設置大問題——由“教師講”轉變?yōu)椤皩W生悟”

李杰

一、主題與背景

這節(jié)課是2014年哈爾濱市第五屆“燭光杯”課堂教學大賽的課題.其中有五位教師同時講這個課題.因式分解的平方差公式（以下簡稱公式）：a2-b2=（a+b）（a-b），是在學習整式乘法的平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2之后學習的.這一節(jié)課的重點是讓學生掌握公式的特點，并能熟練地運用公式進行一個多項式的因式分解.在這個過程中，體會整式乘法與因式分解的關系.在日常的教學中，絕大多數(shù)的教師進行這節(jié)課的教學時，一般都是直接給出公式，講清公式的特點，例題示范后，進行大量的多項式因式分解的訓練.這樣的教學，從表面上看，學生順利地掌握了公式，輕松應對中考.深度思考后會發(fā)現(xiàn)，學生雖然能熟練應用公式進行因式分解，但他們不一定體會到公式的來龍去脈和其中蘊含的數(shù)學思想方法，真正感悟公式的特點，是教師“教會”而不是自主“學會”公式的應用.那么對于這類公式課型的教學，除了應對中考，學生思維能力會有哪些提高呢？如何通過設計大問題情境，由“教師講”轉變?yōu)椤皩W生悟”呢？

為此，在初中數(shù)學學科的教研實踐基地旭東中學，由兩位初中數(shù)學教研員、旭東中學校長、主任及數(shù)學組全體教師組成課題組，講課教師確定為于立波老師，以因式分解的平方差公式為例，進行了專題研究.

二、情景與描述

本節(jié)課我們通過“公式的得出、公式的辨析、公式的應用”三個主要環(huán)節(jié)進行描述.

環(huán)節(jié)一：公式的得出

問題一：有一個邊長為5的大正方形和一個邊長為4的小正方形，這樣疊合在一起，那么陰影部分的面積是多少？

生：9.

師：反應真快！

問題二：如果大正方形的邊長是10，小正方形的邊長是6，那么陰影部分的面積又是多少？

生：64.

師：好！

問題三：如果大正方形的邊長是5.6，小正方形的邊長是4.6，那么陰影部分的面積又是多少？

（學生思考片刻，有些困難.）

師：看樣子這樣的算式快速算出有些困難，有沒有更好的簡便方法計算呢？我們繼續(xù)研究.

師：如果大正方形的邊長是a，小正方形的邊長是b，陰影的面積是多少？

生：a2-b2.

問題四：你還能用其他形式表示陰影部分的面積嗎？

（同桌為一個小組，利用學具合作完成，完成后匯報.）

教師提供方便快捷的圖形學具，各小組同學積極思考，相互合作，研究出幾種不同形式，教師深入其中，適時指導.各組學生匯報成果：

組1：將陰影部分分割成兩個長方形，然后拼成一個大長方形，從而得到陰影部分的面積（a+b）（a-b）.

組2：將陰影部分分割成兩個長方形和一個小正方形，得到陰影部分的面積（a-b）2+2b（a-b），整理后得（a+b）（a-b）.

組3：將陰影部分分割成兩個直角梯形的方式，可能得到陰影部分的面積.整理后得2×■（a+b）（a-b）.

師：分割得很巧妙，真是不錯的想法.

師：我們來看，不管哪個式子表示的都是陰影的面積，那么它們在數(shù)量上應該怎么樣？

生：相等.

師：這樣a2-b2=（a+b）（a-b），我們在哪兒見過類似的式子？

生：在學整式乘法時學習了（a+b）（a-b）=a2-b2平方差公式.

師：實質上我們把整式乘法的平方差公式等號兩邊互換位置就得到了a2-b2=（a+b）（a-b）.

師：觀察這個等式，從右到左是整式乘法，那么從左到右是什么呢？

生：因式分解.

師：這就是我們這節(jié)課所研究的因式分解的平方差公式，用這一公式將一個多項式因式分解的方法就是我們今天將要研究的公式法.

（板書：21.3.2 公式法（1））

環(huán)節(jié)二：公式的辨析

師：請同學們觀察公式的特點，誰能嘗試用語言描述一下這個公式.

（幾個學生描述，教師板書.）

師：我們再來看前邊的問題，大正方形的邊長是5.6，小正方形的邊長是4.6，那么陰影部分的面積如何求呢？

生：5.62-4.62=（5.6+4.6）×（5.6-4.6）=10.2.

師：同學們很智慧啊，用我們今天學習的因式分解的平方差公式就能快速計算出結果了！

問題一：在材料紙上寫兩個能用平方差公式因式分解的多項式，并且同桌交流一下，說說你寫的多項式為什么能用平方差公式因式分解？

片刻之后，學生紛紛回答：①x2-9；②4x2-9y2；③（x-m）2-（x+n）2； ④3x2-7y2 .

學生充分交流后，教師引導學生找出典型例子，學生到黑板上講解.之后教師又拿出幾個多項式：

問題二：x2+y2、-x2+y2、-x2-y2，大家看這些多項式能不能用平方差公式因式分解呢？為什么？在這個過程中，應該注意什么？

師：大家辨析得非常好，那么怎樣的多項式才能用平方差公式因式分解，誰能提醒同學應該關注什么？

在學生熱烈的研討下，大家基本達成共識：應用平方差公式因式分解的多項式，主要應該有兩項，有平方，還有差的形式，兩項異號.更可貴的是，一名學生發(fā)言中強調：為了不出錯，首先把前后兩項分別寫成整體平方的形式，確定誰相當于公式中的a，誰相當于公式中的b，然后再進行因式分解.這些都是由學生探究發(fā)現(xiàn)的，是非常難得的.

環(huán)節(jié)三：公式的應用

教師設計一個很有思維含量的問題.

問題：從下列式子中：y4、-ab、x4、1、16x2、a3b，選取兩個式子組成一個多項式，并因式分解.與同桌同學合作完成.endprint

在學生交流中，學生組合成很多的多項式，并進行因式分解，教師選擇幾個典型的多項式：x4-y4；x4-16x2；a3b-ab.學生到黑板上板書并講解.學生發(fā)現(xiàn)一些典型錯誤，有的沒有分解到最后，學生之間大膽糾錯，相互質疑.最后歸納由學生進行一個多項式因式分解時，易錯點和注意事項.

三、問題與討論

關于“公式的得出”環(huán)節(jié)，在備課時，大家爭論的焦點在：方案一，一部分教師認為，因式分解的平方差公式a2 -b2 =（a+b）（a-b），實質上可以直接由整式乘法的平方差公式（a+b）（a-b）=a2 -b2 等號左右兩端交換位置得到，我們教學時，可以直接得到，這樣簡潔直觀，一目了然.方案二，另一部分教師則堅持，由學生感興趣的兩個正方形疊合在一起，（如下圖）快速回答剩余部分的面積入手，從特殊情況邊長是數(shù)字入手，再過渡到一般，從圖形的角度來驗證公式.這樣操作雖然需要一定的時間，但是這樣能很好地滲透數(shù)形結合的思想，引導學生用幾何的方式解決代數(shù)的問題.

究竟怎樣做才是有利于學生思維發(fā)展呢？大家展開了深入的討論，用圖形的面積來驗證公式是否必要？其中A教師的發(fā)言引起大家的深思，用方案二不僅僅是從圖形的角度驗證公式，它還有一個重要功能，是讓學生體會學習因式分解平方差公式的重要性，也就是我們?yōu)槭裁匆獙W習這個公式，這樣學生會對本節(jié)課產生濃厚的興趣，所以，方案二是可取的.教師B又有不同的觀點，方案二的作用是明顯的，但它不能讓學生更好地感悟整式乘法與因式分解之間的關系.真理越辯越明，最后，達成了共識.首先通過幾組正方形圖片疊合，求剩余部分的面積作為熱身，在數(shù)據(jù)上由簡單到復雜的過程中，產生認知沖突，然后設置大問題：利用學具探究正方形邊長為a、b時，疊合后剩余部分的面積，從而，從圖形的角度得到了a2-b2=（a+b）（a-b），然后應用它解決剛才產生認知沖突的問題，即5.62-4.62，如何計算的問題，讓學生充分感受到新知學習的必要性，再自然聯(lián)想到前面學習過的整式乘法的平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，將它左右兩邊交換位置，也可以得到因式分解的平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）.

這樣的設計既讓學生有濃厚的興趣的同時，還使數(shù)與形結合得更緊密，同時又自然地體現(xiàn)了整式乘法與因式分解的關聯(lián).

關于“公式的辨析”及“公式的應用”環(huán)節(jié)，第一次上課的設計是先引導學生觀察公式的特點，再嘗試用語言敘述出來，為了進一步體會具體問題中的式子與公式中a、b的對應性，教師舉兩個簡單的例子作示范，說明如何與公式中的a、b對應，并講解正規(guī)的書寫格式，然后給出例二，復雜多項式的因式分解（需兩次分解的多項式），引導學生總結易錯點.課后，聽課教師在討論中一致認為，觀察公式的特點、用語言描述公式是非常必要的，可以加深對公式的理解，關于具體問題中的多項式與公式中a、b的對應性的理解，是學生熟練準確應用公式的關鍵所在，課上老師這樣示范，學生會模仿照做，從應試角度看，解決簡單多項式的因式分解沒有問題，但是突出表現(xiàn)教師牽制學生來思考它們的對應性，那么如何引導學生自己感悟從不同角度辨析公式呢？還有對公式的應用大家也有不同的看法：問題不應該由教師直接給出，易錯點也不應以教師為主強調，應讓學生悟出.問題出在課堂設置的問題太小、太碎，缺少思維空間.經過大家的研究，對第一次上課的問題設置修改為最后一次上課的方案.

四、詮釋與研究

按照研究的方案進行教學后，課題組成員再一次進行了反思.在課堂的關鍵環(huán)節(jié)的問題設置，如：問題四：你還能用其他形式表示陰影部分的面積嗎？（兩名同學為一個小組，利用學具合作完成，完成后匯報.）問題一：在材料紙上寫兩個能用平方差公式因式分解的多項式，并且同桌交流一下，說說你寫的多項式為什么能用平方差公式因式分解？問題二：x2+y2、-x2+y2、-x2-y2，大家看這些多項式能不能用平方差公式因式分解呢？為什么？在這個過程中，應該注意什么？問題：從下列式子中：y4、-ab、x4、1、16x2、a3b，選取兩個式子組成一個多項式，并因式分解，小組合作完成.這些問題具有以下特點：其一直接指向本節(jié)課的本質，其二這些問題都需要學生動腦思考、動手操作及相互合作再能完成，思維含量較大.而教師在課堂上組織學生解決問題策略恰當，給學生自主感悟公式與熟練掌握公式提供了足夠的時間和空間.在思維發(fā)展的關鍵點上，恰當?shù)夭扇『献鲗W習，學生在傾聽、思考、合作、質疑中感悟新知，收獲新知.

同時我們也發(fā)現(xiàn)，在設置大問題，放手讓學生解決問題的過程中，教師的引導作用和關鍵環(huán)節(jié)的掌控至關重要.如：在學生用圖形探究公式和利用學具操作遇到困難時，教師不應該袖手旁觀，應及時指導學生使用學具，把握課堂節(jié)奏，減少不必要的時間浪費，在公式的應用環(huán)節(jié)中，學生自主發(fā)現(xiàn)糾錯因式分解易錯點時，同樣也需要教師及時提升.課堂設置問題越大、越開放，課堂生成對教師來說要求就越高，需要教師反應機敏，處事靈活，及時調控，這也是教學機智的充分體現(xiàn).

對于這樣代數(shù)公式類課型的教學，讓學生熟練掌握公式的同時，應引導學生經歷公式的生成過程，在此過程中，注意滲透數(shù)學思想方法，積累必要的數(shù)學活動經驗.教會學生自主感悟公式，學會熟練應用公式，尋找易混易錯點，給學生更多的思考空間.從而提高學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題與解決問題的能力.endprint