量子力學中基于離散化空間的的一維定態問題的快捷數值試驗

黎永耀，劉 丹，呂紅英，劉 巖

（華南農業大學 電子工程學院 應用物理系，廣東 廣州 510642）

利用計算機對物理問題進行數值或仿真研究是近年來物理研究的一種非常重要的理論研究手段.在傳統的量子力學教學中，適當引入數值仿真的模塊，近年來受到不少教學工作者的關注[1,2],也是理論物理教學改革一個方向之一[3].通過在教學中引入一些簡單的數值方法，通過編程，計算機做圖獲得量子力學的結果并和解析結果做對比，不僅對于學生理解量子力學的基本概念和思想有重要的促進作用，可以提高學生的學習興趣，而且可以為其今后進一步深造進行科學研究打下一定的基礎.

本論文對量子力學中一維定態問題中求解諧振子能量本征值和波函數的問題展開討論，并借助空間離散化的方案，構造坐標表象的矩陣方程，通過矩陣對角化的方法獲得系統的本征值和本征波函數.其中矩陣的對角化過程通過數學軟件MATLAB實現，對比與傳統的量子力學教學，該方法簡單快捷有助于學生理解一維問題的物理含義和本質，同時對表象理論，和矩陣力學的學習和理解有較大的幫助.

傳統的量子力學教科書中，對于諧振子能量本征值的求法大多都是利用特殊函數的方法，通過引入厄米多項式，獲得諧振子波函數和能量本征值的解析表達式.由于現代的教學系統中，學生在數學物理方法等重要課程的課時數收到很大的限制，特殊函數并不是作為一個主要講授內容出現在數學物理方法中，因此，許多學生在學習這一部分的時候，并沒有掌握太多的特殊函數只是，這對學生理解和掌握這部分內容帶來極大的困惑.本論文將提出一種簡單的基于坐標表象的數值差分方法，把坐標表象下的連續哈密頓量變成一個矩陣形式，通過對角化獲得能量本征值和本征函數.這些簡單的方法可以輔助同學們理解和學習波函數和能量本征值的本質意義，并加深他們對求解手段的熟悉，對于他們理解解析的方法有重要的幫助.

在自然單位制（m=攸=ω=1）下一維諧振子定態薛定諤方程為如下的形式:

其結果為

其中Hn(x)為厄米多項式[4].

眾所周知，數值方法的一個核心問題是把連續的問題離散化，我們把空間離散化為x1,x2,…xN,相應的波函數在這些離散坐標點下表示為一個列矩陣:（其中上標“T”代表一個轉置的操作）,對于該一維問題我們采用最常規的離散方案，把方程(1)中兩個對時間和空間的一階和二階導數改寫成如下的形式[5]

其中N為離散化后空間的網格數.相應的定態薛定諤方程(1)變成如下的矩陣形式

根據量子力學中矩陣力學的知識，我們知道，在Q表象下，力學量算符可以用一個矩陣來表示，如果Q為該力學量的本身，則該矩陣為一個對角矩陣，對角元為力學量的本征值.如果Q不是該力學量，則可以通過幺正變換把矩陣進行對角化來獲得本征值，而幺正矩陣的相應本征值的列矩陣為該本征值在Q表象下的本征矢[6].

基于上述的分析，我們把方程(4)中的矩陣進行對角化.矩陣對角化是一種很成熟的算法，在這里我們是基于一個常規的商用軟件MATLAB對其進行對角化，在MATLAB平臺下，我們輸入

就可以把哈密頓矩陣對角化[7].在命令(6)中，V和E均為一個N×N的方陣，其中，E為對角矩陣，第j個對角元即為能量本征值Ej，而V則為幺正矩陣，其第j列的子矩陣,為Ej的本征矢，即為離散形式下的坐標波函數.注意，通常來說，這個通過MATLAB獲得的離散形式的波函數是沒有被歸一化的，所以，需要運用歸一化條件對其進行歸一化.

圖1(a)解析結果(紅色線)與數值結果藍色圓圈的對比.我們選擇的范圍為x∈[-10,10],離散化為200個格點.從圖中我們可以看到在低能態的時候（n<70）藍色圓圈和紅色線完全符合，但是在高能態之后，藍色圓圈偏離與紅色線.(b)基態波函數的解析表達式(藍色線)和歸一化后的V矩陣的第一列數值結果比較，兩者完全符合.(c)第一激發態的波函數解析表達式和歸一化后的V矩陣的第二列數值結果的比較，兩者完全符合.

圖1為數值結果和解析結果的對比，從圖1(a)中我們可以看到，當體系處于低能態的時候，數值結果和解析的結果穩合得很好，但是當趨向于高能態的時候，數值結果和解析結果就出現了偏離，這個偏離是我們在數值上不得不使用有限的空間及離散格距所造成的，我們可以通過增加我們數值窗口的寬度和使用更多的各點數使得這個解析結果和數值結果穩合的距離增長.不過其代價就是需要更多的計算機資源去計算矩陣對角化了.圖1的結果表明，我們采用x∈[-10,10]的數值空間，和200個格點數，已經可以很好得在n<70這個范圍內把一維諧振子的能量本征值和本征函數準確表達出來.

通過上述的例子，我們通過引入差分和空間離散化，簡單快捷地把諧振子的能量本征值和本征函數計算出來.該方法不僅可以使得學生更方便地去理解諧振子模型的物理性質，更使得學生對于表象理論，矩陣力學和幺正變換的含義有更深刻的認識.并可以為學生將來進一步科研進修，做數值仿真打下良好的基礎.值得一提的是，量子力學問題中，可解析求解的系統并不多，該方法對于處理各種處于束縛形式的一維勢阱問題具有很大的實用價值.

〔1〕黎永耀,麥志杰,吳劍雄,付神賀,劉巖.基于 Matlab 平臺下量子力學課中的“實驗”課[J].赤峰學院學報,2011,27(10):13-14.

〔2〕陳桂華，譚穗妍，龐瑋.光學課程中一個數值仿真例子：光折變離散孤子[J].赤峰學院學報,2012,28(9):10-12.

〔3〕劉巖，楊小紅，羅志環，黎永耀，林建榮.高校《理論物理導論》課程教學改革的探索與實踐[J].赤峰學院學報，2009（25）：18-19.

〔4〕曾謹言.量子力學（第三版）（上，下冊）[M].北京:科學出版社,2001.

〔5〕陸金甫，顧麗珍，陳景良.偏微分方程差分方法[M].北京:高等教育出版社，1988.

〔6〕S.福里格.實用量子力學（上冊）[M].北京:高等教育出版社，1983.

〔7〕張志涌,楊祖櫻.Matlab教程[M].北京航天航空大學出版社，2006.