動靜結合 凸顯本質——對“角的初步認識”教學的思考

江蘇沭陽縣南湖小學（223600） 章 莉

［課前思考］

追問一：什么是角？

基于學生的認知水平，蘇教版小學數學教材二年級下冊采用舉例描述的方法指出什么是角，并介紹了角的各部分名稱。從對教材內容靜態呈現的理解來看，很多教師把角看成是自一點朝兩個不同方向延伸的兩條射線的框架結構，把“一個頂點，兩條直直的邊”看作角的概念的本質特征，認為學生只要認識了角的構成要素（頂點、邊），就等同于正確感知角的概念了。于是，在找角、指角的活動中，學生只需指出角的頂點及邊即可。

如此教學，如何理解《幾何原本》中對角的定義“平面角是在一平面內但不在一條直線上的兩條相交線相互的傾斜度”？如何解釋角是有度數可測量的？究竟什么是角的概念的內涵？

作為一個數學概念，角的定義主要有以下兩個方面：（1）角的靜態定義，即有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊；（2）角的動態定義，即由一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形叫做角。射線的端點叫做角的頂點，起始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊。從上述定義中可以清楚地知道角的各部分名稱，但有以下幾點模糊不清：第一，角是“……組成的圖形”“……旋轉形成的圖形”，那角是指圖形中的什么？角在哪兒？第二，角的兩條邊既然是射線，那么僅憑所畫角的邊的長短是不能決定角的外在形態的，因為角的邊長并非角的本質屬性，那么角的本質屬性是什么？我們知道角是有大小的，角的概念的本質內涵應體現在角的大小上，即角的大小是由具有公共端點的兩條射線所夾的部分決定的。

追問二：小弧線僅是角的標記嗎？

蘇教版小學數學教材二年級下冊（2001版）由具體實物的面上抽象出的角沒有標上小弧線，而修訂后的教材抽象出的角標上了小弧線。同時，修訂后的《教師教學用書》中指出“抽象出角的圖形后，可以在角的圖形里畫‘弧線’表示出角，以后我們可以用這樣的方法表示角”，這細節的變化意味著什么？

課堂教學中，教師對角中的小弧線是如何處理的呢？有的教師只是在表示角的時候隨手標上，并沒有向學生說明；有的教師則是這樣向學生介紹的“在數學中，為了更清晰地表示一個角，還會給角加上一條彎彎的線來表示這是一個角”。于是，小弧線成為角的一個形式化標志，但它僅僅只是角的標志嗎？

上文中提到，角的概念的本質內涵體現在角的大小上，而決定角的大小是角的張口的大小。如圖1，∠2包含∠1，也就是∠2的張口大于∠1，所以∠2大于∠1。《基本概念與運算法則》（史寧中著）一書中指出：“可以利用圖2來定義角的大小，即角的大小是由角所對應的單位圓的弦長決定的，或者說是由這個角所對應的單位圓的弧長決定的，而單位圓半徑的大小是人為確定的。”據此，我們畫角時所標記的小弧線，可以理解為具有單位圓的弧長的特質，它旨在揭示角是由具有公共端點的兩條射線所夾的部分決定的。也就是說，角的本質內涵體現在角的張口的大小上，而“一個頂點，兩條直直的邊”僅是構成角的基本要素。

圖1

圖2

追問三：如何利用活動角體會角的大小？

翻閱大量有關“角的初步認識”的教學設計，絕大部分都有做活動角這個教學環節，基本流程如下：（1）用觀察法感受角的大小。教師演示將活動角的兩邊張開再張開或慢慢合攏，讓學生體會角變大變小。（2）用重疊法比較角的大小，即將兩個活動角的頂點重合，一邊重合，看另一邊，如果另一邊也完全重合，兩個角就一樣大；如果另一邊落在外側，那么這個角就大。（3）體會角的大小與邊的長短無關。師出示兩個大小一樣的活動角，將其中一個角的兩邊拉長一些，讓學生比較角的大小。這時往往會出現不同的聲音，有的學生認為這兩個角不一樣大，理由是邊被拉長的這個角的兩邊并沒有與另一個角的兩邊完全重合，而是多出一截，這個角應該就大。為什么看似流暢的設計，最后卻出現不盡如人意的結果？

不妨分析這三個活動：第（1）個活動，教師將活動角的張口變大變小，以為學生就能體會到角的大小與兩邊的張口有關。實際上，有的學生受已有經驗中比較面的大小的影響，認為角變大變小是依據兩邊之間平面區域的變化，而不是角的張口的大小。因此，在進行第（3）個活動時，二年級學生會覺得邊被拉長的角的兩邊間的平面區域比較大，這個角就比較大。第（2）個活動，用重疊法比較角的大小，方法本身沒有問題，但教師沒有及時引導學生將關注點由角的邊是否重合轉移到看兩個角的張口大小上。這樣就不難理解，進行第（3）個活動時，有的學生產生疑問：“角的邊被拉長了，沒有和另一個角的邊完全重合，它們怎么會相等呢？”這是因為學生還沒有認識射線。再看第（3）個活動，一方面學生受已有的知識經驗及之前操作活動的負遷移影響，難以理解角的邊變長而角的大小仍然不變；另一方面，學生在以往的學習中都是在有限的范圍內進行大小比較的，以現有的思維水平還不能用觀察到的“有限”去體會看不到的“無限”，這樣學生不理解角的大小與邊的長短無關也就不奇怪了。

那么，如何較好地利用活動角幫助學生初步體會角的大小呢？筆者認為，既要緊扣角的概念的本質內涵，又要避免讓學生以“有限”的思維去理解“無限”的思想。

【教學策略】

教學中，如何把握教學的度，既讓學生認識角的基本特征，又潛移默化地向學生滲透角的本質內涵，幫助學生形成對角的整體感知呢？雖然小學階段只需要學生理解角的靜態定義，但要讓學生直觀感知角的大小以及后續學習角的度量，這些都與角的動態定義有密切的關系，而且角的概念的核心就是研究兩邊之間張口的程度。因此，基于上述思考，教學中宜采用動靜結合的方式，讓學生初步感知角的概念的本質屬性，幫助學生建立正確的角的概念。

一、由靜到動，感知角的整體結構

1．靜態抽象，感受特征

（1）先由主題圖抽象出數學上的角，再讓學生在三角尺上摸角和說感受，直觀感知角。

（2）在學生初步感知角的基礎上，師生一起把三角尺上的一個角畫下來，抽象出角的數學模型（如圖3）。這里教師要特別指出“為了清楚地表示角，在角的開口內畫一條小弧線”，最后介紹角的各部分名稱。

（3）師引導學生指角，幫助學生獲得鮮明的角的表象。

這里，首次引入小弧線，既為了指明靜態呈現的角的方向，也為了將學生的注意力引導到角的張口上，有利于學生對角的認識。

2．動態生成，體會張口

靜態呈現的角可以幫助學生建立角的表象，而要讓學生初步體會角的概念的內涵，則需借助動態演示。

（1）師引導學生在活動的扇面上找角、指角（如圖4），強調指角時要畫小弧線，再次將學生的注意力引導到角的張口上。

圖3

圖4

（2）師先借助紙扇張合的動態演示，形成不同的角（角中的小弧線也隨之變化），再引導學生觀察：“角的兩邊一張一合像什么？”這里，教師通過形象的比喻，揭示角的張口，并指出用一條小弧線來表示角的張口，從而將小弧線的外在形態與其內在意義巧妙地聯系起來。

這個環節，教師遵循學生的認知特點，從直觀形象——靜態抽象——動態生成，由表及里地幫助學生在感性經驗的支撐下，建立起對角的整體感知。

二、動靜結合，凸顯角的本質內涵

1．感知張口大小決定角的大小

（1）師生一起操作活動角，讓學生直觀感受到旋轉的方向以及在旋轉過程中兩條邊所形成的角，滲透角的動態定義。同時，教師在動態形成角的過程中選取幾個角，讓學生直接用畫小弧線的方法指角，以淡化角的非本質屬性，為下一步感知角的大小看張口做準備。

（2）初步感知角的大小。教師先利用活動角，讓學生在“張開兩條邊使角變大，合攏兩條邊使角變小”的過程中，體會角是有大有小的，再要求學生將手中的角變大一些或小一些，使學生體驗到：把角的兩邊張開些，角就變大；把角的兩邊收攏些，角就變小。

（3）動態演示，強化認知。師邊演示（如圖5）邊問學生：“角的張口有什么變化？角有什么變化？”學生在觀察比較中進一步體驗到：角的張口大，角就大；角的張口小，角就小。

圖5

（4）學生自由操作活動角，同桌比較大小，教師相機介紹用重疊的方法比較角的大小。

2．初步感知角的大小與邊的長短無關

（1）比較圖6中兩個角的大小，引導學生在強烈對比中強化對角的大小的本質認識。

（2）師出示教學用的三角板，先讓學生觀察哪個角最大，再讓學生在自己的三角尺上找一個和這個角一樣大的角，并引導學生利用重疊法進行比較。

（3）師生比較形狀相同、大小不同的兩塊三角板上其他兩個對應角的大小，使學生在觀察、比較中初步體驗到：張口決定角的大小，張口相同的兩個角一樣大，角的大小與邊的長短以及面的大小沒有關系。

“角的初步認識”這節課，盡管教學定位為初步認識角，但是教師要有教學自覺，因為初步認識不是意味著膚淺的認識，更不能讓學生因淺層次的認識而產生錯誤的認知。很多數學概念，教師教學時如果注重形式、弱化知識本質，學生就容易出現形式上的理解，甚至會造成學習上的困難。因此，為了避免形式上的教，教師要關注數學概念、知識發展的過程，把握概念的核心意義，回到數學知識的本質上來，讓學生真正理解所學知識，從而促進學生數學素養的提升。

圖6