2014年陜西省高考理科數學第21題研究

汪仁林+姚利娟

最近，在研究陜西省高考理科壓軸題時，有了意外的收獲，得到了標準答案以外且優于標準答案的新解法，匯總如下，與讀者共享.

題目 （2014年陜西高考理科數學第21題）

設函數f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導函數.

（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表達式;

（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數a的取值范圍;

（Ⅲ）設n∈N+，比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n-f（n）的大小，并加以證明.

解析 （Ⅰ）由題知，g1（x）=g（x）=x1+x，gn+1（x）=g（gn（x））=gn（x）1+gn（x），所以1gn+1（x）=1+gn（x）gn（x）=1+1gn（x），令bn=1gn（x），則數列{bn}是以b1=1g1（x）=1+xx為首項，以1為公差的等差數列，所以bn=1+xx+（n-1）×1=1+nxx，即1gn（x）=1+nxx，所以gn（x）的表達式為：gn（x）=x1+nx.

評析 此種解法太經典了，將問題轉化為由數列遞推公式求通項公式，而考題標準答案所給解法為先通過歸納推理猜想出gn（x）的表達式，然后用數學歸納法證明，與此解法相比就顯得復雜了.

（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥ax1+x （*）恒成立.①當x=0時（*）式顯然恒成立，此時a∈R;②當x>0時，x1+x>0（*）式可化為a≤1+xln（1+x）x，設φ（x）=1+xln（1+x）x（x>0），則a≤φ（x）min，φ′（x）=x-ln（1+x）x2，令h（x）=x-ln（1+x）（x>0），則φ′（x）與h（x）同號.因為h′（x）=x1+x>0，所以函數h（x）在（0，+∞）上為增函數，所以h（x）>h（0）=0，所以φ′（x）>0，所以函數φ（x）在（0，+∞）上為增函數，所以

φ（x）min→φ（0）=limx→0（1+x）ln（1+x）x=

limx→0[（1+x）ln（1+x）]′（x）′

=limx→0ln（1+x）+11=1（洛必達法則），所以此時a≤1.因為（*）式對x≥0恒成立，所以①②所求a的范圍求交集即可，所以實數a的取值范圍是（-∞，1].

評析 此種解法關鍵是分離參數，把問題轉化為不含參數的函數通過多次求導來求最值，然后利用洛必達法則可輕松獲解.當然，解題過程中的一些細節問題的處理應引起重視.對比考題所給標準答案可知，此種方法思路非常清晰，學生更容易掌握！值得提倡.

（Ⅲ）由題設知：g（1）+g（2）+…+g（n）=12+23+…+nn+1，n-f（n）=n-ln（n+1），當n=1時，g（1）+g（2）+…+g（n）=g（1）=12，n-f（n）=1-ln（1+1）=lne2<lne=12，由此猜想g（1）+g（2）+…+g（n）>n-ln（n+1）.此不等式等價于12+13+…+1n+1<ln（n+1）.證明如下：

證法1 （數學歸納法）12+13+…+1n+1<ln（n+1）.

①當n=1時，12<ln2顯然成立.②假設n=k（k≥1）時，有12+13+…+1k+1<ln（k+1）成立.那么n=k+1時，有12+13+…+1k+1+1k+2<ln（k+1）+1k+2.要證n=k+1時也成立，只需證ln（k+1）+1k+2<ln（k+1+1），即證lnk+2k+1>1k+2，在（Ⅱ）中，取a=1可得ln（x+1）>x1+x，令x=1k+1，則lnk+2k+1>1k+2，這就說明當n=k+1時也成立.綜上①②可知結論對n∈N+成立.

證法2 由（ln（x+1））′=1x+1，∫n+111xdx=lnxn+1

1=ln（n+1），由此想到用定積分的幾何意義，ln（n+1）可表示為曲線y=1x與直線x=1，直線x=n+1與x軸圍成的曲邊梯形的面積，如圖2陰影部分所示.而12+13+…+1n從幾何的角度恰好可看成是如圖1中陰影部分所示的n個矩形的面積之和.顯然圖1中陰影部分面積小于圖2陰影部分的面積，所以12+13+…+1n+1<ln（n+1）成立.

圖1圖2

評析 一般地，與正整數有關的不等式的證明，在函數題中出現，前后兩問總會存在一定的聯系，首先應考慮借助于前幾問或已知條件，構造函數，向題中已知的函數不等式靠攏;如果構造函數很盲目，可考慮用數學歸納法證，特別是由n=k時成立過渡到n=k+1時也成立，用分析法，將需要構造的函數直接分析出來，證法一與前幾問或題設可以無任何關系，即可將題目設置一問，由此可見，這種解法確實能起到事半功倍的效果，值得推廣;證法二由（ln（x+1））′=1x+1，∫n+111xdx=lnxn+1

1=ln（n+1），由此想到用定積分的幾何意義，而不等式左邊的幾何意義是n個矩形的面積之和，通過幾何法，達到了事半功倍的效果.本解法的定積分證法與考題標準答案所給的定積分證法相比，學生更容易想到，且更好掌握.

作者簡介 汪仁林，男，1980年生，陜西省商南縣人，一級教師.主要從事數學教育與高考試題研究.發表文章80余篇，參編教輔用書2本.分別榮獲“中國教育改革優秀教師”、“咸陽市市級教學能手”、“市級學科帶頭人”、“咸陽市高中數學學科專家組成員”、“省級骨干班主任”、“全國高中數學聯賽優秀輔導教師”、“全國中學生數學能力競賽優秀指導教師”稱號.姚利娟，女，1981年生，陜西乾縣人.中學一級教師，咸陽市市級教學能手，主要從事數學教育與高考試題研究，發表文章40余篇.參編教輔用書2本.