親歷知識(shí)生成過(guò)程滲透數(shù)學(xué)基本思想

薛生林

角是學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何圖形的基礎(chǔ)，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的基礎(chǔ)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在第二學(xué)段的“圖形認(rèn)識(shí)”中指出：“結(jié)合實(shí)例了解線段、射線和直線。”“知道平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。”在“測(cè)量”中指出：“能用量角器量指定角的度數(shù)，能畫指定度數(shù)的角，會(huì)用三角尺畫30°、45°、60°、90°角。”“角的度量”更是學(xué)生在三角形分類活動(dòng)中認(rèn)識(shí)銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的基礎(chǔ)。

一、 經(jīng)歷構(gòu)建概念過(guò)程，滲透分類思想

當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了平角、周角的概念后，為了讓學(xué)生對(duì)角有更深入的理解，必須對(duì)角進(jìn)行分類，理清銳角、直角、鈍角、平角、周角之間的關(guān)系。因此，學(xué)生根據(jù)角估認(rèn)角的類型，從而加深對(duì)角概念的理解。學(xué)生通過(guò)對(duì)角的測(cè)量來(lái)修正角的類型，形成根據(jù)角的度數(shù)區(qū)分直角、平角、銳角、鈍角和周角的策略。學(xué)生對(duì)下列角自主估認(rèn)、測(cè)量、分類后，進(jìn)行交流并匯報(bào)。

生1：∠1和∠6是銳角，因?yàn)檫@兩個(gè)角比直角小。經(jīng)過(guò)我的測(cè)量，∠1的度數(shù)是45°，∠6的度數(shù)是50°，我的估認(rèn)與我的測(cè)量結(jié)果相同。

生2：∠3是平角，因?yàn)槠浇堑膬蓷l邊在同一直線上，與量角器經(jīng)過(guò)中心點(diǎn)的0刻度線完全重合，度數(shù)是180°。∠5是周角，因?yàn)橹芙鞘巧渚€繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所成的角。當(dāng)周角的一條邊繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到同一直線上時(shí)形成平角，這時(shí)正好是180°;再旋轉(zhuǎn)到兩條邊重合在一起時(shí)，等于2個(gè)平角，所以∠5的度數(shù)是360°。

生3：∠2和∠7是鈍角，因?yàn)檫@兩個(gè)角比直角大。經(jīng)過(guò)測(cè)量，∠2的度數(shù)是120°，∠7的度數(shù)是130°。∠4是我的估認(rèn)與實(shí)際測(cè)量不相同的，我估認(rèn)∠4是銳角，經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)∠4是直角。

生4：我想補(bǔ)充∠7不需要測(cè)量也能知道度數(shù)，因?yàn)椤?和∠7形成一個(gè)平角，已測(cè)得∠6=50°，所以∠7=180°-∠6=180°-50°=130°。因此，∠1和∠6是銳角，∠4是直角，∠2和∠7是鈍角，∠3是平角，∠5是周角。

生5：我和同桌通過(guò)填表的方式來(lái)研究角的分類。

生6：我還知道各角之間的關(guān)系，因?yàn)殇J角<90°，直角=90°，90°<鈍角<180°，平角=180°，周角=360°，所以，銳角<直角<鈍角<平角<周角。

生7：我想補(bǔ)充生6的各角之間的關(guān)系，1平角=2直角，1周角=2平角=4直角。

要對(duì)角進(jìn)行有效分類，確定分類標(biāo)準(zhǔn)是至關(guān)重要的。學(xué)生經(jīng)歷估認(rèn)角的類型、測(cè)量角的大小后再根據(jù)角的度數(shù)對(duì)角進(jìn)行分類，逐步概括并形成角的概念。正如，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中所指出的那樣：“通過(guò)多次反復(fù)的思考和長(zhǎng)時(shí)間的積累，使學(xué)生逐步感悟分類是一種重要的思想”。

二、 經(jīng)歷估量、測(cè)量過(guò)程，滲透數(shù)形結(jié)合思想

根據(jù)給定的角來(lái)估計(jì)角的度數(shù)，根據(jù)角的度數(shù)來(lái)想象角的大小，是學(xué)生學(xué)習(xí)角的度量的難點(diǎn)。如何讓角的圖形與角的度數(shù)有效結(jié)合？學(xué)生一組組地進(jìn)行觀察和比較，判斷每組中兩個(gè)角的大小（如圖2）。根據(jù)學(xué)生的原有認(rèn)知，絕大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為每組中上面的角比下面的角大一些，理由是下面的角的邊比上面的角的邊長(zhǎng)。

基于學(xué)生空間觀念發(fā)展的特點(diǎn)，學(xué)生用一幅三角板拼一拼圖2中的每一組角，判斷上面的角與下面的角的大小，并分別比較∠1，∠3，∠5和∠7及∠2，∠4，∠6和∠8的大小。學(xué)生用三角板拼后進(jìn)行交流。

生1：我用三角板中的一個(gè)小角（指30°角）去拼∠1和∠2，發(fā)現(xiàn)∠1和∠2是一樣大的。

生2：我也用三角板上的小角去拼第二組中的∠3和∠4，發(fā)現(xiàn)∠3和∠4都含有2個(gè)小角。

生3：我是用三角板上的大角（指60°角）去拼∠3和∠4，發(fā)現(xiàn)∠3和∠4都是一個(gè)大角。

生4：我是用三角板上的小角去拼第三組的∠5和∠6，發(fā)現(xiàn)∠5和∠6都含有4個(gè)小角。我的同桌用大角去拼，發(fā)現(xiàn)∠5和∠6都含有2個(gè)大角。

生5：我用三角板上的大角和小角都無(wú)法拼出第四組中的角，第四組中的角無(wú)法判斷。

生6：（邊展示邊說(shuō)）我用兩塊三角板能拼出∠7和∠8，先用含有小角的三角板拼直角，再用另一塊三角板的角（指45°角）就拼出了∠7和∠8。雖然我知道∠7和∠8一樣大，但我不知道∠7和∠8的度數(shù)。

師：角的大小與什么因素有關(guān)？

生1：經(jīng)過(guò)比較，角的大小與角兩邊的長(zhǎng)短沒(méi)有關(guān)系。

生2：角是從一點(diǎn)引出兩條射線所組成的圖形，因?yàn)樯渚€的一端可以無(wú)限延伸，所以，角的大小與角兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。

生3：我發(fā)現(xiàn)∠1含有一個(gè)小角，∠3含有兩個(gè)小角，∠5含有四個(gè)小角。角的大小與兩條邊張開的大小有關(guān)，張開得越大，角越大。

師：經(jīng)過(guò)同學(xué)們的觀察與比較，得出角的大小要看兩條邊叉開的大小，叉開得越大，角越大。請(qǐng)同學(xué)們?cè)俦容^∠1，∠3，∠5和∠7四個(gè)角的大小，有多大，大多少？

生1：∠3的度數(shù)是∠1的2倍;∠5的度數(shù)是∠3的2倍，是∠1的4倍;∠7的度數(shù)是∠1的4倍多一些。因此，這四個(gè)角的大小是∠1<∠3<∠5<∠7。

生2：用我的三角尺無(wú)法判斷四個(gè)角的度數(shù)和大多少，而我同桌三角尺上的度數(shù)能判斷這四個(gè)角的度數(shù)。

生3：用三角板來(lái)判斷角的大小，要比對(duì)要計(jì)算，不僅麻煩，而且有的角無(wú)法用三角板來(lái)判斷。比較角的大小，要用量角器。

學(xué)生先估計(jì)一幅三角板上各個(gè)角的度數(shù)，并量一量各是多少度，再用量角器測(cè)量∠2，∠4，∠6和∠8中四個(gè)角的度數(shù)。學(xué)生估計(jì)與測(cè)量后，進(jìn)行交流并展示。

生1：長(zhǎng)度標(biāo)注在直角邊的三角尺，我的估測(cè)與測(cè)量的結(jié)果是相同的，分別是90°、60°、30°。

生2：長(zhǎng)度標(biāo)注在底邊的三角尺，我的估測(cè)與測(cè)量的結(jié)果有不同的地方，在估測(cè)時(shí)，下面的兩個(gè)角分別是40°、50°，實(shí)際測(cè)量時(shí)發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)角的度數(shù)都是一樣的：45°。

生3：經(jīng)過(guò)對(duì)一幅三角尺的測(cè)量，我發(fā)現(xiàn)開口向右的角一般要看內(nèi)圈刻度，開口向左的角一般要看外圈刻度。

生4：經(jīng)過(guò)對(duì)∠2，∠4，∠6和∠8四個(gè)角的測(cè)量，我測(cè)量的結(jié)果是∠2=30°、∠4=60°、∠6=120°、∠8=135°。我發(fā)現(xiàn)∠4比∠2大30°，∠6比∠4大60°，∠8比∠6大15°。

生5：四個(gè)角測(cè)量的結(jié)果與我們拼的結(jié)果一樣，而且，我從四個(gè)角的比較中發(fā)現(xiàn)角可以看作一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定度數(shù)后形成的圖形。

學(xué)生6：經(jīng)過(guò)測(cè)量，我現(xiàn)在能比劃出30°、45°、60°、90°、120°、135°的角。我能想象出30°、45°、60°、90°、120°、135°角的大小。

三、 經(jīng)歷多元作圖過(guò)程，滲透類比思想

學(xué)生在學(xué)習(xí)畫角知識(shí)時(shí)，可以充分利用原有量角的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生不僅經(jīng)歷了畫角的過(guò)程，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷類比的過(guò)程。如何讓學(xué)生經(jīng)歷畫角的過(guò)程，從而培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力？學(xué)生選擇合適的方法畫出下列各角（10°、45°、60°、90°、105°、120°、165°），并說(shuō)說(shuō)它們分別是哪一種角。學(xué)生先自主畫角，再分組討論，然后進(jìn)行展示。

生1：我每個(gè)角都是用量角器畫的，因?yàn)槲覀円呀?jīng)學(xué)過(guò)量角的方法，所以用量角器畫角比較簡(jiǎn)單。在用量角器量角的時(shí)候，先把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的頂點(diǎn)重合，零刻度線和角的一條邊重合。因此，我在畫一個(gè)60°的角時(shí)，先畫一條射線，使量角器的中心和射線的端點(diǎn)重合，零刻度線和射線重合。在用量角器量角的時(shí)候，接著要看角的另一條邊所對(duì)的量角器上的刻度，就是這個(gè)角的度數(shù)。因此，畫角時(shí)，在量角器60°刻度線的地方點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)。然后，以畫出的射線的端點(diǎn)為端點(diǎn)，通過(guò)剛畫的點(diǎn)，再畫一條射線。最后，標(biāo)好角的符號(hào)及度數(shù)。

生2：我覺(jué)得有的角用三角尺畫比較簡(jiǎn)便，用三角尺可以直接畫出45°、60°、90°的角，而10°、105°、120°、165°的角用量角器畫比較簡(jiǎn)便。

生3：我除了10°的角要用量角器外，其他的角用三角板都可以完成，其中105°、120°、165°的角需要一幅三角板才能畫出來(lái)。

師：誰(shuí)來(lái)介紹一下用一幅三角板畫出105°和120°、165°的角？

生4：畫105°角的方法是：利用45°+60°=105°，可以先用三角板畫出一個(gè)45°的角，然后與45°的角共一條邊再畫出一個(gè)60°的角，這兩個(gè)角的和就是105°。畫120°角的方法與畫105°角的方法是相同的，可以利用60°+60°=120°或者90°+30°=120°來(lái)畫。

生5：畫165°角的方法是：利用30°+45°+90°=165°，可以用三角板畫一個(gè)30°的角，再接畫一個(gè)45°的角，然后再接畫一個(gè)90°的角，這三個(gè)角的和就是165°（如圖3）。

生6：我補(bǔ)充畫165°角的方法，利用45°+60°+60°=165°（如圖4），我的同桌利用180°—15°=165°也能畫165°的角（如圖5）。

學(xué)生在作圖的過(guò)程中提出并交流了各自作圖的過(guò)程和策略，不僅豐富了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更重要的是滲透了類比思想。正如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》所言：“數(shù)學(xué)中有一些重要內(nèi)容、方法、思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，逐步理解和掌握的”，因此，“組織學(xué)生操作實(shí)驗(yàn)、觀察現(xiàn)象、提出猜想、推理論證等，都能有效地啟發(fā)學(xué)生的思考，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，逐步學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”。

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】