提取干涉條紋圖中的余弦分量和正弦分量，由正弦分量和余弦分量求取相位的正切值，即相位的梯度［13］。從相位梯度得到泊松方程，從而變成了求解泊松方程。這種方法不僅能夠從單幅干涉條紋圖中恢復真實相位，并且由希爾伯特變換可以濾除干涉條紋圖中的直流分量的噪聲，達到濾波的效果，而且減小了相移法的復雜性。實驗驗證了該方法的可行性和正確性。

2 單幅干涉條紋圖提取相位基本理論

2．1 希爾伯特變換

希爾伯特變換Hilbert transform(HT)是在時域中進行的一種特殊正交變換。在一維實空間中，信號f(x)的希爾伯特變換是f(x)和1/πx的卷積。定義信號f(x)的希爾伯特變換為［14－15］:

在頻域中，希爾伯特變換的結果來自sign函數的簡單乘積，即:

其中，FT為傅里葉變換;k為角頻率，并且:

希爾伯特變換等同于一個濾波器，一個信號經過希爾伯特變化后，只是把它在頻域相移π/2。在頻域內，希爾特變換的關系可表示為

式中，V(f)是函數v(x)的傅里葉變換;U(f)是函數f(x)的傅里葉變換;j是虛數單位。由希爾伯特變換的性質可知信號cos的希爾伯特變換就是sin，并且能夠濾除原信號的直流分量，即可以有效地濾除原信號所攜帶的噪聲。

2．2 基于離散余弦單幅圖相位提取

通常，從動態散斑術中獲得的散斑干涉圖可以用式(5)表示:

式中，Ia(x，y)為背景光強;Ib(x，y)為條紋幅值;f0為 載波的角頻率;(x，y)為調制相位。Ia(x，y)和Ib(x，y)是緩變函數，可以視為常數。對于散斑條紋圖進行希爾伯特變換得到正弦分量:

可看到希爾伯特變換很好地濾除了散斑干涉圖中的直流分量，達到濾除噪聲的效果。再次對I1(x，y)進行希爾伯特變換得到余弦分量:

令 (x，y)=2πf0x+(x，y)，則可以得到相位在x方向上的梯度［13，16］:

同理，相位在y方向上的梯度為:

由式(8)和式(9)可以得到:

顯然式(10)是M×N矩陣網格上的離散泊松方程，即:

因此，計算相位在數學上等于求解離散泊松方程，用離散余弦變換(DCT)即可求出(x，y)，也就可得到本文中所求的真實相位。

在最小二乘相位解包裹［11］中常用DCT解泊松方程，但當殘差點較多時DCT非加權最小二乘相位解包裹算法的計算結果比較平滑，從而有學者引入權重，抑制誤差的傳播，稱為加權離散余弦變換(WDCT)［17］。為補償其平滑作用，采用加權處理。權重定義為:

式(13)中，unit(·)為歸一化處理;filt［·］為均值濾波。求出權重ui，j后，用ui，j對ρi，j進行加權處理:

其中，ρ*(x，y)是ρ(x，y)加權處理的結果，然后利用對泊松方程的求解即可求出真實相位。鑒于WDCT算法的優勢，實驗采用WDCT算法解泊松方程。

3 實驗與結果分析

相移法提取散斑干涉條紋圖首先需要經過相移(如四步相移法)提取包裹相位，再通過相位解包裹運算才能夠解開包裹相位得到真實相位。而本文提出的基于離散余弦的的方法能夠簡便的完成相移法的過程，從散斑干涉條紋圖中直接得到真實相位。相移法和本文提出的方法基本流程對比圖如圖1所示。

圖1 相移法和本文提出的方法從干涉條紋圖提取相位對比流程圖Fig．1 The flow chart of phase-shift and the proposed method extracted phase from interference fringe patterns

用MATLAB生成400×400的散斑干涉條紋圖，條紋圖的強度分布為:

其中，f0為載波頻率，大小取0．125，(x，y)=2peaks(400)。相移法是對干涉條紋圖提取相位最常用的方法，用相移法提取干涉條紋相位如圖2所示，首先模擬四幅光柵干涉條紋圖，用四步相移法從中提取包裹相位，四步相移法提取包裹相位方法見參考文獻［4］。再用最小二乘方法得到泊松方程［11－12］，最后用WDCT方法求解泊松方程得到真實相位。

圖2 用4步相移法從4幅干涉條紋圖中提取相位的結果Fig．2 Results of the phase extracted from 4 interference fringe patterns by phase-shift method

用本文提出的基于離散余弦的方法從干涉條紋提取相位結果如圖3所示，從圖3中可以看出本文提出的方法同樣能夠很好地干涉條紋圖中提取真實相位。圖3(d)中最小二乘求解相位(LSDCT)曲線是經過四步相移提取包裹相位，再經過最小二乘法解包裹提取的真實相位，與本文提出的基于離散余弦提取相位的曲線是重合的，圖中小坐標是x等于150處的局部放大圖。盡管相移法提取相位和本文提出的方法提取相位的誤差是一樣的，但是本文提出的算法只需要一幅干涉條紋圖，就能夠發到相移法所能夠達到的結果。大大降低了從干涉條紋圖提取相位的現實要求，降低了相位提取的繁瑣程度，而且縮短了相位提取的時間，相移法提取真實相位時間為6．8 s，而本文提出的方法提取真實相位時間為2．8 s。同時，現實中相移法受環境因素會更大，故本文提出的算法更適合應用于實際干涉條紋相位提取。

對于現實含有噪聲的干涉條紋圖提取相位如圖4所示，如圖4(a)所示的含有噪聲的干涉條紋圖，用相移法提取的相位如圖4(b)所示，用本文提出的方法提取的相位如圖4(c)所示。

圖3 用本文從單幅干涉條紋圖中提取相位的結果Fig．3 Results of the phase extracted from a single interference fringe pattern by the proposed method

圖4 用兩種方法對含有噪聲的相位提取Fig．4 Comparing of phase extracted with noise by two method

從圖4中可以看出本文提出的基于離散余弦的方法同樣能夠很好地從單幅圖中提取真實相位，并沒有因為該方法過程簡單而導致誤差增多。相反，在現實情況中相移法，需要多幅條紋圖，導致每幅圖含有不一的噪聲，從而導致更多的誤差。

4 結論

通過上面一系列的實驗可以看出本文提出的方法能夠很好地從單幅干涉條紋圖中提取真實相位，與之相比，相移法需要4幅干涉條紋圖，過程復雜，對光學采集系統的要求較高，提取的4幅干涉條紋圖進行計算得到包裹相位，還需相位解包裹才能得到真實相位。而本文提出的算法只需要1幅干涉條紋圖就能夠解出真實相位，環境因素的影響比相移法小。同時相位提取的誤差在理想的情況下是相同的，但由于各種因素的影響，現實情況下本文提出的算法得到的結果會更好。

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