基于數學實驗提升工科數學課堂教學質量的研究

吳松林　陳體英　伍度志　肖光強

摘要：把數學實驗融入工科數學的課堂中，會增強學生對概念、基本知識的理解和掌握，會提高學生分析、解決數學問題的能力，會促進學生思考，探索新問題。因此，把數學實驗融入到工科數學的課堂中，會提升課堂的教學效果，提高人才培養的質量。本文在這些方面進行了探索，并舉例進行了驗證。

關鍵詞：數學實驗 工科數學課堂 教學質量 MATLAB

近年來，隨著數學建模和數學實驗的改革研究，特別是將其成果融入到數學主干課程中去探索實踐，獲得了巨大的成功，編著了許多經典的教材，撰寫了許多應用相關數學知識去解決實際問題的范例，提供了提高學生解決問題能力的途徑。

在數學實驗方面，就取得了如下的共識：實驗教學對學生掌握科學研究的方法、培養學生實事求是的科學態度、實踐能力和創新精神有著其他教育方式不可替代的作用。數學實驗能加深學生對數學理論和方法的理解和掌握；構建數學理論與數學實驗的橋梁；培養學生理論聯系實際實踐技能；激發學生學習興趣、創新潛能，培養創新意識；提高學生發現問題、分析問題和解決問題的能力。

但是，如何將數學實驗有效融入課堂，將其改革成果惠及所有學生，提高課堂授課藝術，激發學生思維，對提升課堂教學質量方面研究還有待深入，還需要不斷實踐、總結。

一、在工科數學課堂中融入實驗能有效幫助學員理解基本概念

在線性代數中，線性變換是一個抽象的概念，學生難以掌握。為了能在課堂上幫助學員理解變換的概念，設計如下的實驗：對正方形進行一系列線性變換，包括旋轉變換、伸縮變換、以及任意一個線性變換。假設初始狀況下正方形頂點坐標為P1（-1，-1），P2（1，-1），P3（1，1），P4（-1，1），令正方形圍繞其中心旋轉且放大，得到一組正方形，使得每個后面的正方形都包含前一個正方形，并觀察變換結果。

對正方形進行變換，實際上只需要對正方形的四個頂點進行變換，且將四個頂點的象按順序連接即可。設第i個頂點的坐標是Pi（xi，yi），則其象的坐標是（xi'，yi'）=（xi，yi）A。取不同的變換矩陣A，就可實現不同的變換。

1.對正方形進行旋轉變換

取A=cosα-sinαsinαcosα，α=π6，將正方形連續旋轉6次，程序略，結果如下圖所示：

2.對正方形進行任意線性變換

取A=1.2i231.2i，i=1，2，…，20，對正方形進行20次變換，程序略。

3.對正方形進行旋轉和伸縮變換

取矩陣A1=cosα-sinαsinαcosα，A2=s00s，A=A1A2，要使每個后繼正方形正好包含前一個，經推導知，應取伸縮系數s=cosα+sinα，取α=π30，共變換20次，程序略，結果如下圖所示

通過這樣的操作，學生對線性變換就有了直觀的認識。

二、在工科數學課堂中融入實驗能有效幫助學員理解基礎知識

在概率統計的學習中，中心極限定理（獨立同分布的隨機變量的和的極限分布服從正態分布）在隨機數學的知識結構中具有重要的地位，但是，初學者要掌握好中心極限定理往往很困難，如果能在課堂上直接借助于數學軟件進行統計模擬，將會給學生留下非常深刻的影響，容易理解、掌握好該定理。

譬如通過產生容量為m組poiss分布和指數分布的樣本，研究其和的漸近分布。采取步驟：（1）產生容量為n的獨立同分布的隨機數，得均值和標準差；（2）將和標準化；（3）驗證所得的m組標準化和的數據是否服從標準正態。

通過某一隨機模擬，得到正態檢驗圖：

從正態檢驗圖可以看出，所產生的數據服從正態分布。另外，容易修改成其它分布，也可得相似的結論。故得出結論：不論隨機變量的分布是什么，在大樣本情況下，其和的漸近分布都是標準正態分布，因此正態分布可作為隨機變量和的近似分布。

又如，在學習微分方程中，為了說明初值對微分方程的重要影響。理解什么是“蝴蝶效應”，在課堂上設計了解微分方程數值解的實驗。求微分方程dxdt=-βx+yzdydt=-σ（y-z）dzdt=-xy+ρy-z 取β=8/3，σ=10，ρ=28，初始條件x（0）=0，y（0）=0，z（0）=0.01。t∈[0，80]的數值解。記向量[y1，y2，y3]=[x，y，z]，創建MATLAB函數文件如下：

通過上面的圖形和教員的講解，以及更改初始條件，得到相應的其它結果，學生對“蝴蝶效應”應該記憶非常深刻。

三、在工科數學課堂中融入實驗能有效培養學生的探索意識

在課堂的講授中，很多事實難以給學生解釋清楚，如果讓學生自己去做、去發現真相、探索結果，也會給他們留下深刻的影響。譬如，在講級數的概念時，給學生作koch雪花的圖像，讓學生去計算該圖像的周長和面積，得到結果一定會讓學生驚訝，因為雪花的圖像令人神奇不說，它的面積有限，但周長卻是無限的，學生幾乎沒有遇到過這樣的分形圖像。

還譬如作函數y=sin（1/x）的圖形，考察在x=0附近函數的振蕩現象，探索該函數的其它特性。

首先，作出函數y=sin（1/x）在區間[-π，π]的函數圖形，在區間[-0.5，0.5]上函數振蕩得特別厲害，看不清楚曲線的軌跡。進而又在區間[-0.1，0.1]上放大。 考察x取0為極限的數列時，y=sin（1/x）有無變化規律。取x=1/n， y=sin（n），其中n為自然數。作出這些離散點（xn，yn）的圖像。從圖中可以得到有規律變化的離散曲線，每一條離散曲線是由哪些離散點形成的呢？讓學生去思考，一定會激發學生的好奇心和探索精神。對有興趣的學生，還可以進一步給他們介紹非線性科學，特別是混沌的科學知識。

四、課堂中融入實驗能有效培養學生的應用數學解決問題的能力

近年來，在高等數學的每次課堂教學中，基本上都形成了以問題為驅動的教學模式，即通過問題引出數學知識，通過知識傳授，再回來應用知識解決實際問題。形成了問題到知識，再從知識到問題的循環過程，體現了數學知識與實際問題緊密相關，數學知識就是用來解決實際問題的。久而久之，就增加了學生利用數學知識解決實際問題的許多范例。當遇到新的問題，課堂上對問題的分析思路，解決問題的辦法等會起到潛移默化的作用。他們不自覺就會動手、利用計算機、利用軟件等去解決問題，這就是把數學實驗融入到課堂上應該起到的效果。這樣的范例太多，不再一一列舉。

總之，在近幾年的教學改革中，特別是在授課質量的評比中，把數學實驗融入到工科數學的課堂中，激發了學生的學習興趣；增強了學生對概念、基本知識的理解；提高了學生分析、解決問題的能力；更重要的是學生會思考了，會想問題了，會動手解決問題了。通過把數學實驗融入到工科數學的課堂中，大大提升了課堂的教學效果，提高了人才培養的質量。

參考文獻：

[1]劉雄偉，王曉.高等數學實驗化教學模式的理論研究與實踐[J].高師理科學刊，2012，（6）75-78.

[2]農吉夫，吳建生.在概率統計教學中運用MATLAB滲透數學實驗的探索[J].柳州師專學報，2008，（4）：127-132.

[3]王小才.將數學實驗融入工科概率統計課程的教學[J].數學教學研究，2011，（8），47-49.

[4]王軍霞，黃娟.將數學實驗融入線性代數的教學[J].數學教學研究，2011，（2）：48-50.

[5]林小蘋，吳文杰.用MATLAB模擬大數定律和中心極限定理[J].汕頭大學學報，20O5，（2）.

[6]鄭秀琴.Matlab在數學教學中的可視化研究[J].高師理科學刊，2006，（3）.

[7]吳松林.應用概率統計[M].重慶：重慶大學出版社，2008.

[8]趙靜.數學建模與數學實驗[M].北京：高等教育出版社（第三版），2008.