數控轉塔沖床橫梁結構多目標拓撲優化設計*

羅 黎 孫蓓蓓 周易達

(東南大學機械工程學院，江蘇 南京 211189)

數控轉塔沖床是一種加工多孔薄板的沖裁設備，橫梁是數控轉塔沖床的送料機構，其剛度與模態頻率對沖床的穩定性、加工精度等性能影響顯著。隨著數控轉塔沖床工作速度的提高，橫梁的靜動態特性尤為重要，而結構優化是提高橫梁靜動態特性最有效的途徑之一。

拓撲優化技術是目前機床企業廣泛應用的一種結構優化方法，相較于尺寸優化和形狀優化，拓撲優化［1-2］具有更多的設計自由度和更大的設計空間，可以在均勻分布材料的設計空間內找到最佳分布方案，縮短結構改進設計周期，提高機床性能。

目前，國內外拓撲優化設計主要集中在采用傳統的單目標的拓撲優化問題上，例如以剛度最大化為目標函數的單目標拓撲優化問題［3-4］，或是以頻率最大化為目標函數的拓撲優化設計［5］，然后再對新的拓撲結構進行模態分析、靜力分析等，這樣可能會出現結構剛度和頻率之間的不一致性和不可協調性，因而很難得到最優拓撲結構。

為避免傳統的單目標優化設計方法無法同時考慮多個優化目標的缺點，本文以數控轉塔沖床橫梁為對象，采用多目標拓撲優化的方法進行結構優化設計。首先建立橫梁準確的有限元模型，基于加權歐氏距離法，建立橫梁多目標拓撲優化的目標函數，應用變密度法進行多目標拓撲優化計算，并根據拓撲優化結果對橫梁進行結構改進設計，在保持橫梁質量不變前提下，提高剛度與固有頻率。

1 加權歐氏距離法

任何一個目標函數的目標值都可以轉化為最小值問題，因此所有的多目標函數都可以表示為:

式中:m≥2，f1(x)，f2(x)，f3(x)，…，fm(x)分別為每個單目標函數，優化的目的是使全部單目標函數同時最小化。單目標優化問題往往只存在一個最優值，而多目標優化至少有兩個或兩個以上的目標函數，其解通常是一組Pareto 解。假設一個多目標問題，y1、y2、…、ym分別為每一個單目標函數的最優解，記為y=(y1，y2，…，ym)，x1、x2、…、xm為多目標問題的Pareto 解，記為x=(x1，x2，…，xm)，那么多目標優化問題的Pareto解即為與最優解距離最小的矢量，因此該多目標優化問題可以簡化為單目標的優化問題，可以表示為:

式中:P≥1;wj為每個目標函數的權重，=1，wj＞0。

P 取值不同時，目標函數意義具有不同的意義，當P=2 時，目標函數表示Pareto 解與最優解向量之間的最小化加權歐氏距離，故本文取P=2 建立拓撲優化的目標函數，由于每個目標函數的單位、量度不一樣，因此需要將目標函數的Pareto 解與其最優解的距離相對化，將目標函數無量綱化，所以式(2)中的目標函數可以轉化為下面的單目標函數優化問題:

2 多目標拓撲優化目標函數

2.1 靜態多剛度拓撲優化模型

靜態優化設計的目標為結構剛度最大化，對結構剛度最大化拓撲優化是研究在設計域內得到使結構剛度最大的材料分布形式的問題。橫梁在不同的工況下具有不同的靜態特性，多工況下的剛度拓撲優化問題通常稱為多剛度拓撲優化問題。橫梁在每一個工況下對應著一個剛度的最優拓撲結構，所以不同的工況將得到不同的拓撲結構。因此，多剛度拓撲優化問題實際上是屬于多目標拓撲優化問題。

在處理該類問題時，通常把剛度最大問題等效為柔度最小問題來研究，由加權歐氏距離法可以得到拓撲優化的目標函數為:

式中:n 為載荷工況總數;wj為第j 個工況的權值;Cj(ρ)為第j 個工況的柔度目標函數;Cminj 分別為第j 個工況柔度目標函數的最小值。

2.2 模態頻率拓撲優化模型

結構在振動時，低階模態反映結構的動態特性，而高階模態對結構影響較小，因此動態拓撲優化設計時將低階的幾階模態頻率最大化作為目標函數，以結構體積做為設計約束。但是在優化過程中經常會遇到這樣的情況:當其中一個階次的頻率達到最大時，其他階次頻率可能降到一個較低的值，而且幾階頻率之間可能會相互調換次序。這樣就會出現目標函數振蕩問題。為了避免幾階頻率目標函數出現振蕩的現象，此處采用上述方式定義模態頻率拓撲優化的目標函數:

式中:n 為載荷工況總數;wj為第j 階模態頻率的權重值;Λj(ρ)為第j 階模態頻率目標函數為第j 階模態頻率的最大值。

該方法定義了一個光滑的目標函數。在優化過程中，當公式中的幾個低階模態的頻率發生交替時，目標函數仍然保持光滑，這是因為這幾個低階模態的貢獻在公式中已經被考慮了。

2.3 同時考慮靜動態性能的多目標拓撲優化目標函數

結構多目標拓撲優化是以體積分數作為設計約束，同時考慮靜態多剛度和振動頻率目標的優化設計，優化目標函數可以表示為:

式中:F(ρ)表示優化目標函數;w 為柔度系數權重。

3 橫梁結構多目標拓撲優化

3.1 有限元模型的建立與驗證

如圖1 所示，數控轉塔沖床橫梁主要由滾珠絲杠傳動系統、3 根并聯方管、軸溜板、電動機、護罩、底下支架等組成，橫梁通過電動機帶動滾珠絲杠實現加工板材沿X、Y 方向進給運動。

橫梁屬于大型復雜裝配件結構，在建立有限元模型時應考慮各部件間的連接方式。機床上比較典型的連接方式有焊接、附加質量、滾動導軌結合面、剛性連接等，本文所研究的對象各部件間的連接方式在hyperworks 軟件中分別通過CWELD 單元、CONM2 單元、CELAS1 彈簧單元、RBE2 單元來實現，橫梁各部件連接方式如表1 所示。

表1 橫梁各部件間連接方式

利用CAD 軟件Solidworks 對幾何模型進行簡化處理:忽略工藝上的倒角和倒圓以及連接用的小直徑孔;由于拓撲優化設計需要消耗大量的計算空間與時間，并且機床橫梁整體結構較大，為了提高有限元模型的計算精度，節省計算時間與空間，將實體結構劃分為六面體網格，薄板結構劃分為四邊形面網格;在hypermesh 中對零部件進行網格劃分，并建立相應的連接關系;橫梁主要通過Y 方向導軌固定在機身上，約束其底部六個方向的自由度。最終建立的有限元模型如圖2 所示，網格總數為274042，計算X 軸溜板位于中間時橫梁的約束模態;模態實驗采用單點激勵多點響應的方法，錘擊激勵頻率范圍為0～1000 Hz。表2 所示為橫梁模態測試與有限元計算結果對比，固有頻率最大誤差為6.8%，在誤差允許范圍內，前四階振型如圖3 所示(模態實驗的第二階振型未激勵出來)，可以看出實驗模態振型與有限元計算的模態振型一致，因此驗證了本文所建有限元模型的正確性。

表2 橫梁模態測試與有限元計算結果對比

3.2 拓撲優化結果分析

由于X 軸溜板在左右運動過程中，對橫梁的動態性能影響較大，尤其是在兩個極限位置(最左側與最右側)，對橫梁的動態性能影響最大?，F選取X 軸溜板位于最左側時進行拓撲優化設計。在進行結構拓撲優化時，通過指定拓撲優化模型中的設計域和非設計域來控制結構中的優化和不需要優化的部分，如滾珠絲杠傳動系統、滾動導軌等將其設為非設計區域，而橫梁方管、底下支架、軸溜板、隔板等設為設計區域。

在以下2 中工況下對橫梁進行多剛度拓撲優化:

(1)Y 進給方向最大加速度1.2g 時，橫梁的變形。

(2)橫梁端部施加2000 N力時橫梁的變形，并計算橫梁的靜剛度()。

在目標函數中將兩種工況權重取為相等;同樣，也將橫梁結構前三階固有頻率的權重值取為相同;在多目標拓撲優化的綜合目標函數中，取柔度的權重值為0.4，固有頻率權重值為0.6。

在結構進行網格劃分后，將設計域每個單元的密度作為設計變量，設置相應的邊界條件與工況，并用optistruct 軟件中提供的自定義函數來定義多目標拓撲優化的目標函數，利用SIMP 插值方法作為材料模型，結構體積分數作為設計約束。目標函數迭代曲線如圖4，體積分數迭代值曲線如圖5，經過30 步優化迭代后，最終趨向穩定，拓撲優化得到收斂。最終拓撲優化結果如圖6 所示，拓撲優化后結果是以單元密度0～1 來顯示，圖中深色單元的密度趨近于1，而淺色單元密度趨近于0，單元密度越大表明該構件需要設置加強筋，相反單元密度越小則表明該處的材料可以去掉。因此，橫梁方管剛度需要加強，而底下支架材料有盈余，根據拓撲優化結果對橫梁進行結構優化設計。

3.3 結構改進設計及分析

根據拓撲優化結果，對橫梁結構進行以下改進:在橫梁兩三角座中間設置加強筋，厚度為5 mm，減小底下支架厚度，由3 mm 變為2.5 mm，優化前后橫梁性能參數如表3 所示，在質量基本保持不變的情況下，橫梁Y 方向靜剛度提高了17.8%，一階固有頻率增加了4.98%，優化效果顯著。

表3 拓撲優化前后橫梁性能參數對比

4 結語

本文以數控轉塔沖床橫梁為研究對象，通過加權歐氏距離法把柔度最小化和模態頻率最大化兩個目標函數轉化為橫梁多目標拓撲優化問題，并采用變密度法進行優化求解，基于拓撲優化結果對橫梁結構進行改進，提高了橫梁靜剛度與固有頻率，主要結論如下:

(1)針對數控轉塔沖床橫梁結構的特點，建立了準確的有限元模型，并通過實驗驗證了有限元模型的正確性，為后續優化設計奠定了基礎。

(2)針對單目標拓撲優化無法同時考慮多個目標函數的缺陷，利用加權歐氏距離法將多目標轉化為單目標，并建立了多目標拓撲優化的目標函數。

(3)對橫梁進行結構改進設計，改進后的橫梁在質量基本保持不變的情況下，橫梁靜剛度提高了17.8%，一階固有頻率增加了4.9%，優化效果顯著。

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