例談不完全歸納法在數學教學中的應用

浙江三門縣海游鎮中心小學（317199） 許紹國

課堂轉型最為核心的一句話就是“以學生的學習為中心來組織教學”，做到讓學生有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。因此，教師對不完全歸納法的整個推理過程（如素材積累、歸納的方法、特例分析、結論形成等）都要認真研究，做到貼近學生、引發學生思考和提升學生的思維能力。理想的課堂教學應該是這樣的：圍繞著某個需探討的主題，讓學生列舉熟悉的例子；通過一般性規律的揭示，從中得出一個普遍性的結論；然后通過對特例的分析和解釋，充實和完善結論；最后由教師引導，在思維上做一定的拓展，培養學生的思維能力。

本文將結合小學數學課堂教學中的具體實例，就如何用好不完全歸納法，促進課堂向“以學定教、以生為本”轉型抒一己之見，與各位同行商榷。

一、積累豐富素材，經歷活動過程

不完全歸納法是從幾個特殊情況歸納推斷出一般性的結論，這里面“特殊情況”的數量要保證。盡管都是以偏概全，在條件允許的情況下，例子越多，學生的感受會越充分，對結論的接受程度也就越高。例子的來源，有教師提供的和學生生成的。相比較而言，學生生成的例子更能反映他們的知識基礎，利于教師“以學定教”。

例如，教學“小數的性質”一課，教師把書本第58頁的“做一做”（如下圖）當作例題來進行教學。

在學生發現0．3＝0．30后，教師引導學生從左右兩個方向進行觀察，得出“小數的末尾添上0或去掉0，小數的大小不變”的結論，并指出這就是“小數的性質”，然后進入練習環節。這樣教學，學生看似掌握得很扎實，練習的正確率也很高，但是在問學生“為什么0．080這個數中十分位上的0可以去掉，而千分位上的0不能去掉”時，整個班級學生的思維都卡殼了。從這里發現，學生只能在小數性質的描述上做文字游戲，而不能從計數單位的角度進行解釋。

面對這種情況，是指責學生的學習，還是應該反思教師的教學？我覺得，這首先是教師對素材的選擇和處理不夠恰當，提供給學生的素材太少，使得學生未能充分感知就匆忙總結，影響了課堂教學效果。比較例1（如下圖）和“做一做”，發現例1有以下一些優勢：（1）學生比較熟悉，對長度單位之間的聯系也比較清楚；（2）在解釋“為什么小數末尾添上0或去掉0，小數大小不變”時，學生能夠聯系具體的長度單位進行解釋，容易理解是由于計數單位不同的原因；（3）例題呈現的是0．1米，教師可以拓展到0．2米、0．3米、0.4米……豐富學生的感知。

像這樣，選用指向性明確、題材豐富、過程和結果較開放的素材，讓學生在觀察多個（一般不應該少于3個）例子的基礎上，有了比較充分的感受之后再形成猜想，然后讓學生自己舉例驗證猜想，最后得出結論。這樣教學，學生經歷了觀察、猜想、驗證、總結的過程，使學生能夠在學習之后形成相對的思維模式，掌握思考問題的方法，這對學生的成長尤為重要。

二、探尋歸納方法，發現內在規律

有效的數學教學活動是教師教與學生學的統一。在不完全歸納推理中，歸納的方法很重要。而在課堂教學中，常會出現這樣一個現象：素材開放后，例子和結論之間的聯系可能不是非常明顯，或者是多線性的，從而增加了學生學習的難度。這就需要教師對知識的形成和演變過程具有清晰的認識，并具有高超的調控課堂教學的能力，帶領學生對眾多數據進行有序排列，尋找其中內在的規律。

例如，教學“長方形、正方形周長”一課時，教師先讓學生自由地畫長方形（邊長是整厘米數），然后用多種方法算出周長。可以想象，一個班級的學生所能得出的算式是非常多的，怎樣把這些海量的數據進行整理，歸納得出長方形周長的計算方法呢？我進行了如下的嘗試教學。

1．學生匯報。

學生在投影儀上先介紹“我的長方形長是……寬是……”，然后邊指圖形邊講算式，最后匯報：我是用“長＋寬＋長＋寬”（或其他）的方法計算出長方形周長的。

2．師把學生的算式歸類板書（略）。

3．引導學生發現：雖然長和寬的數據不同，但是方法都一樣，一共有四種，即長＋長＋寬＋寬、長×2＋寬×2、長＋寬＋長＋寬、（長＋寬）×2。

4．歸納：第一種和第二種方法、第三種和第四種方法其實只是計算方法不同，思路是一樣的；第二種和第四種方法只是計算過程不同，其核心內容是一樣的，都是根據長方形周長的定義求出長方形四條邊的總和。

這樣進行教學，從學生的已有知識經驗出發，借助充分的例子，讓學生探索發現、總結方法，充分體現了課堂生成的動態化，使教學自然水到渠成。

三、進行全面分析，引發積極思辨

在不完全歸納法的推理中，一個反例就可以推翻結論。學習過程中難免會遇到一些特例，對特例處置不當，很容易使學生思維混亂，影響教學效果。有的教師擔心不能很好地調控課堂，故意設置條件或“陷阱”，引導學生往自己設定的道路前行，雖然也能很好地完成知識的教學，但是違背了學生自主學習的原則，不利于學生學法的形成和思維品質的培養。因此，課堂上教師不要害怕學生有爭議，相反，對特例進行廣泛的爭論，能讓學生在爭論中明辨是非，促進學生對知識的理解和掌握。

例如，教學“三角形三邊之間的關系”一課時，教師可讓學生從幾組例子中歸納出三角形的三邊關系。學生對兩邊之和大于（或小于）第三邊的情況能不能圍成三角形不會有異議，但對兩邊之和正好等于第三邊的情況卻引發爭論。怎么處理這個問題呢？直接告訴學生這樣是圍不成三角形的，不僅教學流程會比較順暢，而且會給學生留出更多的練習時間。所以，我在教學中遇到這個情況時，充分相信學生，讓學生自己操作、分析、質疑、爭論、歸納。教學過程如下：

師：同學們對4㎝、6㎝、10㎝這三根小棒能不能圍成三角形有爭論，下面請各組都到投影儀上進行操作。（生上臺操作）

師：操作過后，還有個別學生不服氣，認為4㎝和6㎝兩根小棒連起來后和10㎝的小棒之間仍然有微小的空隙，所以覺得這三根小棒圍不成三角形。我認為同學們的心里還是有困惑的。那么，讓我們靜靜地思考：這是不是一個三角形？它是怎么產生的呢？誰能夠來說明？（學生思考約半分鐘）

生1：我認為是因為小棒太粗了，所以邊上（指小棒頂端）會碰在一起。

生2：4cm和 6cm的兩根小棒連起來后剛好是10cm，和10cm長的小棒放在一起，應該是重疊在一起的。（師演示）

生3：如果小棒都很細很細，就不會碰在一起了。

師：下面，讓我們通過電腦來進行精密的演示。（學生在觀看電腦演示后都認可了“兩邊之和不能等于第三邊”的結論，剛才有疑問的學生也點頭稱是）

師（總結）：所以，我們能得出三角形三邊之間的關系了嗎？

生（齊答）：兩條邊的和一定要大于第三邊。

……

通過對特例的詳盡分析，學生消除了原先錯誤的認識，加深了對三角形三邊關系的正確理解。這樣教學，使學生的思考突破了不完全歸納法的局限，把一般的共性的歸納拓展到理性分析的層次，不僅幫助學生理解了所學的知識，而且促使學生積極思維。

四、重視結論形成，鍛煉思維品質

不完全歸納法是指根據對某類事物中部分對象的考察，概括出關于該類事物全部對象的一般性結論的一種歸納推理，其歸納過程是不夠嚴謹的，得到的結論也并非一定正確。因此，我們要重視結論的形成。課堂教學中，教師應根據學生的年齡特征、思維能力和知識基礎，在不完全歸納推理的基礎上，適時進行演繹推理等理論論證，這對學生加強知識的理解和掌握、提高推理能力和邏輯思維能力是很有好處的。

例如，教學“三角形的內角和”一課，計算三角形內角和時，學生一般會用測量、剪拼、折疊等方法，從而導致操作出現誤差，得出的結論往往是三角形三個內角的和大約等于180°。怎么辦呢？教師如果人為地強調三角形的內角和就是180°，恐怕不能使學生信服。這時，如果能夠加以論證說明，將會收到很好的教學效果。教師可根據“兩個完全相同的直角三角形能夠拼成一個長方形”的知識基礎進行教學：“通過剛才的操作，大家得出一個初步的結論——三角形三個內角的和大約等于180°，但大家對此有爭論。有的同學認為操作中有誤差，三角形三個內角的和應該等于180°；有的同學認為三角形有這么多種類型，不可能內角和都剛好等于180°。到底哪種意見是正確的呢？我們知道，兩個完全相同的直角三角形能夠拼成一個長方形，那能不能根據這個知識來說明三角形的內角和是多少呢？”學生在觀察討論后得出：由于長方形的四個角都是直角，內角和是360°，所以直角三角形的內角和一定是180°。然后教師出示銳角三角形和鈍角三角形，提問：“這兩種三角形能不能轉化為直角三角形呢？”學生思考后得出：把這兩種三角形沿高剪開后就得到兩個直角三角形（如右圖），由于直角三角形的內角和是180°，所以這兩種三角形的內角和都是180°×2－90°×2＝180°。這樣教學，如撥云見日，使學生柳暗花明，有效地提高了學生的思維品質。

要在“以學定教”的理念下用好不完全歸納法，教師要突顯“以生為本”的教育思想，創造性地使用教材，為學生提供豐富的學習素材，使學生經歷探究的過程，歸納總結出結論。同時，教師要引導學生用數學的思維進行推理和建構，使數學學習成為學生對數學的認識和體驗的過程。總之，教師要用好不完全歸納法，把學習的主動權交還給學生，使課堂教學精彩紛呈。