培養(yǎng)中年級學生畫圖解題能力探微

江蘇連云港市灌云縣侍莊中心小學（222200） 孫寶霞

數(shù)學課程標準指出要讓學生在學習過程中，獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，形成初步的反思意識，這就要求學生有一定的解題能力。在小學階段，中年級學生的思維正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，學生的抽象思維過程仍然需要具體形象的支持。況且，形象化的實例容易引起學生的興趣，激發(fā)學生學習的積極性，提高學生分析問題和解決問題的能力。

作為一線數(shù)學教師，筆者發(fā)現(xiàn)學生在解決沒有圖示的實際問題時會出現(xiàn)很多的錯誤，除不能很好地審清題目、理解題意之外；更主要的是學生借助畫圖策略解決數(shù)學問題的意識不強，繪圖能力不足，從而導致解決數(shù)學問題不力。為此，在平時教學過程中，筆者在畫圖解題方面做了很多的探索和嘗試，從而切實提高學生的解題能力。

一、畫圖教學，模型搭建直觀形象

教育大師蘇霍姆林斯基說過：“孩子的智慧在手指上。”數(shù)學題的內(nèi)涵經(jīng)過學生靈巧又智慧小手繪制出來，無論是“力作”還是“劣作”，我們都要一視同仁地肯定其存在價值，都要盡可能地讓學生說出作品的意思以及自己的思想。在教學過程中，筆者和學生經(jīng)常會通過一些線段圖、集合圖等來幫助理清題目中的已知條件和所求問題，使問題簡明直觀；其間可以展示其數(shù)學思維過程，窺視其數(shù)學建模情況，閃爍其數(shù)學思維火花。

1．多樣線段圖

線段圖簡潔明了，形象易學。筆者在教學和倍、差倍問題時，根據(jù)題意作出線段圖，從圖中學生可以很快地理解和、差與一份數(shù)之間的關(guān)系，從而提升分析問題的能力。

例如：兩個小朋友去森林里采蘑菇，小紅采的個數(shù)比小麗的3倍還多5個，他們一共采了53個，兩人各采了多少個？

這個是變式后的和倍問題，學生通常很難一下子理解這個5到底該怎么處理，筆者就建議先畫圖看一看。

通過畫圖，學生可以發(fā)現(xiàn)，53減去5之后正好就是小麗所采蘑菇的3倍，可以馬上求出小麗所采的蘑菇個數(shù)，接著就可以求小紅所采的個數(shù)了。簡單的線段圖可以讓學生更直接地分析每個量之間的關(guān)系，使題意更直白、外顯，便于理解，提高解題速度和解題質(zhì)量。

另外，用畫線段圖來理解較復雜的行程問題也是再清楚不過的了。

例如：一輛貨從A地開向B地，每小時行45千米，行了3小時后休息，這時剛好離AB兩地的中點18千米，東西兩城相距多少千米？

通過畫圖發(fā)現(xiàn)，有兩幅圖都符合題意：

線段圖除了可以幫助我們整理題目中的條件和問題，還可以幫助我們更全面地理解題意。根據(jù)這兩幅圖我們就可以得到兩種不同的答案：

45×3＝135（千米） 135＋18＝156（千米） 156×2＝312（千米）

45×3＝135（千米） 135－18＝117（千米） 117×2＝234（千米）

在不畫圖的情況下，多數(shù)學生都不會想到這一題會有兩種不同的答案，但就在畫線段圖的過程中，學生能更好地去理解題意，去考慮離中點18米的位置到底在哪。可見，畫圖可以讓學生更全面深入地思考，還可以讓學生在解題后更快更直觀地對結(jié)果的正確性進行檢驗。

2．巧畫集合圖

例如：某班有學生42人，全班每人至少要訂一種報紙，訂數(shù)學報的有24人，訂語文報的有28人，問兩種報都訂的有多少人？

讀題后，學生自行畫圖（如右圖所示）。

引起爭議：24＋28＝52 人，與題目中的42人矛盾。

引導學生思考：為什么？該如何解決？

學生討論再作修改（如右圖所示）。

提問：為什么這樣修改？兩個圓相交的部分是什么？

從題目中學生可以確定訂兩種報的人數(shù)之和應(yīng)為24＋28＝52（人），可是全班總?cè)藬?shù)只有 42 人，相差 52－42＝10（人），說明有10人兩種報紙都訂了。

在繪畫和理解集合圖的同時，學生也就找到了解題的鑰匙。運用畫圖策略，讓冰冷的數(shù)學文字變?yōu)橐环鶊D，再配以形象生動的語言描述，讓數(shù)學關(guān)系自然呈現(xiàn)。整個過程生動活潑，學生學得輕松且高效。

二、畫圖教學，數(shù)形結(jié)合完美演繹

我國著名數(shù)學家華羅庚對“數(shù)”與“形”之間的密切聯(lián)系有過一段精彩的描述：“數(shù)與形本是相依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形少直覺，形少數(shù)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休，切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系切莫分離。”在教學過程中，筆者嘗試數(shù)形結(jié)合的教學受到了學生的歡迎，也取得較好的教學效果。

1．利用列表法解題

例如：新華小學準備建一個周長是20米的長方形花圃，你能設(shè)計出多少種不同的情況？

碰到這樣的問題，學生確定了長、寬的關(guān)系后也很難一下子就把所有的情況全都表達清楚，所以建議學生用列表格的方法解決。表格為：

長（米） 9 8 7 6 5寬（米） 1 2 3 4 5

明確長和寬的關(guān)系后，把每一種可能進行列表整理，學生就可以非常清楚地看出有5種不同的情況，既直觀又明了。

另外，對于一些數(shù)據(jù)較多的問題，學生在理解時，往往會對不上號，如果用了列表的方法，就更容易理清題意，也易于揭示數(shù)量之間的關(guān)系，便于理順思路，進行解答。

2．利用面積圖解題

數(shù)形結(jié)合是教學幾何初步知識與培養(yǎng)空間觀念的重要方法，在某些幾何題中可采用面積圖來解題。

例如：一個長方形長增加4米，或?qū)捲黾?米，面積都增加24平方米，求原長方形的面積。

根據(jù)題意可畫出右圖：

根據(jù)圖形學生進行分析：要求原來的面積，需要知道長和寬，但是，現(xiàn)在什么都不知道。在這樣的情況下，學生會根據(jù)需要繼續(xù)從圖形出發(fā)，從變化的圖中找到求原來的長與寬的方法，結(jié)果，學生就得到了這樣的計算過程：

長：24÷3＝8（（米）

寬：24÷4＝6（米）

所以原長方形的面積為：8×6＝48（平方米）

運用面積圖不僅可以快速找到解題途徑，還能找到更巧妙的解題方法。

如在教學“用畫圖法解決面積計算”這一課之后，筆者給學生出了這樣一題：

張莊小學原有一個長方形操場，長50米，寬40米，擴建校園時，長和寬都增加了10米，求：新增的面積是多少平方米？

某學生一口氣就找到了四種不同的解法。

方法一：（50＋10）×（40＋10）－50×40

方法二：40×10＋（50＋10）×10

方法三：40×10＋50×10＋10×10

方法四：（40＋10）×10＋50×10

運用面積圖解題，實質(zhì)就是化抽象為形象。中年級學生的抽象能力原本就不強，加上很多學生對解決問題有一種本能的恐懼，所以更不愿意去深入思考題意。但如果能讓學生邊讀題邊畫出相應(yīng)的圖形，并標上數(shù)據(jù)，在形象的幾何圖上來理解題意當然要比讓他們在腦子中想象現(xiàn)實得多，也容易理解得多。所以利用幾何直觀圖不僅可以幫助學生理清解題思路，也能幫助他們提高解題能力。

三、畫圖教學，數(shù)學思維深入腦海

解題能力不僅是指解題時有辦法、有能力解題，而且是指解題后能夠很好地掌握同類題型的解法。而這一目標的達成，一般要通過回顧整個解題過程來實現(xiàn)。

在教學“用畫圖法解決行程問題”時，筆者就是讓學生通過回憶整個解題的過程，最后達到作圖方法的優(yōu)化，把簡單的行程問題的解法通過紙上圖到心里圖的升華深入腦海。

筆者在講授“雞兔同籠”問題時，教給了學生如何畫替換圖的方法。如有這樣一題題：雞兔同籠，頭共20個，足共62只，求雞與兔各有多少只？

學生先用假設(shè)法，假設(shè)全雞，20只雞，有40條腿。

分析：少了62－40＝22（條）腿。因為兔子有 4 條腿，才畫了2條腿，每只兔子需要再加2條腿。

因此，兔子有 22÷2＝11（只），雞有 20－11＝9（只）。

生動、形象的圖例，激發(fā)了學生學習的興趣，從簡單中看到深奧，學生很快找到了解題方法。

數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學思想方法，通過畫圖，學生能仔細地審題、分析數(shù)量關(guān)系，做完后，與圖形的又一次對比，更能讓他們從中收獲巧妙的解題方法。

因此，從中年級開始我們就要注重培養(yǎng)學生運用作圖的方法來解決實際問題。以畫圖為拐棍，讓學生嘗到學習數(shù)學的無窮樂趣和成功體驗，從而真正提高他們的解題能力；讓畫圖成為學生學習數(shù)學過程中簡單實用而又快捷方便的一把“金鑰匙”。