選材引起測量金屬絲楊氏模量的誤差分析

何飛龍 張賀旭 雷琪琪 王 振 戴 康 朱春花

（新疆大學物理科學與技術學院，新疆烏魯木齊 830046）

選材引起測量金屬絲楊氏模量的誤差分析

何飛龍 張賀旭 雷琪琪 王 振 戴 康 朱春花

（新疆大學物理科學與技術學院，新疆烏魯木齊 830046）

楊氏模量的測量是大學物理中重要的力學實驗之一。我們對不同直徑、不同長度的鋼絲進行了楊氏模量測定，分析了選材對實驗結果的影響。研究結果表明，在儀器允許的測量范圍內，直徑越小、長度越長的材料，其楊氏模量的相對合成標準不確定度越小。

楊氏模量；選材；誤差

楊氏模量是表征固體材料性質的一個重要的物理量，是工程設計上選用材料時經常涉及的重要參數。金屬絲楊氏模量的測定是大學物理中必不可少的力學實驗之一。很多學者針對楊氏模量測量結果存在的儀器和系統誤差進行了研究。如關壽華、徐輯彥對楊氏模量測量中的方法誤差和非標準狀態造成的誤差進行了定量分析，指出系統應處于的標準狀態，并對傳統儀器進行有效改進，提高了測量精度［1］。除了儀器和系統誤差外，選材方面（例如金屬絲的長短粗細等）是否會對實驗結果造成影響呢？如果有影響，又該如何減小誤差呢？本文在儀器允許的測量范圍內，對不同直徑、不同長度的鋼絲材料的楊氏模量進行了多組測量，并對實驗結果進行了分析，討論了材料選擇對測量結果的影響，指出了實驗過程中提高測量精度需要注意的事項。

1 實驗原理

本實驗采用拉伸法測量鋼絲的楊氏模量。設鋼絲長為L，截面積為S。沿長度方向施力F后，鋼絲伸長了ΔL，則其應力為F/S，應變為ΔL/L。按照胡克定理，在彈性限度范圍內鋼絲的應力與應變的比值是一個常數，即楊氏模量，記為：

其單位為N/m2。

為實現對微小長度變化ΔL的測量，我們采用光杠桿法，測量裝置原理如圖1所示。長為b的光杠桿兩前足放置于平臺溝槽內，后足置于中間穿有鋼絲的圓柱體上，調整光杠桿鏡面豎直，且與望遠鏡光軸垂直，然后從望遠鏡中讀出叉絲對準標尺上的讀數n1。懸掛重物后，鋼絲受力伸長，光杠桿后足尖隨之下降ΔL，平面鏡則以光杠桿前兩足的連線為軸轉過角度θ，根據光的反射原理，反射線將轉過2θ角，再讀出與望遠鏡叉絲對應的標尺刻度n2，根據幾何關系，

tanθ=ΔLb（2）tan2θ=（n2-n1）D=ΔnD（3）

由于θ很小，有tanθ≈θ，tan2θ≈2θ，得：

ΔL=bΔn2D（4）

因此，鋼絲的楊氏模量

E=8LDπd2b·FΔn（5）

圖1 光杠桿原理圖［2］

2 實驗結果

我們準備了四種不同直徑（分別為0.3mm、0.37mm、0.5mm、0.6mm）的鋼絲，每種直徑的鋼絲選取五種不同長度（分別為28cm、31cm、34cm、37cm、40cm）進行楊氏模量的測量。

下面以直徑為0.3mm、長度為40cm的鋼絲的楊氏模量測量為例，給出具體實驗數據及處理。表1、表2和表3分別給出了鋼絲長度、直徑及望遠鏡中標尺的讀數。

表1 測量各物理量選用儀器及測量值

表2 金屬絲直徑d選用儀器：游標卡尺

利用逐差法處理標尺讀數，其平均差值為：鋼絲的楊氏模量為：

表3 加外力后標尺的讀數

鋼絲楊氏模量的相對合成標準不確定度為：

按照同樣的處理方法，我們得到了不同直徑、不同長度鋼絲的楊氏模量，見表4。

表4 楊氏模量實驗結果

3 誤差分析和討論

根據表4中的實驗結果，我們給出了不同直徑、不同長度的鋼絲的楊氏模量及其誤差棒，如圖2所示。

從圖2中可以看出，當鋼絲直徑一定時，隨著長度的減小，鋼絲楊氏模量的誤差棒變長，即相對合成標準不確定度增大；當鋼絲長度一定時，隨著直徑的增加，鋼絲楊氏模量的誤差棒也變長，即相對合成標準不確定度也增大。當鋼絲直徑為0.6mm時，楊氏模量的測量值相差較大，從1.38×1011N/m2（鋼絲長度為31cm）到1.64×1011N/m2（鋼絲長度為40cm）。但無論哪種直徑的鋼絲，當其長度為40cm時，楊氏模量測量值的相對合成標準不確定度最小。

圖2 不同直徑、不同長度鋼絲的楊氏模量

當鋼絲直徑一定時，鋼絲伸長引起標尺位置變化的標準不確定度u（）變化不大，但隨著鋼絲長度變短，鋼絲伸長量的逐差減小。根據鋼絲楊氏模量相對合成標準不確定度公式可知，隨著減小鋼絲長度，其楊氏模量的相對合成標準不確定度增大。例如直徑為0.3mm的鋼絲在長度為40cm、37cm、34cm、31cm、28cm時楊氏模量的相對合成標準不確定度分別為2.49%、2.59%、2.76%、2.85%、3.49%，顯然其相對合成標準不確定度隨著長度變短不斷增大。

我們發現，實驗中所使用的鋼絲大多處于彎曲狀態。對于較細的鋼絲而言，加上一個砝碼就能將其拉直，所得到的數據誤差較小。但對于較粗的鋼絲，初始所加的一個砝碼難以將其拉直，后續加上的砝碼使鋼絲緩慢伸直，其彎曲量也就不可避免地被當作鋼絲的伸長量計入數據。另外，鋼絲直徑越大，其上、中、下各位置直徑測量誤差也越大，這也導致鋼絲楊氏模量的相對合成標準不確定度增大。這一點在測量直徑為0.6mm的鋼絲楊氏模量時表現最為明顯，如圖2所示。

在鋼絲楊氏模量測量實驗中，以下因素也可能造成測量誤差：

第一，從儀器上來看，楊氏彈性模量儀器的下卡頭與平臺中圓孔內壁之間的間隙很小，如果楊氏彈性模量儀立柱不豎直，下卡頭受平臺中圓孔限制，與上卡頭的中心軸線不在同一豎直線上，下卡頭與圓孔內壁接觸就會發生摩擦，造成實際伸長量的誤差［3］。另外，由于使用的鋼絲比較細，砝碼的重量比較大，如果金屬絲夾頭不緊，也會導致增減砝碼時金屬絲發生滑動［4］。由公式（1）可以看出，如果金屬絲滑動導致△L偏大，那么測量的楊氏模量值將偏小。

第二，從實驗原理上來看，鋼絲楊氏模量的值是通過光杠桿放大法測得。它將鋼絲的細微伸長量放大了40多倍(2D/ b)，從而可以測量。但是，也會將實驗上微小的誤差放大，對實驗結果造成一定影響。所以在組裝儀器時要保證平面鏡呈豎直狀態，望遠鏡鏡身水平且與平面鏡等高。實驗過程中應盡量保證動作幅度較小，不用手去觸碰桌面，以免導致平面鏡晃動，產生讀數誤差。此外，實驗過程中砝碼應輕拿輕放，一旦打翻砝碼將會導致整個裝置位置的改變，造成實驗失敗。

4 結語

本文對不同直徑、不同長度鋼絲的楊氏模量進行了多組測量，分析了選材對實驗結果造成的影響。研究發現：在儀器允許的測量范圍內，鋼絲直徑越小、長度越長，其楊氏模量測量值的相對合成不確定度越小。在本實驗中，選取直徑為0.3mm、長度為40cm的鋼絲所測得的楊氏模量誤差最小。因此，在一定范圍內采用直徑較細、長度較長的鋼絲進行楊氏模量的測量，將有助于提高測量結果的精確度。

［1］關壽華，徐輯彥.用光杠桿測量楊氏模量的誤差分析及改進［J］.大連民族學院學報，2004，6（1）：11-15.

［2］應雄純.楊氏模量實驗誤差問題探討［J］.湖州師范學院學報，2000，22：7-9.

［3］李穎.用拉伸法測量金屬絲楊氏彈性模量實驗誤差分析及改進［J］.科技信息，2011，23：549.

［4］姜偉.拉伸法測金屬絲楊氏模量研究［J］.大學物理實驗，1996，9（3）：32-33.

［5］艾爾肯·阿不列木，阿合買提江，等.新編大學物理實驗教程［M］.北京：清華大學出版社，2013：41-45.

Error Analysis on Measuring Metal Wire Young’s Modulus Caused byMaterial Selection

He Feilong Zhang Hexu Lei Qiqi Wang Zhen Dai Kang Zhu Chunhua
(School of Physical Science and Technology，Xinjiang University，Urumqi Xinjiang 830046)

Measure of Young’s modulus is one of the most important mechanical experiments in university physics. Inthis paper，the Young's modulus of steel wires with different diameters and lengths were measured，and the effects ofmaterial selections on experimental results were discussed. Within the permitted measuring range of experimentalinstrument，we found that，for the materials with the smaller diameter and the longer length，their relative combinedstandard uncertainties of Young's modulus were smaller.

Young’s modulus；material selection；error

O4-33

A

：1003-5168（2015）03-0123-3

2015-2-27

新疆維吾爾自治區級大學生創新創業訓練計劃項目（10755201400007）。

何飛龍（1994-），男，本科在讀，研究方向：物理學。通訊作者：朱春花（1976-），女，副教授，博士，研究方向：理論物理和天體物理研究